基于拟范数正则化的稀疏投资组合选择

此外，让K+=|P+|和K-= |\'P-|, andLji=\'Qjii-Kj（\'Qje）i+（Kj）（eT\'Qje），i∈“Pj，代表j∈ {+, -},其中是“qjon”到向量e的零空间的投影的对角线项：我-克吉特“Qj我-克吉特.然后它认为（i）’P+∩\'P-= .（ii）（K）+-1） （K+）3/2≤δ + 13/2Pi∈\'P+Liλ=δ + 13/2λhtr（\'Q+）-K+eT\'Q+EI和（K--1） （K）-)3/2≤δ - 1.3/2Pi∈\'P-Liλ=δ - 1.3/2λhtr（\'Q-)-K-eT-Q-工程安装。（iii）对于某些i，如果Li=0∈“\'P+（或i∈\'P-), 那么K+=1（或K-= 1); 否则，\'xji≥λ（Kj）- 1） 4Lji（Kj）2/3，我∈“Pj，代表j∈ {+, -}.证明：请参见附录I中的证明。定理3.3设‘x=（‘x+，’x-) 是（2.11），\'P+和\'P\'的任何二阶KKT解-成为“x+和”x的支持-, 和“P=”P+∪\'P-. 此外，设Q是对应于P，K=|P |，li=|Qii+2u的子矩阵-K（\'Qe）i+（K）（eT\'Qe），i∈“P。然后它认为（i）’P+∩\'P-= .（ii）如果k¨xk≤ δ、 然后（K- 1） K3/4≤4δ3/2Pi∈\'PLiλ=4δ3/2λhtr（\'Q）-凯蒂。（ii）对于某些i，如果Li=0∈P，然后K=1，所以xi=1和i∈“P+；否则，\'xji≥λ（K）- 1） 4LiK2/3，我∈“P。证明：请参见附录I中的证明。上述理论表明，计算“p-范数正则化投资组合管理问题”（2.4）和（2.9）的二阶KKT解，而不仅仅是一阶KKT解的重要性。在本文中，我们提出了一种内点算法来计算多项式时间内具有固定误差容限的近似第二个KKT点；详见附录二。

使用内点算法的总体思路是从每个考虑中的股票的完全支持的投资组合x（即x>0）开始，并在过程结束时迭代消除一部分股票。3.2 Li的特征在支持我们模型的理论中（见第3.1节），出现了一些有趣的事实和特征，需要注意的是“p-范数正则化马科维茨模型选择的投资组合的支持集的“预测方差”{Li}。给定任何股票投资组合，非零部分表示为x，具有大小为K的支撑P，可以重写定理3.1中的数量Li，如下所示：Li=（ei- e） Tq（ei）- e） =Var[ηT（ei）- e） ]，（3.1）ei∈ Rk是除第i个位置的1和e=Ke之外的所有零的向量∈ Rk。在这里，Ei和eare分别表示投资组合x中每只股票100%投资i和K得到的分布，η表示投资组合的随机回报向量。注意，Li，i=1。。。，K、 与x的输入值无关。差异向量（ei- e） 可以被视为“成本中性投资组合行动”，出售当前投资组合中同等数量的所有资产，并使用所有这些资金购买当前投资组合中的一只股票，即股票i。因此，高估了这种行为的差异。现在让我们考虑拉格朗日形式的马科维茨模型的可行解和最优解：minxTQx- φmTxs。t、 eTx=1，x≥ 0，（3.2），其中φ是与预期收益不等式相关的拉格朗日乘数。对于任何分配组合，表示为x-one的非零部分可以绘制向可行交换方向移动的目标函数ei- e:f[x+ε（ei）- e） ]=[x+ε（ei）- e） ]TQ[x+ε（ei）- e） ]- φmT[x+ε（ei）- e） [3.3）=f（x）+εCov[xTη，（ei）- e） Tη]- εφ（`mi- “m）+εli我们现在考虑当我们从投资组合x中移除时，哪种股票增加的方差最小。

