交叉股票与正格拉斯曼I：背后的几何

这一次，库存1（AXP）和库存4（PG）都是固定点。这两个固定点必须在排列图中有关联的线，为此，以下约定将取代装饰排列中的着色功能：-将与股票相关的线指向右侧，股票价格从初始时刻开始上涨；-与股票价格从一开始就下跌相关的绳子指向左边。在排列中有两个固定点，1和4与stocksAXP和PG相关。stock AXP的价格从2013年5月15日的72,78上涨至2013年5月6日的74,76，其绳索指向右侧；同期，PG的价格从80,68降至76,66，与之相关的电线将指向左侧。与置换有关的置换图如图4所示，它描述了一个装饰排列。图4。修饰排列装饰排列是与另一个引人注目的组合对象格拉斯曼项链的双射。格拉斯曼项链将几何与股市联系起来。如前所述，将提供组合定义，并揭示其与股票市场的关系。格拉斯曼项链是一个序列 子集的定义如果  比 对于 ;-  如果 比.人们很快就会注意到，尽管上面给出了原始的组合定义，但从装饰排列中很容易找到格拉斯曼项链。每学期在格拉斯曼项链序列中 在排列项的每个循环移位顺序中，由指向左边的绳索构成。格拉斯曼项链的概念如图5所示，其中循环移位顺序中的每个项都被计算为集合的一部分.

修饰排列与之前相同，并且基于与图2中的接线图相关联的股票市场排列。图5。格拉斯曼项链中与排列有关的术语很容易注意到，有两条绳子指向左边，这将使格拉斯曼项链的每个终端都有两个组件。第一个术语仅用于举例说明，考虑格拉斯曼项链术语由股票表示：, , , .                    （1） 下一节将通过钩子图探索另一种构建格拉斯曼项链的方法，钩子图在与组合概念相关的方面构成了更丰富的对象。5.股票置换的钩形图Shooks图不仅有助于找到装饰置换的格拉斯曼项链，正如上一节所指出的，而且更重要的是，它将提供有关最终股票市场几何对象的尺寸数量的信息。道琼斯工业平均指数的四个股票组成部分的股票市场的几何结构将是三维的。考虑到所有30个库存组件，几何体将更加复杂，由此产生的几何体将生活在一个具有更多维度的空间中。为了构造钩子图，有必要用另一种方法来描述修饰排列。这次，装饰的排列被视为一张地图以至于     .

简单地说，在一个装饰排列中指向左边的线正在发送到远处，这意味着必须改变方向相对于初始排列。以道琼斯工业平均指数四个股票组成部分为例，排列必须将与股市相关的信息转移到 说了所有这些，跳过，为了简单起见，与上述排列相关的数学定义、钩子图可以图形化地描述为：图6。与排列相关的钩子图.感兴趣的读者可以参考[1]，从与toit相关的修饰排列中构造钩子。钩子图通过修饰排列对股票市场所关联的几何对象的维度的重要信息进行编码。在上图中与任何吊钩的垂直（或水平）部分相交的其他吊钩的数量  , 用绿点表示。股票市场几何对象的尺寸是： （2） 在哪里 是指装饰排列中指向左侧的跳线数。为了举例说明，为了排列吊钩交叉口的数量如图6所示。注意到了吗   股票市场的这种配置具有以下维度：                                        （3） 换言之，它期望通过排列来描述股票市场结构的几何对象有3个维度，可以直观地可视化。

这里需要注意的是，这是一个特殊情况；通常，股票市场的几何对象存在于更高的维度中，不可能直接绘制出来。在后面的章节中，有人指出，钩子图是寻找特定股票市场配置的格拉斯曼项链的另一种方法。就每学期而言在格拉斯曼项链里 只是一个列表 水平线，穿过柱在排列的例子中格拉斯曼项链术语如下图7所示：图7。格拉斯曼项链由钩子图产生。请注意，上一节中相同的格拉斯曼项链术语已恢复。格拉斯曼项链在本次展览中很重要，主要是因为它有效地连接到组合几何中的美丽结构，如拟阵、正阵和多面体，这将在下一节中探讨。6.组合几何学与股市多面体下一节主要介绍常用的组合几何学和代数几何学概念，这些概念将进一步适用于股市现实。感兴趣的读者被推荐对这些美丽的数学分支进行广泛的探索，以便更好地理解……将进一步讨论的非凡组合对象是构建股票市场与几何之间桥梁的最后一块砖。

