应用程序中对称Léevy回报的期权定价

在离散时间内，自然EMM总是存在的，这与没有布朗成分的L′evy过程的连续时间设置相矛盾。此外，参数满足（19）–有关详细信息，请参见[23]。在离散时间内，自然EMM始终存在（且是唯一的），并通过改变位置u而获得，同时保持σ。4.2具有自然EMM的期权定价根据无套利定价方法，期权时间0的值由支付函数的期望给出，即C=e-rTEQ装货单- K+（22）式中，T是达到饱和的时间，K是执行价格，Q是EMM。上述公式（22）是无套利的，即使Q不是唯一的（[7]，[35]p.398）。在本节中，我们使用Num’eraire的变化（见[16]或[22]第11.5节）编写了期权定价公式（22），该公式给出了sc=SQST>K- E-rTKQST>K, （23）式中Q，由dqdq=e定义-rTSTS，（24）是过程ert/STI为鞅的度量。4.2.1对称ric L’evy返回布朗分量，让Yt成为具有P特征三重态（u，c，ν）的s y mmetric L’evy过程，且c 6=0。设S（u，σ，ψ）是yan的P分布，Qbe是自然EMM（对于Yt）。然后，在Q下，Yt仍然是一个对称的过程，具有特征的三重态（~u，c，ν），并且Ybecomes S（~u，σ，ψ）的分布，其中~u=r- lnψ- σ/2.现在，很容易看出QI也是一种自然的EMM。事实上，自从-具有P-特征三胞胎的Ytisa L′evy过程(-u，c，ν）和since的分布-易斯S(-u，σ，ψ），选择QI，使|u=r+lnψ-σ. （25）该选择是唯一的，因为位置参数（μ）唯一地确定η，而η又规定了等效的测量值。由于|u的唯一性，QI是唯一的。在Q下，Ytis是一个对称的L′evy过程，带有来自家族的边缘（△ut，σt，ψt）。提案4.3。

用FTP表示标准化变量（YT）的分布函数- uT）/（σ√T）：英尺（y）=PYT≤ σ√TY+uT.ThenFT（y）=QYT≤ σ√Ty+~uT= QYT≤ σ√Ty+~uT,期权定价公式（23）变为C=SFTlnSK+r+lnψ(-σ/2)Tσ√T-E-rTKFTlnSK+R- lnψ(-σ/2)Tσ√T（26）证据。第一种说法源自以下事实：（YT）的分布-E[T]）/（σ√T）对于所有三个测量值P、Q和Q都是相同的；在所有三种概率下，其特征函数如下所示：ψu/（2T）T.此外，由于YTis关于uT对称，FTis关于0和1对称- 英尺（a）=英尺(-a） 。（26）现在通过简单的算术进行。4.2.2 Symmet ric L’evy返回时不含布朗成分现在考虑一下YIT是具有P-特征三重态（u，0，ν）的对称L’evy过程的情况。进一步假设利率r大于位置参数u。如前所述，让S（u，σ，ψ）为Yan的P分布，Q为自然EMM（对于Yt）。那么Ybecomes（u，σ，ψ）的Q分布，这里的σ是方程（21）的解。与带有布朗成分的对称L’evy回报不同，theEMM Qdoes没有定义度量的自然变化。然而，在这里考虑的特定情况下（方差伽马和正态逆高斯），我们能够识别（YT）的分布-uT）/（λσ√T）在Q和（YT）下- uT）/（λσ√T）在Q下，用fta和fta表示各自的累积分布函数，我们可以写出ec=SQ（ST>K）- E-rTKQ（ST>K）（27）=S“1- 英尺-自然对数SK+ uTσ√T#- E-rTKFTlnSK+ uTσ√T5变异伽马模型此处，库存p大米被建模为St=SeYt，其中YIT是一个变异伽马（VG）过程。VG过程的边缘分布最初在[25]中以涉及第二类修正贝塞尔函数和退化超几何函数的特殊函数的形式给出。

