用嵌套条件蒙特卡罗法快速比较停车时间

然而，由于它们对总体估计的贡献相对较小，因此可以用较少的样本路径来估计它们。对于这种方法（在适当选择参数的情况下），[4]表明，ε均方误差所需的整体计算效果（训练和测试）与ε的行为类似-2.5随着ε变小。这比简单的蒙特卡罗方法有很大的改进-3.在下文中，我们证明了将嵌套条件蒙特卡罗应用于E[Xτ（ki）的估计- Xτ（ki）-1） ]可以导致14个费边·迪克曼和尼古拉斯·施魏泽尔的i级12E[Xτ（ki）的大幅加速- Xτ（ki）-1） ]0.886 0.026ρ9.8111.3ρ1.41.8v2。2920.037v55。429 14.485γ*0.28 0.031R*13.018 158.707表4。两个级别的模拟参数。非渐近区域。对于完全不同的应用，使用分裂技术加速多级蒙特卡罗的想法已经在[11]中提到。然而，我们不知道后来的研究是如何遵循这一建议的。我们保留前面两节的数值示例，但将尺寸增加到d=5。我们使用两个级别，L=2和（k，k，k）=（100100010000）。三个停车时间τ（ki）通过MESH方法和欧洲控制变量计算，具体如[4]中所述。除了训练路径ki的数量外，我们还通过选择精度参数（u，u，u）=（0.5,0.05,0.005），提高了欧洲控制变量跨水平数值积分的近似质量，详情见[4]。构造τ（k）和τ（k）时的训练路径是真实目标停止时间τ（k）的训练路径的子集，因此在训练阶段，使用三个而不是一个停止时间产生的额外影响可以忽略不计。

根据（5），我们可以应用嵌套的CMC两次，得到两组参数ρi和Vi，总结在表4中。因此，我们可以看到，嵌套CMC在高精度水平i=2时会导致大约32倍的急剧加速，在中间水平i=1时会导致大约3.5倍的速度。在“基准水平”，即e[Xτ（k）]=15.698的计算中，我们有一个方差Var（Xτ（k））=251.3和一个costper样本，我们将其标准化为1。在（5）之后，我们计算的预期值是thusE[Xτ（kL）]=15.698+0.886+0.026=16.6100，这在E[Xτ]的置信区间[16.60,16.66]内*] 对于本例，参见[1]。在确定（5）中预测每个总和的最佳测试路径数时，我们使用[11,4]中发现的（4）的以下推广：对于固定的计算预算，每个总和估计中的路径数的平方应与方差除以该总和的每个样本成本成正比。如果我们进一步提高精度，这种影响会变得更加明显：使用嵌套CMC时，这些精度会有更大的加速系数。通过嵌套CMC 15方法方差比较停车时间简单蒙特卡罗1790 0.13nnn多级38760 5550 880 0.033多级与嵌套CMC 86780 2650 100 0.0067表5。三种方法的总体预期方差具有相同的预期计算成本。表5对20万时间单位的固定预期计算预算进行了有无嵌套的多级蒙特卡罗比较。如表4所示，我们在两个级别的嵌套CMCalgorithms中使用R=13和R=159复制。我们还给出了在相同预算下相同期望值E[Xτ（k）]的简单蒙特卡罗估计的结果。简单蒙特卡罗方法的每样本成本为112.9，Var（Xτ（k））=234.1。

简单蒙特卡罗和嵌套CMC的多级蒙特卡罗之间的方差减少了19.6倍，其中大部分（因子5）来自于合并嵌套模拟。5.结论在本文中，我们引入了嵌套条件蒙特卡罗，这是一种简单的蒙特卡罗方法，用于估计同一随机过程的两个停止版本之间的差异。通过估计两个方差和两个运行时间参数，该算法易于校准。此外，粗糙参数估计可以证明该方法具有接近最优的性能。我们证明，除了它的直接应用之外，我们的方法还可以作为一种通用工具，用于增强排序问题的方差缩减方法。事实上，我们几乎看不出有什么理由在不包含子模拟的情况下实施第4节的准控制变量或多级蒙特卡罗方法。由此产生的方差缩减方法非常有效，与经典控制变量不同，它不要求任何东西都可以显式计算。在应用方面，我们主要关注百慕大期权价格，但许多其他应用领域都是可以想象的。例如，考虑信用风险建模，其中违约和困境事件通常通过停止时间进行建模，或收入管理中的定价启发法，如[10]中所述，其中研究了接近最佳的销售和促销时机。在我们的算法中，我们在每条路径上使用相同数量的复制。然而，正如[6]中不同类型的应用所示，通过将更多复制分配到“关键”轨迹，可以提高计算效率。我们的方法的一个扩展实现了这一点——同时保持了不平衡性——在τ之间的每个时间点分割轨迹∧和τ∨. 这样，τ值较大的轨迹∨- τ∧自动进行更深入的调查。