假设我们沿着ei方向移除库存i- e、 然后我们有一个新的投资组合支持P/{i}，分布为x=x-KxiK-1（ei）-e） 。等式（3.3）将给出稀疏性（3.4）的边际成本MCSi=-KK- 1xi[Cov（xTη，（ei- e） Tη）- φ（`mi- \'m]+（KK- 1） 西丽。这些边际成本只是稀疏性真正成本的上限。他们没有考虑通过重新平衡可以做出任何进一步的改进，苏索弗估计了成本。当我们当前的投资组合x接近KKT点或局部极小值时，我们从一阶条件得知第一部分[Cov（xTη，（ei-e） Tη）-φ（`mi- “\'m]”必须接近于零，因此二阶项本身就是边际成本的一个很好的近似值。因此，在接近（局部）最优的投资组合x中，可以通过搜索xi的最小值来找到移除的最佳候选者√锂。相对稀疏成本指数（3.5）RSCi=xipli，其中最小的非零RSC指数是从x中剔除的最便宜（边际上）的指数，并且可能是剔除的最便宜（绝对）的指数。因此，数量可以被视为弹性的衡量标准：它们表明客观价值对x的微小成本中性变化有多敏感；因此，较小的LIV值表明哪些股票可以以最低成本从投资组合中移除。3.3 f（x；ei）的财务解释- e） ε*这是成本中立的投资组合行动工程安装- e | i∈ [1，n]形成可行方向的基础，因此目标沿这些方向的方向导数形成灵敏度分析方法。f（x，ei）- e） =Cov[xTη，（ei）- e） Tη]- φ（mi）- 其中，m是支持x的所有股票预期收益的平均值。在最佳点，这些衍生工具必须为零。

对于与最优性的小偏差，这些值可以用来逼近最优解的任何光滑连续函数。接下来，让我们更加关注基本可行方向上的最佳步长。具体来说，根据ei的指示-e、 相应的最优步长ε*iis由ε给出*我=-f（x；ei）- e） Li，（3.7），它直接从（3.3）派生而来。在任何最佳点，方向导数为零，因此最佳步长为零；但是如果我们考虑投影梯度的一个小变化，ε*通过采用方向ei来估计最优解的变化- e、 通过将（3.1）和（3.6）代入（3.7），我们得到ε*i=φmi- \'m*Var[（ei）- e） Tη]-Cov[xTη，（ei）- e） Tη]Var[（ei- e） Tη]。这两部分可以很容易地与“投影相关性”和“投影夏普比”概念联系起来，其中投影相关性为¨ρi:=Cov[xTη，（ei）- e） Tη]Std[xTη]* 标准[（ei）- e） Tη]，（3.8），预测的夏普比为\'Si=mi- \'m*标准[（ei）- e） Tη]。（3.9）则最佳步长可等效为：ε*i=\'SiφStd[（ei- e） Tη]- ρiStd[xTη]Std[（ei- e） Tη]（3.10）很明显，最优步长对成本中性投资组合的标准偏差的倒数（倒数）以及当前投资组合的标准偏差非常敏感。投影相关性和投影夏普比（以及φ）给出了这些关系的精确系数。3.3.1玩具示例在本节中，我们通过一些虚拟示例来说明之前的敏感性分析。考虑表1中的第一个例子，其中投资组合包括三只方差分布相同但预期回报不同的股票。由于预期回报的回报率很小（φ=0.01），低回报股票在最优投资组合中所占比例略小（32.33%对34.33%）。

根据我们的敏感性分析，由于股票1的RSC达到了三只股票的最低成本，投资者会直观地减少表1中的投资：玩具示例1平均方差x*（φ=0.01）LiOK将降低RSC2 1 11 2 11 1 20.32330.33330.34330.66670.66670.6667伊斯诺诺0.26400.27220.2803进一步增加股票，从而从基础中移除第一只股票，形成一个稀疏的投资组合（随着λ的增加）。直接计算还表明，这是去除成本最低的库存。考虑表2中的投资组合，其中两支股票正相关，雅达第三支股票是独立的；所有股票都有一个共同的均值和方差。L的大值（见（3.4）中的MCS方程）表明，第一只股票可能不是一个很好的被移除的候选者，这可以通过比较两只股票的投资组合方差清楚地看出。表2：玩具示例2平均方差x*（φ=0.01）LiOK将降低RSC2 0 00 2 10 1 20.43550.28230.28231.55560.88890.8889诺伊斯0.54310.26610.2661表3列出了由三支股票组成的投资组合，其中第三支股票实际上是一支零成本共同基金，只需对第一支和第二支股票进行同等投资。第三种库存产生了冗余，因此许多最佳解决方案都是可能的（我们已经任意展示了一种）。如果我们从投资组合中剔除第二只股票或第三只股票（但不是两者），那么我们仍然能够达到相同的最优目标（对于这个小φ，股票1和股票2的混合比例分别为75%-25%，而更平衡的混合比例为大φ）。

