用嵌套条件蒙特卡罗法快速比较停车时间

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英文标题：
《Faster Comparison of Stopping Times by Nested Conditional Monte Carlo》
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作者：
Fabian Dickmann and Nikolaus Schweizer
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We show that deliberately introducing a nested simulation stage can lead to significant variance reductions when comparing two stopping times by Monte Carlo. We derive the optimal number of nested simulations and prove that the algorithm is remarkably robust to misspecifications of this number. The method is applied to several problems related to Bermudan/American options. In these applications, our method allows to substantially increase the efficiency of other variance reduction techniques, namely, Quasi-Control Variates and Multilevel Monte Carlo.
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中文摘要：
我们表明，当通过蒙特卡罗比较两个停止时间时，故意引入嵌套模拟阶段可以显著降低方差。我们推导了嵌套模拟的最佳数目，并证明了该算法对该数目的错误指定具有显著的鲁棒性。该方法适用于与百慕大/美式期权相关的几个问题。在这些应用中，我们的方法允许大幅提高其他方差缩减技术的效率，即准控制变量和多级蒙特卡罗。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Faster_Comparison_of_Stopping_Times_by_Nested_Conditional_Monte_Carlo.pdf (385.04 KB)

2022-5-5 12:56:35 上传

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关键词：蒙特卡罗 蒙特卡 Applications Differential Quantitative

通过嵌套条件MONTE CARLOFABIAN DICKMANN和NIKOLAUS SCHWEIZERAbstract更快地比较停止时间。我们表明，在通过蒙特卡罗比较两次停车时间时，故意引入嵌套模拟阶段可以显著降低方差。我们推导出了最佳模拟数，并证明了该算法对该数的误判具有显著的鲁棒性。该方法适用于与百慕大/美式期权相关的几个问题。在这些应用中，我们的方法允许大幅提高其他方差减少技术的效率，即准控制变量和多级蒙特卡罗。1.引言在本文中，我们提出了一种新的方法来有效地比较不同停止时间的性能，即我们对计算感兴趣 = E[XτA- XτB]其中X是离散时间的随机过程，τa和τB有两个停止时间。该问题的一个简单蒙特卡罗算法包括模拟X的N个轨迹，直到两个停止时间都发生，然后对由此产生的N个XτA实现进行平均-XτB.如果τa和τB相似，例如，因为它们是相同难处理停止时间的两个近似值，或者是两个类似问题的解，则该方法往往是无效的，因为对 仅来自状态空间中τa和τb不一致的少数区域。相反，我们写（1） = E[E[XτA- XτB | Fτ∧]], τ在哪里∧= min（τA，τB），其中Fτ∧表示在第一次停止时间出现之前生成的信息，并提出以下两阶段模拟程序：模拟X的N条轨迹，直到第一次停止时间出现，即直到τ∧.然后模拟N条轨迹的R个条件独立副本，直到第二次停止时间τ∨= max（τA，τB）和估计 通过XτA的R·N实现的平均值-XτB。

由此产生的估计器可以解释为：首先对N条初始轨迹中的每一条进行估计（1），通过对该轨迹的R个复制的平均值来估计（1）中的内部条件期望，然后对N条初始轨迹进行平均以估计外部期望。日期：2014年1月。关键词和短语。美式期权、百慕大期权、分支、重要性抽样、多级蒙特卡罗、嵌套模拟、最优停止、拆分、方差缩减。两位作者都非常感谢德意志联邦储备银行通过SPP 1324.2 FABIAN DICKMANN和NIKOLAUS Schweizer提供的财务支持。使用子模拟来估计内部条件预期的想法将我们的方法与嵌套模拟文献联系起来[14,6]。在这里考虑的应用中，对内部条件期望存在非线性依赖，因此内部模拟是必不可少的，通常被视为不可避免的负担。从这个角度来看，有趣的是，在我们的数值例子中，有意引入内部模拟作为方差减少技术，内部路径的估计最佳数量与这些应用中通常使用的（例如R=100）没有太大区别。如果条件期望以封闭形式存在，则通过故意插入条件期望来减少方差是一种常见的技术。这种经典方法被称为Rao Blackwellization或条件蒙特卡罗[5,2]。它通常不适用于我们的设置，因为对于停止进程的期望的封闭形式表达式很少。