或者，如果你不关心费边·迪克曼（FABIAN DICKMANN）和尼古拉斯·施韦泽拉（NIKOLAUS SCHWEIZERa）的小偏差，我们的方法与重要性抽样的结合可能会有成效。我们将这些以及我们方法的进一步扩展和应用留给未来的研究。附录A.命题2.1的证明。要想看到公正，请注意[（N，R）]=NNXi=1RRXr=1E[S（i）（X（i，R）τ∨,（i，r）- X（i）τ∧,（i） ）]=NNXi=1RRXr=1E[XτA- XτB]=其中，第二个等式简单地使用了期望中的术语是XτA的独立副本- XτB.对于方差，首先要注意，i上的外和是独立的、同分布的随机变量和thusVar的和(（N，R））=nvarrxr=1S（1）（X（1，R）τ∨,（1，r）- X（1）τ∧,(1))!.应用条件方差分解公式yieldsVar(（N，R））=vN+vRNwithv=VarE“RRXr=1S（1）（X（1，R）τ∨,（1，r）- X（1）τ∧,(1))Fτ∧,(1)#!andv=R·E“VarRRXr=1S（1）（X（1，R）τ∨,（1，r）- X（1）τ∧,(1))Fτ∧,(1)!#.还有待观察的是，vand vcoincide的这些值与命题中的值。注意，求和是独立的，并且在Fτ上有条件地分布相同∧,(1). 对于vt，这意味着ehs（1）（X（1，r）τ∨,（1，r）- X（1）τ∧,(1))Fτ∧,（1） 我不依赖r和thusv=VarEhS（1）（X（1,1）τ∨,(1,1)- X（1）τ∧,(1))Fτ∧,（1） 我.vnow yieldsv=EhVar的类似论点S（1）（X（1,1）τ∨,(1,1)- X（1）τ∧,(1))Fτ∧,(1)i、 注意到S（1）（X（1,1）τ∨,(1,1)- X（1）τ∧,（1） ）和Fτ∧,（1） 是XτA的副本吗- XτBandFτ∧允许我们总结证据。最后，让我们强调一下，上述论点确实考虑到了以下事实：在某些轨道上，即τA和τb连续的轨道上，XτA- XτBis Fτ∧可测量的通过命题3.1的证明比较停车时间。由于目标函数在两个秩N中都减小，很明显，预算约束在最优值c（N，R）=c时保持相等。

求解N的约束并将结果代入目标产量v（ρ+ρR）+vρ+ρRRs、 TR≥ 1.利用最小化问题对单调变换是不变的，我们可以写出这个asminRvρvρR+Rs.t.R≥ 1.显然，这个凸极小化问题的解是R*= max（1，R），其中Ris是相关无约束极小化问题的解，由R=qvρvρ给出。命题3.2的证明。γ的公式*在替换R后跟随一些代数操作*=qvρvρ变成v。我们转向下层。通过对称性，可以证明对于所有正实数A和b，ab≤ 1（a+b）（1+a）（1+b）≥a1+a。要看到这一点，请注意，我们可以将分子绑定如下（a+b）≥ a+ab≥ a+ab=a（1+b）。对于上界，必须观察（a+b）（1+a）（1+b）≤2a（1+a）（1+b）+2b（1+a）（1+b）≤2a1+a+2b1+b≤ 最多4个a1+a，b1+b.我们在第一步中使用了（a+b）≤ 2（a+b）。命题3.3的证明。首先，我们可以写ev（R）=ρv+ρv+ρvR+R*RandV（αR）*) = ρv+ρv+ρv（α+α）-1） R*.因此我们有V（αR）*) = V（α）-1R*) 通过凸性V（R）≤ V（αR）*)在这段时间里的所有R。因此，有必要证明v（αR）的上界*)V（R）*)=Γ + α + α-1Γ+2式中Γ=ρv+ρvρvR*.18法比安·迪克曼和尼古拉斯·施韦泽尔自α+α-1.≥ 2.我们可以用一个较小的数字替换Γ来约束这个表达式。尤其是Γ≥ 2产生所需的不等式v（αR*)V（R）*)≤2 + α + α-1.看到我们确实有Γ≥ 2.注意，通过插入表达式*我们可以写出Γ=rρvρv+rρvρv≥ 2是从x+x这个事实得出的-1.≥ 2个代表所有x≥ 0推论3.4的证明。在命题3.3的证明中，我们看到V（αR*) =V（α）-1R*). 对于α=R*这就得到了V（R）*) = V（1）。因此，（i）遵循V的凸性。（ii）的论点类似。

