大型市场中的效用最大化

（pi）的单调性导致以下不等式（2.14）hN≤ 嗯≤ · · · ≤ hNN，N≥ 1.根据U的凸性和单调性以及（2.12）hNi≥ 0（如果相矛盾，hNi<0，则无风险资产的第i个股票和hNi+hNi单位为0的投资组合是允许的，它对应于相同的初始财富，并给出了更高的预期效用值）。hNi和（2.14）g iveshNi的非负性≤N- i+1，i=1，N、 N≥ 1，这意味着（2.15）limN→∞hNi=0，i≥ 1.因此，在股票数量众多的市场中，作为最优有限维投资组合（即满意度（2.15））极限的投资组合只能在无风险资产中进行非平凡的配置。这给出了预期效用U（1）的值。鉴于（2.13），这样的投资组合是次优的。3证明定理2.2证明的核心是以下结果。提议3.1。让条件（2.1）和（2.2）保持不变。那么一个非负选择过程c属于a（1）当且仅当（3.1）supZ∈ZE[（（cZ）·κ）T]≤ 1.命题3.1的证明将通过几个引理给出。引理3.2。设H是1-可容许的广义被积函数。在命题3.1的条件下，X，1+H·S是非负的P-a.S，对于everyZ∈ Z，ZX是一个超级艺术家。引理3.2的证明很简单，因此被跳过。请注意，关于引理第二个断言的讨论见[9]的第2011页。引理3.3。设H为1-容许广义策略，c为非负可选过程。在命题3.1的条件下，所有的陈述都是等价的（i）c·κT≤ 1+H·ST，P-a.s.，（ii）c·κ≤ 1+H·S，P–a.S.（即c·κt）≤ 每t 1+H·stt∈ [0，T]，P–a.s.）。证据让我们假设（i）保持并fix Z∈ Z由引理3.2可知，Z（1+H·S）是一个超鞅。

因此，使用c·κ的单调性≤ 我们有ZT（c·κT）=E[ZT（c·κT）|Ft]≤ E[ZT（c·κT）|Ft]≤ E[ZT（1+H·ST）|英尺]≤ Zt（1+H·St），这意味着（ii）鉴于Z的严格正性，以及（1+H·S）和（c·κ）的右连续性，后者从命题i开始。3.5英寸[13]。命题3.1的证明。让c∈ A（1）。修正Z∈ Z和T>0。然后存在一个1-容许的广义策略H，使得1+H·ST≥ c·κT.将both边乘以Z并取期望值，我们得到（3.2）E[ZT（1+h·ST）]≥ E[ZT（c·κT）]，其中右手侧（通过c·κ的单调性和[13]中的REM I.4.49的应用）可以重写为（3.3）E[ZT（c·κT）]=E[（Zc）·κT]。通过定义H，存在一个1-容许基本策略序列（Hn），例如（Hn·S）n≥1在半鞅拓扑中收敛到H·S。因此，（Hn·ST）收敛到H·STin概率，因此存在一个子序列，我们仍然将其表示为（Hn·S），这样（Hn·ST）收敛到H·STP–a.S。因此，对于每个Z∈ Z我们从1-可容许性的定义和Fatou的引理1中获得≥ 林恩芬→∞E[ZT（1+Hn·ST）]≥ E[ZT（1+H·ST）]。结合（3.2）和（3.3），我们得出结论1≥ E[（（Zc）·κ）T]，它保持f或每个Z∈ Z相反，让（3.1）保持不变。使用与（3.3）中相同的参数，我们从（3.1）中获得≥ 苏普兹∈ZE[ZT（c·κ）T]。因此，随机变量c·κt证明了[9]中定理3.1的假设（i），x=1。因此，我们从这个定理得到，存在一个1-容许的广义策略H，使得c·κT≤ 引理3.3，这意味着c∈ A（1）。这就结束了这一主张的证明。设L+表示L的正对数。

我们记得L+的一个子集a被称为固体，如果f∈ A、 g∈ L+，a和g≤ f意味着g∈ A、 A子集BL+是A的极性，如果B=H∈ L+：E[（（hf）·κ）T]≤ 1，每f∈ A.,在这种情况下，我们表示B=Ao。引理3.4。在命题3.1的条件下，我们有（i）集合A（1）和Y（1）是L的凸、实和闭子集（ii）A（1）和Y（1）满足bipo L A r关系∈ A（1）<=> E[（（cY）·κ）T]≤ 1.每过一天∈ Y（1），Y∈ Y（1）<=> E[（（cY）·κ）T]≤ 1.每过一天∈ A（1）。（iii）A（1）和Y（1）都包含严格的正元素。证据第（iii）项的断言分别来自条件（2.1）和（2.2）。现在，鉴于命题3.1，剩余项的证明与[23]中命题4.4的证明一致。因此这里省略了它。引理3.5。在命题3.1的条件下，我们有e（i）supZ∈ZE[（（cZ）·κ）T]=supY∈Y（1）E[（（cY）·κ）T]对于每一个c∈ A（1），（ii）setz在可数凸组合下是封闭的，即Z中的每一个序列ce（Zm）和一个正数序列am（pm）≥1am=1，过程Z，Pm≥1AMZ属于Z。证据每n≥ 1和H∈ 考虑到X的正性，X+Hn·S（对于适当的X≥ τk，inf{t>0:Xt>k}∧ T、 k≥ 1，是每个XZ的XZ定位序列∈ Z这意味着（ii），而（i）是法图引理和集合Z和Y（1）定义的结果。f.2定理的证明。通过引理3.4，集合A（1）和Y（1）满足[23]中定理3.2的假设，这意味着定理2.2的断言（i）和（ii）。[23]中引理3.5和引理3.3的第（iii）项的结论。这就完成了定理2.2的证明。为了证明引理2.4，我们需要以下技术结果。引理3.6。在引理2的条件下。4，每ε∈ （0，1）我们有\\n≥1Yn（1） Y1.- ε.证据

