关于期限结构的多曲线模型

（3.8）对于有风险的债券，我们用“p（t，t）=EQnexph”-RTt（ru+su）对决| Fto=EQnexph-RTt（（κ）- 1） ψu+ψu+ψu）dui | Fto=exp\'A（t，t）-\'B（t，t）ψt-\'B（t，t）ψt-\'B（t，t）ψt（3.9）这一次，系数满足“英国电信- b′b+（κ- 1） =0，\'B（T，T）=0\'Bt- b\'b-（σ） （\'B）+1=0，\'B（T，T）=0\'Bt- b\'b-（σ） （\'B）+1=0，\'B（T，T）=0\'At=a\'B-（σ） （\'B）+a\'B+a\'B，\'a（T，T）=0（3.10），尤其是领先于\'B（T，T）=1- κbE-b（T）-（t）- 1.= (1 - κ） B（t，t）（3.11）从上述1-st阶方程如下所示：\'B（t，t）=（1）- κ） B（t，t）\'B（t，t）=B（t，t）\'A（t，t）=A（t，t）- aκRTtB（u，T）du+（σ）κRTt（B（u，T））du- （σ） κRTtB（u，T）du-aRTt\'B（u，T）du（3.12）然后让A（T，T）：=\'A（T，T）- A（t，t）（3.13）我们得到‘p（t，t）=exph’A（t，t）- B（t，t）ψt- B（t，t）ψt-\'B（t，t）ψt+κB（t，t）ψti=p（t，t）exph＠A（t，t）+κB（t，t）ψt-\'B（t，t）ψti（3.14），为了简单起见，~B:=B（t，t+), 一个人可以写（T，T+)\'p（T，T+ )= 扩展-~A（T，T+) - κBψT+-B（T，T+)ψTi。（3.15）3.2结果本身我们介绍定义3.1。我们称调整因子为过程ssAdT，t:=EQp（T，T+)\'p（T，T+ )| 英尺, （3.16）并应证明以下命题3.1。我们有νt，t=νt，t·AdT，t·expκ（σ）2（b）1.- E-B1.- E-b（T）-（t）（3.17）右侧有两个调整系数，其中第一个可以用ADT表示，t=e-~A（T，T）+)EQne-κBψT+-B（T，T+)ψT | Fto:=A（θ，κ，ψT，ψT）（3.18），其中θ：=（ai，bi，σi，i=1,2,3）。人们可能会注意到，这里的类比与多重正向基础[1]类似。根据前面的观点，我们得出了固定利率的公允价值与相应无风险利率的公允价值之间的以下关系：推论3.1。

以下关系适用于“Kt”=千吨级+· AdT，t·expκ（σ）2（b）1.- E-B1.- E-b（T）-（t）-（3.19）注意，对于零相关性，指数给出的因子等于1，即对于（κ=0）。3.3对主要结果的评论3。3.1关于调整因子的注释在κ=0（RTA和st的独立性）的情况下，可以获得对主要结果的简单直观解释：在这种情况下，我们有rt+st>RTIMPLING¨p（T，T+) < p（T，T+) 所以AdT，T≥ 1（指数调整因子等于1）。命题1和3，然后是它的推论≥ νt，t，\'Kt≥ Kt（3.20）来获得一些关于κ6=0的情况的直觉，让pκ（t，t），νκt，t，AdT，,κt通过强调相关参数的值κ来表示给定的量。注意，p（t，t）和因此也是νt，Tdo不依赖于κ。然后考虑病例κ>0，这是标准病例，意味着RTA和st之间存在负相关（病例κ<0为类似/双重）。为了便于说明，我们区分两个事件{ψt>0，T∈ [T，T]+]}, {ψt<0，T∈ [T，T+]} 后者仅以很小的概率出现（实际上，ψt对某些t值为正，对其余的t值为负）。关于{ψt>0，t∈ [T，T+]} 我们现在有了pκ（T，T+) < \'p（T，T+)=> νκt，t>νt，t=> ‘νκt，t/νt，t>’νt，t/νt，t（3.21）回忆然后‘νκt，t=νt，t·AdT，,κt·expκ（σ）2（b）1.- E-B1.- E-b（T）-（t）（3.22）可以看出，（3.21）中的最后一个不等式符合这样一个事实，即在（3.22）中，指数因子大于1，AdT，,κt>AdT，,0t（召回定义3.1）。另一方面，在{ψt<0，t∈ [T，T+]}, 我们有pκ（T，T+) > \'p（T，T+) => νκt，t/νt，t<νt，t/νt，t（3.23）这个不等式可以被视为与f作用一致，这里，AdT，,κt<AdT，,但指数因子仍然大于1。

然而，这可以通过注意到，在这种情况下，RTI相对较大，rt+STISCLOSE比rt（甚至可能小于rt）更接近rt来解释。这意味着“νκt，t/νt，t”的推力比前一种情况下更小。3.3.2关于使用结果进行校准的意见关于我们的模型与FRA和其他可用市场数据的校准，请注意系数a、a、b、b、σ，σ可以根据无违约债券p（t，t）的观察结果，以通常的方式进行校准（如果我们有Vasicek型模型（2.3）的Hull&White扩展，那么对于该模型，校准也可以按照标准情况进行）。为了校准a，b，σ，请注意，与p（t，t）相反，“风险”债券p（t，t）是不可观测的（关系式（1.3）并不意味着通过观察伦敦银行同业拆借利率来确定p（t，t）的唯一反向关系）。然而，人们可以观察到Kt=p（t，t）p（t，t）+)- 1.以及“高风险”的FRA利率。回顾推论3.1和AdT，t=A（θ，κ，ψt，ψt），注意，通过对Ktone和Ktone的观察，校准了ai，bi，σi（i=1，2），因此可以校准A，b，σ以及κ。如果有办法直接确定AdT，t（例如，通过观察FRA率f或不相关的dR和st），然后在推论3中表示Kt和¨Kta之间的关系。允许κ1单独校准。此外，我们还记得，正如[8]所指出的，当使用模型计算可能的价值调整时，清洁价格的校准也很有效。3.4主要结果的证明在正向测量（见（3.2）和（3.4））下定义的感兴趣的量，即t、Tandνt、Twere，作为第一步，我们从正向测量QT进行改变+对于标准的鞅测度Q。对于这个效应，我们使用bt:=exphRtrudui，从Q到QT的密度过程+是Lt=p（t，t+)p（0，T+)英国电信。