在对称度量过程的特殊情况下，边缘变成了贝塞尔分布。这一观察得出了优雅的公式。5.1对称方差伽马过程用贝塞尔（u，σ，λ）表示贝塞尔分布的均值u，方差σ和形状参数λ。对称贝塞尔分布的平均值u=0，特征函数（[20]，p.51）的形式为（u）=1+uσ2λλ.由（[20]，p.50）f（x）=r2λπσ给出了对称贝塞尔分布的密度函数rλx2σλ-Γ（λ）Kλ-rλx2σ, （28）其中Kw（）是第二个kin d的修正贝塞尔函数。我们一直认为对称贝塞尔分布移位了u，但我们将删除“移位”一词。对称贝塞尔分布贝塞尔（u，σ，λ）属于对称分布S（u，σ，ψ）的家族，其特征发生器ψ（v）=1+vλλ. （29）我们注意到对称贝塞尔分布的峰度为3+λ，因此，形状参数λ通过λ=γ与过剩峰度相关。（因为ran dom变量Y的多余峰度是γ=E[（Y-u)]σ- 3).对称VG-Ythas特征函数埃伊特= eiuut1+uσκtκ=eiuut1+uσt2λtλt，（30），其中我们使用了λ=κ。通过考察特征函数，我们得到了命题5.1。对称方差Gamma过程的边缘是一个对称贝塞尔分布，平均值为ut，方差为σt，形状参数为λt，即Yt~ 贝塞尔（ut，σt，λt），它属于对称分布S（ut，σt，ψt）族，其中特征g发生器由ψt（v）给出=ψ（v/t）t=1+vλtλt.（31）5.2对称VG5的期权定价。2.1连续时间我们确定了Yt在EMMs Q和Q下的分布。根据定理3.1和4.1，如果μ<r，则Ys对称贝塞尔的Q分布（u，＠σ，ψ），其中通过使用（29）我们得到（21）＠σ=2λ（1）- E-（r）-u)/λ).

（32）在Q项下，YTi的分布如下所示。提议5.2。用fqyt表示y的Q密度~ 贝塞尔（ut，σt，λt）。然后用ey计算YTq下的YT密度-rtfQYt（y）是非对称贝塞尔分布的密度函数。证据从（24）中定义的数量变化可以看出，YTQI的密度-rtfQYt（y）=ey-rtr2λπσrλ（y）- ut）2σλt-Γ（λt）Kλt-rλ（y）- ut）2σ. （33）使用对称贝塞尔分布的特征产生器（31），其如下所示：-rt=ey-ut1.-~σ2λλt.（34）现在，应用（34）并让y*= Y- ut，第二行（33）中的表达变为*1.-~σ2λλtr2λπ∧σrλ（y）*)2~σλt-Γ（λt）Kλt-r2λ（y）*)~σ.其次，设m=λt-, a=-q~σ2λ和b=q~σ2λ，我们得到-rtfYt（y）=ey*1.- A.m+b√π|Y*|2bmΓ（m+）公里|Y*|B=(1 - a） m+| y*|M√π2mbm+1Γ（m+）ey*公里Y*B. （35）通过仔细观察，我们立即认识到，表（35）中的密度是不对称贝塞尔函数分布的密度（[20]，p.50），其形式为Fz（z）=1- a | m+| z | m√π2mbm+1Γm+E-azbKmzb. （36）为了完整性，我们给出了非对称贝塞尔分布的均值、方差、偏度和峰度的显式表达式（[20]，第51页）。平均值=（2m+1）ba（a）- 1)-1（37）方差=（2m+1）b（a+1）（a）- 1)-2（38）偏度=2a（a+3）（2m+1）-1/2（a+1）-3/2（39）峰度=3+6（a+6a+1）（2m+1）-1（a+1）-2（40）式中a=-q~σ2λ，b=-a、 m=λt-.让我来*t=Yt- ut，由（35）可知*这是一种不对称贝塞尔分布，表示为贝塞尔（ut，＠σt，λt），其中平均值ut和方差＠σt分别由（37）和（38）给出。特别是，E[Y]*] = u= 2λe（r）-u）/λ- 1., （41）V ar（Y）*) = ~σ= 2λe（r）-u)/λ- 1.2e（r）-u)/λ- 1., （42）我们在其中工作过（32）。

