应用程序中对称Léevy回报的期权定价

因此，对于连续时间和离散时间的每一种情况，我们得到了一个易于使用的Black-Scholes型期权定价公式，该公式给出了解释准入风险的修正。在连续时间情况下，对数对称NIG模型（NIG-C）的广义或修正Black-Scholes公式由C给出≈ SΦlnSK+ uTσ√T- E-rTKΦlnSK+ uTσ√T（63）式中u=u+q3-γσ~σ, ~σ=第三季度-γσ√σ和√σ=2（r-u)-γ（r）-u），其中我们应用了αα- 1=ασασ- σ=αδαδ - σ=3 - γσ.注意，当γ→ 0，我们有∑→ 2（r）- u）和3-γσ→ 1.因此，Black-Scholes公式是广义版本（NIG-C）（63）的特例，当γ→ 0，因为u=u+r3- γσ~σ→ u+2（r）- u),~σ=r3- γσ~σ→ 2（r）- u).让2（r- u）=σ，这是Black-Scholes模型中的常数（回想一下，在风险中性度量Q下，平均u=r-σ，波动率σ是常数），然后通过使用这些结果和一些简单的公式，不难看出广义公式（NIG-C）（63）是确切的Black-Scholes公式。在离散时间情况下，对数对称模型（NIG-D）的修正Black-Scholes公式由C给出≈ SΦ自然对数SK+r+γ1.-q1-γσNσ√N- E-rNKΦ自然对数SK+R-γ1.-q1-γσNσ√N. （64）可以看出，Black-Scholes公式是当γ→ 0到γ1-r1-γσ!→σ.下面给出了一个根据到期时间t绘制的期权价格公式示例，该公式使用了与对数对称VG模型中类似的一组参数值（见图2）。同样，很明显，即使γ的中等值（见图1），修改后的Black-Scholes公式（NIG-C和NIG-D）和BS之间的区别也很明显。与之前的模型一样，NIG-C和BS公式之间的一致性大于NIG-d和BS之间的不一致性。

具体价格和百分比差异如表2所示。图2：通过NIG-C、NIGD和BS公式获得的期权价格和百分比差异，用于对数NIG分配每周回报，S=K=10，r=0.06，σ=0.19，u=0.03，γ=4到期时间（周）2 12 22 32 42 52BS公式0.160 0.434 0.622 0.782 0.927 1.062NIG-D公式0.162 0.439 0.628 0.789 0.935 1.071百分比差异1.14 1.01 0.94 0.89 0.85 0.81NIG-C公式0.195 0.519 0.735 0.917 1.079 1.229百分比差异21.91 19.18 17.16.66表2：NIG-C获得的期权价格和百分比差异，对数NIG分布的NIGD和BS公式每周r eturns，S=K=10，r=0.06，σ=0.19，u=0.03，γ=47附录引理7.1。设ν和ν是（0）上的两个度量+∞) 有限次矩：κ=Z∞yν（dy）<+∞ 和√κ=Z∞yüν（dy）<+∞.设β=pκ/κ。伊夫兹∞1.- cos（ωy）~nν（dy）=Z∞1.- cos（βωy）ν（dy），ω>0，（65）然后ν=νβ，其中，νβ由g（y）νβ（dy）=Rg（βy）ν（dy）定义。证据为了证明这两个测度是相同的，我们证明了某些相关概率分布的梅林变换是相同的。首先，我们计算（65）：Z两边的拉普拉斯变换∞E-λωZ∞1.- cos（βωy）ν（dy）dω=Z∞Z∞E-λω1.- cos（βωy）dων（dy）=Z∞βyλ（λ+βy）ν（dy），同样地，对于ν。这里我们使用了identityZ∞E-λω1.- cos（ωy）dω=yλ（λ+y）。（65）变成∞yλ+y/ν（dy）=Z∞βyλ+βyν（dy），λ > 0. （66）现在考虑支持（0+∞), ~n（dy）=~κy~ν（dy）和n（dy）=~k yνβ（dy）。然后，对于所有λ>0，E，正随机变量XandeX，其各自的分布n和n满足λ+X= Eλ+eX.换句话说，XandeXare的Mellin变换是相等的，这反过来又意味着X和X的定律是相同的，~n=n，因此，~ν=νβ。引理7.2。limv→ ∞Z∞vh1.- cos（y）√2v/√σ）eφ（y）-1.- cos（y）√2v/σ）iν（dy）=0。证据

Letfv（y）=vh1.- cos（y）√2v/√σ）eφ（y）-1.- cos（y）√2v/σ）i、 显然，对于任何固定的y，limv→ ∞fv（y）=0。使用不等式1-cos（x）≤x/2我们得到| fv（y）|≤y~σeφ（y）+yσ=G（y）。G（y）相对于ν是可积的，因为L′evy度量∧ν和νsatisfyZR（1∧ y） νν（dy）<∞, andZR（1∧ y） ν（dy）<∞;方差的存在意味着z | y |>1y|ν（dy）<∞, andZ|y|>1yν（dy）<∞.结果服从于主导收敛。致谢这项研究得到了澳大利亚研究委员会（Australian research Council）的资助。参考文献[1]Barndo Off-Nielsen，O.E.正态逆高斯过程和股票收益模型。研究报告300，奥胡斯大学理论统计系。[2] Benhamou，E.Levy过程期权定价。E conWPA，金融，2002年，http://129.3.20.41/eps/fin/papers/0212/0212006。pdf。[3] Blattberg，R.C.和Gonedes，N.J.作为股票价格统计模型的稳定分布和学生分布的比较。《商业杂志》，471974年，第244-280页。[4] Chan，T.利维过程驱动的股票或有权益定价。安。应用概率，9:21999504-528。[5] Carr，P.和Wu，L.Time改变了列维流程和期权定价。《金融经济学》，2004年第71期，第113-141页。[6] Cont，R.和Tankov，P.带跳跃过程的金融建模Chapman and Hall，2004年，纽约。[7] Eberlein，E.和Jacod，J.关于期权价格的范围。《金融与随机》，1997年第1期，第131-140页。[8] Elliott，R.和Madan，D.离散时间等价鞅测度。《数学金融》1998年8:2，第127-152页。[9] Fajardo，J.和Mordecki，E.列维市场中的对称性和对偶性。《定量金融》，2006年6月3日，第219-227页。[10] Fama，E.F.股票市场价格的行为。《商业杂志》，第371965页，第34-105页。[11] 方，K.T.，科茨，S.和Ng，K.W.对称多元和相关分布。查普曼与霍尔，1990年，伦敦。[12] 福勒，H。

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