由于我们的方法通过嵌套模拟来模拟ConditionalMonte Carlo，因此我们将其称为嵌套ConditionalMonte Carlo。我们将我们的方法应用于与百慕大期权定价相关的三个问题。在第一个应用中，我们真正感兴趣的是比较不同的停止时间：我们考虑了参数不确定性对估计的最佳运动策略性能的影响。在另外两个应用中，真正感兴趣的量是E[XτA]，而Xτ作为控制变量观测。我们的方法被用来提高这个控制变量的效率。对于这种类型的两种方差缩减方法，如[9]中介绍的准控制变量和[4]中的多级算法，我们证明了嵌套条件蒙特卡罗可以带来相当大的效率增益。事实上，对于这两种算法，通过合并我们的方法得到的额外方差减少至少与原始算法的方差减少一样大。在某种意义上，我们的算法与[20,13]中研究的稀有事件模拟的分裂算法非常相似。在本文献中考虑的应用中（例如，障碍期权定价或估计重大损失的可能性），罕见事件通常包括X取异常大或小的值。因此，选择用于复制轨迹的触发事件作为某个阈值X的命中时间。这样，计算效率可以有效地分配给最需要它的区域。我们的罕见事件，Xτa和XτB之间的巨大差异，没有这么好的结构，也就是说，它不容易先验地连接到X的特定值，这可能会触发复制。我们的主要观察结果是，这种类型的知识在这里是不必要的：我们简单地在一个事件中开始复制，即第一次停止时间，每一条轨迹发生一次。

通过以下推理，对临界轨迹有效分配计算力是内生的：XτA- 如果τa和τBlie相距较远，则要模拟Xτb是昂贵的。然而，在τa和τBlie相距很远的情况下，xτa的大值也有很大的可能性- XτB。此外，在许多情况下，差异XτA- Xτb我们称这些选项为百慕大，因为运动时间是有限的。我们也可以将其解释为美国选择的时间离散化。嵌套CMC 3对停止时间的比较强烈依赖于τ之前发生的情况∧. 因此，我们通过将计算效率从时间间隔[0，τ]中移开来获得效率∧] 到区间[τ]∧, τ∨] （通常要短得多）。总而言之，我们使用分裂的目的是在时间上而不是在空间上识别重要区域——当然，这两者不能完全分开。在更抽象的层面上，我们的结果表明，即使在处理“普通”事件时，罕见事件模拟的想法也可以用来提高控制变量的效率。正如我们将在数值例子中看到的那样，这给出了一个高效的蒙特卡罗算法，该算法只有一个自由参数，即复制次数R。像我们这样的分裂方法的一个特殊优点是，它们产生了无偏估计量。与此不同的是，这8种采样方法的目的是将其与粒子模拟的重要性区分开来。无偏性在期权定价应用中尤其重要，人们希望计算已知具有正或负偏差的估计量，以构造置信区间，参见例[1]。本文的结构如下：第二节介绍了设置和算法，并推导了估计量方差的公式。