因此在Q下，Yt=Y*t+ut~贝塞尔（ut+ut，*σt，λt）。最后，用Bλt（y）表示标准化对称贝塞尔随机变量t的累积分布函数-utσ√T~ q下的贝塞尔（0，1，λt），以及标准化对称贝塞尔随机变量的累积分布函数-ut-utσ√T~ Q.命题5.3下的贝塞尔（0，1，λt）。让Yt~ 贝塞尔（ut，σt，λt）和u<r。然后，使用自然EMM的看涨期权的无风险价格由C=S“1给出- BλT-自然对数SK+ uT+uT∑√T#- E-rTKBλTlnSK+ uTσ√T（43）式中u=2λe（r）-u）/λ- 1., ~σ= 2λe（r）-u）/λ- 1.2e（r）-u）/λ- 1.和∧σ=2λ（1- E-（r）-u)/λ).备注5.4。[26]和[25]给出了一般VG过程的期权定价公式（等式25）。[26]将公式表示为初等函数的二重积分，并通过数值积分获得价格，[25]提供了涉及第二类修正贝塞尔函数和退化超几何函数的特殊函数的闭式公式。对于对称情况，f公式要简单得多。备注5.5。自然EMM方法在连续时间内的缺点是u<r。这可以通过使用离散时间来克服，其中自然EMM在u时也存在≥ r、 并在下一节中给出。5.2.2离散TimeLet now SN=SeYNbe股票价格模型，其中YN=PNn=1Ynisa是离散时间的对称VG过程。n=1，N是i.i.d.对称贝塞尔分布贝塞尔（u，σ，λ），属于sy矩阵族s（u，σ，ψ），其中ψ在（29）中给出。可以选择仅移动位置参数的Q和Qas自然EMM。因此，Q分布Ynis-Bessel（∧u，σ，λ）与∧u=r- lnψ-σ. 的Q分布Ynis-Bessel（∧u，σ，λ），其中∧u=r+lnψ-σ. 这很容易看出，另请参见[23]。

用bλN（y）表示标准化对称容器的累积分布函数-uNσ√N.提案5.6。允许yn遵循对称贝塞尔分布贝塞尔（u，σ，λ），则N期到期的看涨期权的无套利价格由c=SBλNln给出SK+R- λln（1）-σ2λ)Nσ√N- E-rNKBλNlnSK+r+λln（1）-σ2λ)Nσ√N（44）5.2.3数值比较为了进行比较，我们近似计算标准化贝塞尔随机变量（YT）的分布-uT）/σ√T（在离散情况下，时间T被N替换）为标准法线，换句话说，BλTbyΦ。我们还用标准正态近似连续时间情况下出现的标准化非对称贝塞尔随机变量，因为它的分布只是略微负偏，因此可以忽略不计。在我们的近似中，我们假设是这种情况（偏度很小）。此外，回想一下对称贝塞尔分布的形状参数λ和过剩峰度γ由λ=γ关联。因此，对于连续时间和离散时间的每一种情况，我们得到了一个易于使用的Black-Scholes期权定价公式，该公式给出了解释峰度的修正。在连续时间情况下，对数对称VG模型（VG-C）的广义或修正Black-Scholes公式由C给出≈ SΦlnSK+ uT+uT∑√T- E-rTKΦlnSK+ uTσ√T（45）式中u=γe（r）-u)γ/3- 1., ~σ=γe（r）-u)γ/3- 1.2e（r）-u)γ/3- 1.和∧σ=γ（1-E-（r）-u)γ/3).