根据[23]中的命题4.4，f或每n≥ 1，setsAn（1）和Yn（1）满足双极关系，同样通过引理3.4，我们有A（1）o=Y（1）。修正ε∈ (0, 1 ) . 从（2.9）使用法图的外稃（1- ε） o[n]≥1安（1）！o、 因此我们得出结论1.- ε= A（1）- ε） o[n]≥1安（1）！o=\\n≥1An（1）o=\\n≥1Yn（1）。这就是引理的证明。引理2.4的证明。在不丧失一般性的情况下，我们假设u（x）>-∞, x>0。我们将只展示第二个断言，因为对Firstone的证明是完全相似的。此外，为了便于注释，我们将假设y=1。设zn为对偶问题（2.8）的极小值，n≥ 1，其中（2.8）解的存在性来自于[23]中的定理2.3。由（2.1）可知，集Zis在L（dκ×P）中有界。这尤其意味着Y（1）在L（dκ×P）中有界。因此，拜莱玛A1。[10]中有一个SequenceZN∈ conv（锌，锌+1，…），N≥ 1和一个元素Z∈ L（dκ×P），使得（eZn）收敛到Z（dκ×P）-a。e、 我们也有→∞eZn∈\\N≥1Yn（1） Y1.- ε每ε∈ （0，1），其中后一个包含来自引理3.6。通过V的凸性，我们得到（3.4）lim supn→∞EhV（eZn）·κTi≤ 画→∞vn（1）。请注意（eZn） Y（1）。因此，使用[23]中的引理3.5，我们得出五、-eZn在一致可积（这里是V-表示随机场V的负par）。因此，我们从法头引理和（3.4）推导出1.- ε≤ E[V（Z）·κT]≤ 林恩芬→∞EhV（eZn）·κTi≤ 画→∞vn（1）对于每个ε∈ (0, 1). 取极限为ε↓ 利用v的连续性（通过凸性，见定理2.2），我们得到v（1）≤ 画→∞vn（1）。同样，由于Y（1） Yn（1）每n≥ 1.我们有v（1）≥ 画→∞vn（1）。因此，v（1）=limn→∞vn（1）。引理的证明现在已经完成。引理3.7。设S为满足（2.2）的连续过程S（即S的每个分量都是连续的）。

然后，根据（2.1），（2.9）的规定。证据修正ε∈ （0,1]和c∈ A（1）- ε). 设H为a（1）- ε） -可容许的广义策略，例如C·κ≤ 1.- ε+H·S，P–a.S.设（Hn）为（1）的序列-ε） -容许的初等策略，使得Hn·S在半鞅拓扑中收敛到H·S。让我们将停止时间的顺序定义为τn，inf{t∈ [0，T]：c·κT>1+Hn·St}∧ （T+1）。然后我们有p[τn≤[T]≤ P“supt∈[0，T]（c·κT）- 1 + ε - Hn·St）≥ ε#≤ P“supt∈[0，T]（H·St）- Hn·St）≥ ε#，收敛到0为n→ ∞. 让我们定义一个消费序列（cn），如下Cnt，ct[0，τn）（t），t∈ [0，T]，n≥ 1.然后，通过S的连续性，我们得到cn·κ≤ [0，τn]P–a.S.，n上的1+Hn·S≥ 1.由于Hn[0，τn]是一个1-容许的初等策略，我们推导出cn∈安（1），n≥ 1.我们还可以看到（cn）在L中收敛到c。这是引理的证明。参考文献[1]T.比约克和B.N.阿斯隆。在连续时间内分散投资组合。欧罗巴。F i n.修订版。，1 :361–387, 1998.[2] T·比约克、G·迪·马西、Y·卡巴诺夫和W·伦加尔迪耶。债券市场的一般理论。金融斯托赫。，1:141–174, 1997.[3] T·比约克、Y·卡巴诺夫和W·伦格尔迪耶。债券市场结构中存在的破损点过程。数学财务，7（2）：211-23997。[4] R.Carmona和M.Tehranchi。针对利率或有权益的套期保值组合特征。安。阿普尔。Probab。，1 4(3):1267– 1294,2004.[5] R.Carmona和M.Tehranchi。利息率模型：有限维随机分析视角。斯普林格，2006年。[6] 多诺先生。关于大型金融市场完整性的说明。数学《金融》，14（2）：295–315，2004年。[7] 多诺先生和普拉特利先生。债券市场中度量值策略的使用。金融斯托赫。，8:87–109, 2004.[8] 多诺先生和普拉特利先生。关于半鞅序列的随机积分。

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