第3节描述了我们的算法比简单蒙特卡罗算法有显著改进的情况，并推导了最佳重复次数R的公式。此外，我们证明了估值器的性能对R的中度误判相当不敏感：只要R是，在最优值的20%范围内，我们实现了99%以上的最优方差减少。第4节演示了该算法在上述三种期权定价应用程序中的效率。第5节结束。所有证据都在附录中。2.该算法将一个平方可积的自适应实值随机过程（Xj）视为一个完整的过滤概率空间(Ohm, F、 （Fj）Jj=0，P）在离散时间视界{0，1，…，J}上。我们感兴趣的计算有两个停止时间τa和τ带 = E[XτA- XτB]通过蒙特卡罗方法。我们定义了停车时间τ∧= min（τA，τB）和τ∨= max（τA，τB）和随机变量S=符号（τA-τB）注意τA- τB=S（τ∨- τ∧), XτA- XτB=S（Xτ∨- Xτ∧)S在时间τ是可观测的∧. 对于我们的蒙特卡罗方法，我们假设（有条件地）随机变量的独立副本在概率空间中根据需要可用，并提出以下两阶段模拟算法，该算法由两个整数值正参数N和R确定：A1。模拟独立副本X（i），X（i）τ∧,（i） 关于X，Xτ∧对于i=1。N.用Fτ表示∧,（i） 沿ITH轨迹以及S（i）S.4 FABIAN DICKMANN和NIKOLAUS SCHWEIZERA2的相关副本生成的信息。关于Fτ的条件∧,（i） 用S（i）6=0和forr=1对每个i进行模拟，R拷贝X（i，R）τ∧,（i） +1，X（i，r）τ∨,Xτ的（i，r）∧+1.Xτ∨它们在i上是独立的，在r上是条件独立的。如果S（i）=0，则τ∨,（i，r）=τ∧,（i） 集X（i，r）τ∨,（i，r）=X（i）τ∧,（i） 。A3。

估计 作者（2）（N，R）=NNXi=1RRXr=1S（i）（X（i，R）τ∨,（i，r）- X（i）τ∧,（i） 简言之，我们模拟了X的N条独立轨迹，直到Firststopping时间τ∧. 从τ开始∧在上，我们模拟每个轨迹的R个拷贝，直到第二次停止时间τ∨.  是用平均数估计的XτA的theR·N（相依）样本的（N，R）- Xτ是这样得到的。图1展示了一个示例的模拟过程，其中两个停车时间以运动边界的形式给出，图中的蓝色和红色曲线。每当过程X跨越任一边界时，停止时间就会发生。从照片中少量的红色和蓝色，我们观察到，步骤A2中的二次采样只需很少进行——当两个停止时间不同时，这意味着二次采样的额外模拟成本往往很小。如下文所述，（N，R）可以解释为所谓的条件蒙特卡罗估计量的近似值，其中条件预测被嵌套模拟（子样本）取代。因此，我们将该算法称为嵌套条件蒙特卡罗算法。下面的命题表明（N，R）是无偏的，并给出了其方差的表达式。提议2.1。我们有E[（N，R）]= 安德瓦尔(（N，R））=vN+vRNwherev=Var（E[XτA- XτB | Fτ∧]) v=E[Var（XτA- XτB | Fτ∧)].该算法的基本动机如下：如果τa和τa相距不远，则该算法的步骤A2的计算成本比步骤A1低得多。如果它们恰好重合，步骤A2是免费的。因此，较大的R值相对便宜。

此外，如果情况有利，即如果XτA中的大部分方差- Xτ实际上来自τa和τB之间发生的事情，即如果v v、 估计量的行为将类似于具有R·N而不是N个样本的估计量。我们在结束本节时指出（N，R）可以理解为两个著名的蒙特卡罗算法之间的插值：R=1对应于一个简单的蒙特卡罗估计量，R=∞ 对应于条件蒙特卡罗。对于R=1，该算法简化为一个简单的蒙特卡罗估计MC=XτA的（N，1）- XτBalong N样本X，Xτ∨. 此外，我们有(MC）=Var（XτA- XτB）N=v+vN。通过嵌套CMC 50.0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.050 100 150 200TX图1比较停止时间。模拟轨迹在两个训练边界停止并复制。最终等式是众所周知的条件方差分解公式。估计量的内和（N，R），RRXr=1S（i）（X（i，R）τ∨,（i，r）- X（i）τ∧,（i） ，可以解释为蒙特卡罗估计量forD（i）=E[S（i）（X（i，1）τ∨,（一、1）- X（i）τ∧,（i） ）| Fτ∧,（i） ]。精确到极限R→ ∞. 极限蒙特卡罗估计CM C=NNXi=1D（i）是. 在我们考虑的应用中，D（i）中的条件期望通常不能显式计算，因此估计量厘米C=（N），∞)这纯粹是出于理论利益。方差CM-Cis由var给出(CM C）=vN，因此与司仪。通过使用嵌套模拟（R>1）来逼近条件期望，我们构造了至少实现部分方差缩减的可实现估计量。3.校准算法在上一节中，我们看到（N，R）与简单的蒙特卡罗估计相比，实现了保证方差减少（N，1）。