此外，我们看到L=0，这一事实正确地预测了存在严格的稀疏最优投资组合。表3：玩具示例3平均方差x*（φ=0.01）LiOK将降低RSC3 1 21 7 42 4 30.68750.19250.1200诺贝斯托克0.97220.27220.00作为最后一个例子，考虑表4，其中我们有一组股票，其中包括两个与大多数其他股票具有高方差和正相关的股票，彼此之间的负相关程度很高。仅这两支股票就构成了规模为2的优秀投资组合。在这里，我们看到，马科维茨投资组合中最小的投资不一定是要移除的股票（为了达到最佳表4：玩具示例4平均方差x）*（φ=0.01）LiOK将降低RSC8 7 6 67 26 6 06 6 96 -686 0 -68 730.29130.11660.27140.32071.8113.8183.3174.81伊斯诺诺0.3920.4332.4772.773稀疏投资组合）。单一股票的最佳投资组合是股票1。2号的最佳组合包括3号和4号库存。规模3的最佳投资组合不包括股票1。相对稀疏的成本似乎暗示了许多这样的选择。4计算结果4。1数据、参数和模型为了测试p-范数正则化模型，我们从CRSP数据库中收集了从2007年12月31日到2012年12月31日的历史每日股价数据inS&P500指数。我们不包括任何公司，除非其在数据期间至少90%的交易日在市场上交易，也不包括任何未在整个时间范围内在市场上上市的公司。截至1259个交易日，该榜单共有461家公司。

由于CES&P 500股票在0.4516左右具有较高的平均相关性，为了在更不相关的数据下检验我们的模型，我们进一步考虑了一个更大的数据集，其中包含来自美国市场的53个商品ETF日数据，以及来自中国市场的沪深300指数的236个股票数据。为了应对中美日历之间的不匹配，我们将两国因节假日而未交易的股票的回报率设置为零。我们采用滚动窗口法评估样本外性能，分别有500天和537天的应变窗口、21天和63天的估计窗口。根据标准普尔数据和国际数据得出的投资组合分别命名为标准普尔投资组合和国际投资组合。注意，正则化模型的线性目标项中的系数c=φm。为了求解p范数Markowitz模型，应相应地选择合适的φ值。为了实现这一目标，我们首先为最小目标收益率m设定合理的值，然后从模型的双变量中计算φ-值。我们选择这个短时间间隔是因为需要大量的间隔，并且普遍认为股票价格的分布在几十年内会发生根本性的变化。该指数包含中国上海和深圳证券交易所上市股票市值的60%。考虑到计算时间，我们使用了36个滚动窗口，用于无短路约束的情况和允许短路的\'p-范数模型，\'-范数球约束模型，\'-范数球约束的\'p-范数正则化模型和\'p- `-约束形式的范数双正则化模型。

我们使用均值、方差和夏普比率来评估样本外的表现，这里计算的夏普比率使用与[DeMiguel等人（2009）]相同的方法。4.2无卖空约束的情况[DeMiguel等人（2009b）]，作者应用`-范数技术来寻找sparseportfolios。然而，“-范数在没有短期约束的马科维茨模型中不起作用。然而，由于真实市场中不存在卖空环境和广泛存在的投资者，我们转向“p-范数正则化”来寻找这种情况下具有期望稀疏性的组合。正如我们稍后将看到的，与已经稀疏的Markowitz无卖空模型投资组合相比，无卖空约束的p-范数正则化模型（2.4）产生了极其稀疏的投资组合。在无卖空约束的Markowitz模型框架下，将p-范数正则化模型与两个基准进行了比较。第一种是不带正则化的Markowitz模型（λ=0），第二种是基数约束投资组合选择（CCPS）模型。通过求解以下问题（2.5）的整数公式，可以找到全局最优基数约束投资组合：minxTQx- cTxs。t、 eTx=1,0≤ 十、≤ d、 eTd≤ K、 d∈ {0,1}n.4.2.1在样本绩效表5中，报告了Markowitz投资组合的投资权重、平均值、方差和稀疏性，具体回报率从0.02%到0.12%。投资组合从19只到26只不等，约占全套投资组合的4.1%-5.6%。每个投资组合的预期回报等于或超过最低目标回报。表中清楚地显示了目标回报率较高的投资组合的估计方差也较高的趋势。表6列出了λ=5.5e的` p-范数正则化马科维茨模型的结果-6.通过我们的二阶内点算法。显然，由此产生的投资组合具有低方差和较大稀疏性。

具体而言，积极持仓的数量从3到6不等，仅占马科维茨投资组合中股票数量的15-25%，占股票总数的0.5-1.5%。我们还发现，这些投资组合的构成与非零未经监管的投资组合相似。顶级公司是相同的（SO、K、KMB、GIS、AZO），非规范化模型和规范化模型之间存在完全重叠：分析组合中没有一家公司在非规范化组合中拥有0%的股份。