注意，Black-Scholes公式是广义版本（VG-C）（45）的特例，当γ→ 0，原因如下：u=γe（r）-u)γ/3- 1.→ 2（r）- u),~σ=γe（r）-u)γ/3- 1.2e（r）-u)γ/3- 1.→ 2（r）- u),~σ=γ1.- E-（r）-u)γ/3→ 2（r）- u).如果2（r- u）=σ，这是Black-Scholes模型中的一个常数（回想一下，在风险中性度量Q下，平均u=r-σ，波动率σ是一个常数），然后通过使用这些结果和一些简单的公式，很容易看出，广义公式（VG-C）（45）是精确的Black-Scholes公式。在离散时间情况下，对数对称CVG模型（VG-D）的修正Black-Scholes公式由C给出≈ SΦ自然对数SK+R-γln（1）-γσ)Nσ√N- E-rNKΦ自然对数SK+r+γln（1）-γσ)Nσ√N. （46）可以看出，Black-Scholes公式是当γ→ 0由于γln1.-γσ→ -σ.经典的Black-Scholes公式（BS）被认为是稳健的，因为对于较小的超额峰度γ值，它在连续时间和离散时间情况下都与修正的Black-Scholes公式一致。然而，即使对于γ的中等值，修改后的Black-Scholes公式（VG-C和VG-D）和BS之间的区别也很明显（见图1），VG-C和BS公式之间的差异大于VG-D和BS之间的差异。具体价格和百分比差异如表1所示。到期时间（周）2 12 22 32 42 52BS公式0.160 0.434 0.622 0.782 0.927 1.062VG-D公式0.1620.439 0.628 0.789 0.935 1.071百分比差异1.13 1.01 0.94 0.88 0.84 0.80VG-C公式0.192 0.511 0.725 0.904 1.065 1.213百分比差异19.85 17.67 16.46 15.55 14.81.17表1：VG-C获得的期权价格和百分比差异，对数贝塞尔分布周收益率的VG和BS公式，S=K=10，r=0.06，σ=0.19，u=0.03，γ=4备注5.7。

我们建议对任何具有正超额峰度的分布使用修正公式。图1：对数贝塞尔分布周收益率的VG-C、VGD和BS公式得出的期权价格和百分比差异，S=K=10，r=0.06，σ=0.19，u=0.03，γ=46正态逆高斯模型6。1 NIG过程和分布在本节中，模型为St=SeYt，其中YIT为正态逆高斯（NIG）过程。NIG d分布首先由Barndor ff-Nielsen[1]引入，作为参数λ=-. 用NIG（α，β，δ，u）表示NIG分布，其中u是位置参数，δ是尺度参数，α是sh参数，β是偏度。NIG分布的密度由[33]p.60或[31]fY（y）=απeδ给出√α-β+β（y）-u）Kαδq1+（y-uδ)q1+（y）-μδ），（47）其中Kis是第三种修正贝塞尔函数，y，u∈ R、 δ≥ 0和0≤ |β| ≤ α. NIG d分布的特征函数为φ（u）=eiuueδ√α-βeδ√α-（β+iu），（48）以及NIG分布的平均值、方差、偏度和峰度均为平均值=u+βδpα- β（49）方差=Δαpα- β. （50）偏度=3βαδpα- β（51）峰度=31+α+4βδαpα- β. （52）对称的NIG L’evy过程具有对称的NIG边缘。当偏度参数β=0时，Ig分布是对称的。在这种情况下，对称NIG的密度（47）为fy（y）=απeαδKαδq1+（y-uδ)q1+（y）-uδ). （53）对称NIG的特征函数（48）为φ（u）=eiuueαδ1.-√1+（uα）. （54）分别从等式（49）、（50）和（52）得出，u是平均值，方差是δα，峰度是3+αδ。