然而，这种比较是不公平的，因为复制次数的增加会导致更高的计算成本。因此，在本节中，我们将讨论6 FABIAN DICKMANN和NIKOLAUS Schweizer提出的一系列密切相关的问题：给定固定的计算预算，何时有利于实施估算（N，R）R>1？我们如何确定R的最佳值？与R=1的简单蒙特卡罗方法相比，我们获得了多少收益？算法的性能对校准错误有多敏感？事实证明，所有这些问题的答案关键取决于两个自然条件：实施（N，R）当R>1时，如果理论条件蒙特卡罗估计量CM c将导致显著的方差减少，2）如果生成Xτ的样本∨- Xτ∧关于Xτ的条件∧比Xτ的取样拷贝便宜∧, i、 例如，如果算法的步骤A2中单个样本的成本小于步骤A1中的成本。如果τa和τb非常相似，则第二个条件可能成立，即停止时间之间的差异预期将远小于其最小值。接下来，请注意，实现固定N和R的估计器的计算成本本身是随机的，因为必须模拟的时间步数取决于停止时间的实现。即使对于R=1的简单蒙特卡罗估计也是如此。因此，以下分析基于预期的计算成本。用ρ表示模拟Xτ实现的预期计算成本∧在算法的步骤A1中。ρ考虑了预期长度E[τ∧] 以及评估沿该路径停车时间的成本。用ρ表示模拟Xτ区域化的预期计算成本∨-Xτ∧对于给定的Xτ∧在算法的步骤A2中。

ρ考虑预期长度E[τ∨- τ∧] 以及评估沿着该路径的两次停车时间的成本。因此，用参数N和R实现估计器的预期计算成本由c（N，R）=Nρ+N Rρ给出。为了简单起见，我们假设v，v，ρ和ρ是严格正的。下一个命题描述了如何为给定的计算预算C最优选择N和R。特别是，我们推导了优化器的表达式*这与总体预算无关，表明在相关条件下，步骤Sa1和A2之间计算成本的最佳分配与C无关。因此，校准算法的问题基本上归结为找到一个很好的选择R。目前，我们忽略了N和R上的整数约束。然而，我们考虑到，为了获得一个可实现的算法，我们必须有R≥ 1.通过确定R*> 1我们确定了嵌套条件蒙特卡罗算法比简单蒙特卡罗算法更有效的情况。提议3.1。对于任何C>0，解决方案（N*, R*) 托米尔酒店(（N，R）s.t.c（N，R）≤ C、 R≥ 1，N≥ 0给出如下：如果（3）ρvv>1通过嵌套CMC 7比较停止时间*=rρρ和N*=Cρ+ρR*.如果违反条件（3），则最佳选择为isR*= 1和N*=Cρ+ρ。从条件（3）中，我们可以将R>1的算法优于简单蒙特卡罗的情况描述如下：（3）如果在步骤A2中单个样本的成本小于步骤A1中的成本，ρ<ρ，并且如果一个完美的CMC估计器将方差减少至少一个因子2，v<v，则完全满足要求。