对于（iii）项，首先请注意*< 1.5我们有R#=1，没有什么可以证明。因此，通过（i）可以显示R#<R*对于R*≥ 1.5. 要了解这一点，请注意R#≤ R*+< R*最后一个不等式适用于所有R*>1+√≈ 1.37. 参考文献[1]莱夫·安德森和马克·布罗迪。多维美式期权定价的原始-对偶模拟算法。《管理科学》，50（9）：1222-12342004。[2] 瑟伦·阿斯穆森和克莱门斯·宾斯旺格。亚指数索赔的破产概率模拟。《阿斯汀公报》，27（2）：297-3181997。[3] 丹尼斯·贝洛梅斯特尼。使用非参数回归为百慕大期权定价：低估计的最优收敛速度。《金融与随机》，15（4）：655-6832011。[4] 丹尼斯·贝洛梅斯特尼、费边·迪克曼和蒂格兰·纳加佩蒂安。通过多级近似方法对美式期权进行定价。arXiv预印本arXiv:1303.13342013。[5] 菲林·博伊尔、马克·布罗迪和保罗·格拉斯曼。证券定价的蒙特卡罗方法。《经济动力与控制杂志》，21（8）：1267-13211997。[6] 马克·布罗迪、杜一平和夏马克·C·莫阿莱米。通过嵌套顺序模拟进行有效的风险估计。《管理科学》，57（6）：1172-11942011。[7] 马克·布罗迪和保罗·格拉斯曼。高维美式期权定价的随机网格方法。计算金融杂志，7（4）：35-722004。[8] 勒内·卡莫纳、皮埃尔·德尔莫勒尔、胡鹏和娜迪亚·奥贾内。介绍财务应用的主题文章方法。在Ren\'e A.Carmona、Pierre Del Moral、Hu Peng和Nadia Oudjane的《金融中的数值方法》编辑中，《数学中的斯普林格学报》第12卷，第3-49页。施普林格柏林海德堡，2012年。[9] 马库斯·埃姆瑟曼和伯顿·西蒙。使用准控制变量提高模拟效率。随机模型，18，2002。[10] 冯友仪和吉列尔莫·加列戈。

季末销售的最佳开始时间和促销票价的最佳停止时间。管理科学，41（8）：1371-13911995。[11] 迈克·B·贾尔斯。多级蒙特卡罗路径模拟。运筹学，56（3）：607-61720008。[12] 保罗·格拉斯曼。金融工程中的蒙特卡罗方法。斯普林格，2004年。[13] 保罗·格拉斯曼、菲利普·海德堡、佩韦兹·沙哈布丁和蒂姆·扎吉克。用于估计罕见事件概率的多级分裂。运筹学，47（4）：585-6001999。[14] Michael B.Gordy和Sandeep Juneja。投资组合风险度量中的嵌套模拟。《管理科学》，56（10）：1833-18481010。[15] Martin B.Haugh和Leonid Kogan。美式期权定价：双重方法。运筹学，52（2）：258-270，2004年。嵌套CMC 19[16]Stefan Heinrich对停止时间的比较。多层蒙特卡罗方法。在大规模科学计算中。第三届国际会议，LSSC 2001，保加利亚索佐波尔，2001年6月6日至10日。，第58-67页。斯普林格，2001年。[17] 弗朗西斯·A·朗斯塔夫和爱德华多·S·施瓦茨。通过模拟评估美式期权：一种简单的最小二乘法。金融研究回顾，14:113–1472001。[18] 伦纳德·C·G·罗杰斯。美式期权的蒙特卡罗估值。《数学金融》，12（3）：271–2862002。[19] 约翰·N·齐齐克利斯和本杰明·范·罗伊。美国式期权定价的回归方法。IEEE神经网络学报，12:694–703，2001。[20] 曼努埃尔·维伦·阿尔塔米拉诺和何塞·维伦·阿尔塔米拉诺。重启模拟分析：理论基础和灵敏度研究。《欧洲电信交易》，13（4）：373-3852002。地址：杜埃森大学法比安-伊斯曼分校法比安-伊斯曼街519427号。dickmann@uni-到期。德国萨尔兰大学数学系邮编：15115066041Saarbr–ucken邮编：15115066041Saarlandschweizer@math.uni-某人。判定元件