本节的中心人物将是拟阵、正阵和最终的多面体；还将探讨它们与格拉斯曼项链的关系。集合上k阶拟阵这是一个非空的收藏  kelements子集的基，称为, 满足交换公理；无论如何   和    , 存在   以至于 .这里有一个参考，指的是循环移位的顺序，它将人们的思维带到一条项链上，以及这些组合对象之间可能存在的一种关系。事实上，格拉斯曼和一种特殊的拟阵之间存在一个互射，即正阵。正片，这是一个相对较新的组合概念，主要是a.Postnikovwork的成果，后来变得“著名”“由于其在量子场论中的出色应用。Postnikov发现的精髓是，每一个修饰的排列，以及由此产生的格拉斯曼项链，都对应于一个正阵。也就是说，每一个股票市场表示，修饰了股票排列的，都对应于一个正阵。拟阵  是正色阵的当且仅当它可以写成  福拉格拉斯曼项链 ; 在这里是周期性移位的舒伯特细胞。虽然这是下文中正色阵的神圣定义，但为了简单起见，也为了与格拉斯曼直接联系，我们将使用正色阵的派生词。 只有当且仅当下列条件成立时，才是正色阵：   如果且仅当 总之 . 换言之，正阵可以通过以下方式直接从格拉斯曼项链写入：   现在很清楚为什么格拉斯曼项链如此重要。以股票市场为例，很容易找到与股票交叉相关的修饰排列的股票市场正解。

回想一下，被破坏的排列与股市状况相关的因素有：, , , （4） 根据定义，股市正片将有以下基础： （5） 这些抽象的“坐标”反映了2013年6月3日的股市情况，而股市正片则对截至目前为止的股票交叉点进行了编码。还有一个步骤，直到股票价格的交叉可以反映在计量对象中，这将立即变得清晰，即正色多面体或股票市场多面体。正阵多面体就是正阵的几何表示，正阵的顶点由正阵基定义。对于具有（5）中所示基础的股票市场正片，相关的股票市场多面体如图8所示：图8。股票市场多面体。请注意，多面体顶点标记为初始股票市场置换中的port股票。很难相信上面的几何结构能够代表某个特定日期的股市状态，但股市多面体仍然编码所有与股价运动相关的信息。7.正格拉斯曼和股票市场多面体的分解构造股票市场多面体的另一种更有效的方法是考虑格拉斯曼多样性的矩阵方法。本文有意避免这种方法，因为它的复杂性和更深刻的含义将构成未来论述的主题。

矩阵在接近股票市场时的丰富性最终将取决于仅通过计算股票市场多面体的体积来表示在特定状态下找到市场的概率。这里的讨论仅限于展示股票市场多面体与正格拉斯马尼亚体的显著结构之间的关系，正格拉斯马尼亚体导致分层并分解为正色细胞。简单地说，股票市场多面体的分解只是一次一次地消除股票交叉点。反向操作，即合并，通过在市场初始配置中添加股票交叉，与股市多面体的构建有关。格拉斯曼人空间是什么-三维平面-维度空间。积极的格拉斯曼主义是真正格拉斯曼的一个子集. 在[1]，[2]中，Postnikov证明了正阵是正格拉斯曼链中的一个点，由格拉斯曼链索引。此外，正阵与正格拉斯曼细胞（如是细胞不相交的结合。它看起来很复杂，但正如我们将立即看到的那样，以股票市场为例，它被排列所装饰股票市场多面体只是所有股票交叉点的结合。一次移除一个交叉点，就存在于正格拉斯曼的分解中。为了更好地可视化分解的细节，再次使用了股票的排列图。这一次，排列图与另一个组合对象关联，即图9所示的非交叉分区。图9。非交叉分割的股票装饰排列。非交叉隔墙的特殊性在于其边缘不相交。