我们将用SN-IG（α，0，δ，u）表示对称NIG的分布。通过检查特征函数，我们可以看到对称正态逆高斯分布的特征发生器由ψ（v）=eζ给出1.-q1+2vζ, （55）式中ζ=αδ.6.2对称NIG模型的期权定价6。2.1连续时间我们确定Yt在EMM的Q和Q下的分布。如果μ<r，则存在自然的EMM和Ys对称的NIG分布NIG（α，0，＠δ，μ），其中＠δα=＠σ。其中，通过使用（55），我们从（21）~σ=2（r）得到- u) -R- uασ, . （56）因此，Yt~ Q下的SN-IG（α，0，δt，ut），平均值为ut，方差为σt=△δt/α。在Q下，Ytis的分布由以下定理确定。提议6.1。yTq下的密度，由ey给出-rtfQYt（y）是非对称NIG分布Yt的密度函数~ NIG（α，1，~δt，ut）。证据使用（21）和（24）ey-rtfQYt（y）=ey-ut-α|Δt+|Δt√α-1απeα∧δtKαδtq1+Y-utδtq1+Y-utδt=απey-ut+~δt√α-1Kαδtq1+Y-utδtq1+Y-utδt. （57）可以验证（57）是非对称分布（见（47））的密度函数，参数为α（不变）、β=1、u=ut和δ=△δt。均值和方差分别由（49）和（50）给出。E[Y]=u=u+rα- 1~σ，（58）V ar（Y）=σ=rαα- 1.∑（59），其中∑由（56）给出。用FSN-IG（y）表示标准化对称NIG随机变量的计算分布函数-utσ√T~ Q下的SNIG（α，0，α，0），并用FNIG（y）表示标准化非对称NIG随机变量的累积分布函数-utσ√T~ NIG（α，1，α，0）在q下，我们得到了对称NIG过程下期权定价的显式公式，可以用标准化（对称和非对称）NIG的累积分布函数来表示。提议6.2。让Yt~ SNIG（α，0，δt，ut）和u<r。

然后，使用自然EMM的看涨期权的无风险价格由C=S“1给出- FNIG-自然对数SK+ uTσ√T#- E-rTKFSN-IGlnSK+ uTσ√T（60）式中u=u+qα-1~σ, ~σ=qα-1.√σ和√σ=2（r- u) -R-uασ.离散时间模型允许自然EMM，即使在≥ r、 备注5.5.6.2.2离散时间离散时间内的股价过程SN=SeYNwhere YN=PNn=1伊内斯Yn，n=1。N是i.i.d.SNIG（α，0，δ，u），它属于对称族S（u，σ，ψ），其中σ=Δα=Δαδ，ψ是（55）。回想一下，对于固定的σ，我们可以通过只改变位置参数u来获得两个自然EMM的Q和Q，从而使Yn保持对称的L’evy过程。的Q分布Ynis-SNIG（α，0，δ，μ），其中μ=r- lnψ-σ, 以及Ynis SN-IG（α，0，δ，μ），其中μ=r+lnψ-σ. 通过（55）和ζ=αδ=ασ，我们得到lnψ-σ= ζ1 -s1-σζ!= ασ- ασpα- 1.（61）因此，对于离散时间内对称NIG过程的精确期权定价公式，我们得到以下结果。提议6.3。允许Yn遵循对称NIG分布SN-IG（α，0，δ，u），则N个到期期的看涨期权的无套利价格由c=SFSN-IGln给出SK+r+ασ- ασ√α- 1.Nσ√N- E-rNKFSN-IGlnSK+R- ασ+ ασ√α- 1.Nσ√N（62）6.3数值比较为了进行比较，我们用标准正态近似标准对称NIG d分布，换句话说，FSN IGbyΦ。我们还通过标准正态分布，即FNIGbyΦ，来近似连续时间情况下出现的标准化非对称NIG分布，因为它只有轻微的正偏态。在此之前，我们假设偏斜度可以忽略不计。此外，回想一下对称NIG分布的形状参数ζ=αδ和超额峰度γ由γ=ζ关联。