这正是如果从初始排列中删除一个股票的交叉点会发生的情况。在图9中的非交叉分区中移除边缘因此，边缘也消失，否则非交叉分区不再存在。情况如图10所示。图10。去除与股票市场多面体相关的股票交叉。从接线图上可以清楚地看出取消在同一时间。这种成对的取消保留了格拉斯曼的积极性每次交叉移除后。正片的每一面都是正片。在股票市场相关的排列中，交叉点的消除存在于正格拉斯曼分布的分解中如图11所示，由股票市场多面体标记在正片细胞中。图11。股票市场多面体的分解，即每个交叉点都对应于多面体的一个面。股票市场多面体可以从市场的初始状态一步一步地构建，每次市场报价引发股票交叉时，都要添加边和面。添加正色细胞是粘合过程。如果考虑所有DJIA组件，粘合过程更复杂。必须考虑越来越多的库存交叉点，这一过程将导致空间具有更高的维度。8.讨论和结论性意见本文件构成了一幅地图，将市场上股票的价格演变与复杂而美丽的几何形状联系起来。这张地图的“道路”是组合概念，如排列和钩子、正阵和多面体，或正格拉斯曼的显著几何结构。构建上述地图的关键是将股票价格的变化与排列等组合对象联系起来。

如果构成指数的股票以特定的方式排列，并考虑到股票的交叉性，这种关联很容易建立。在某些惯例下，通过盘旋股票价格得出的图表正是与排列相关的接线图。以真实的股票报价为例，对道琼斯工业平均指数（DJIA）进行了分析，并将其四个股票组成部分（APX、HD、WMT和PG）在短时间内的价格整合到一个接线图中，该接线图被证明是一个显著的排列图。换句话说，关于讨论中的股票，可以说AXP与HD置换，或WMT与PG置换。进一步推动股票市场的组合方法，在装饰置换的帮助下，根据置换图中的一些简单规则，对生成的接线图进行变换。本文简要解释了一些与修饰排列有关的组合对象，以及它们与股市的关系，但没有深入研究相关的数学。组合概念，如格拉斯曼项链、拟阵或正阵，在金融框架中看起来很奇特，但正如在本次论述中所看到的，它们非常适合股票市场的图景。最后，通过添加多面体的概念，完成了将市场中股票的报价与优美几何图形连接起来的地图。这样，对股票市场的所有相关信息进行编码的几何对象就可以称为股票市场多面体。为了更好地理解多面体，我们加入了积极的格拉斯曼指数，以完成一幅可以通过几何形状观察股市表现的图片。由于多面体通常生活在更高的维度中，所以它们的形状不能有直接的图像。

正的格拉斯曼细胞通过简单地将市场指数组成部分之间的所有股票交叉点粘合在一起，帮助构建多维股票市场多面体。当然，要把股市想象成一个几何形状并不容易，比如说一个微不足道的例子。尽管如此，股票市场多面体充分编码了有关股票市场当前（或未来论文将评估的未来）状态的所有相关信息。在未来的一篇论文中，我们将对股票市场多面体的性质进行更深入的研究，例如其交易量与某一市场状态发生的概率之间的关系。9.参考文献[1]A.Postnikov，《完全正性》、《格拉斯曼人与网络》，Arxiv Mathematics e-prints（2006）[math/0609764]。[2] A.Postnikov，D.Speyer和L.Williams，匹配多面体，复曲面几何和格拉斯曼的非负部分，代数组合学杂志30（2009）173-191，[arXiv:0706.2501]。[3] N.Arkani Hamed、J.L.Bourjaily、F.Cachazo、A.B.Goncharov、A.Postnikov和J.Trnka，《散射振幅和正格拉斯曼量》，arXiv:1212.5605。[4] N.Arkani Hamed，J.L.Bourjaily，F.Cachazo，A.Hodges和J.Trnka，多面体散射振幅的ANote，“JHEP 1204（2012）081，arXiv:1012.6030[hep th]。4,6,11,56,57,69,248。[5]S.Franco，D.Galloni和A.Mariotti，壳上图的几何，arXiv:1310.3820。[6]A.Amariti和D.Forcella，散射振幅和复曲面几何，arXiv:1305.5252。[7]A.Knutson，T.Lam，和D.Speyer，正色品种：杂耍和几何，”arXiv:1111.3660[math.AG]。6, 152, 155, 195.[8] I.M.Gelfand、R.M.Goresky、R.D.MacPherson和V.V.Serganova，《组合几何、凸多面体和舒伯特细胞》，《英迈杂志》第63期（1987）第3期，301{316.151[9]Y.Kodama和L。