大型市场中的效用最大化

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英文标题：
《Utility maximization in the large markets》
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作者：
Oleksii Mostovyi
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In the large financial market, which is described by a model with countably many traded assets, we formulate the problem of the expected utility maximization. Assuming that the preferences of an economic agent are modeled with a stochastic utility and that the consumption occurs according to a stochastic clock, we obtain the \"usual\" conclusions of the utility maximization theory. We also give a characterization of the value function in the large market in terms of a sequence of the value functions in the finite-dimensional models.
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中文摘要：
在大型金融市场中，这是由一个具有可数个交易资产的模型描述的，我们建立了预期效用最大化问题。假设经济主体的偏好是用随机效用建模的，消费是按照随机时钟发生的，我们得到效用最大化理论的“通常”结论。我们还根据有限维模型中的一系列值函数，对大市场中的值函数进行了表征。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Utility_maximization_in_the_large_markets.pdf (185.03 KB)

2022-5-6 01:29:10 上传

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关键词：效用最大化 最大化 maximization Optimization Quantitative

德克萨斯大学奥斯汀分校数学系，德克萨斯州奥斯汀78712-0257（大多数）ovyi@math.utexas.edu）2021年8月29日根据一个交易资产数量可观的模型描述的大型金融市场，我们提出了预期效用最大化的问题。假设经济主体的偏好是用随机效用建模的，消费是根据随机时钟发生的，我们得到效用最大化理论的“通常”结论。我们还根据有限维模型中的一系列价值函数对大市场中的价值函数进行了表征。关键词：效用最大化、大市场、不完全市场、凸对偶、最优投资、stoch 1介绍在数学金融文献中，大型证券市场的notio n由[14]引入，作为一系列概率空间，具有相应的时间范围和代表交易的半鞅。作者要感谢Dmitry Kramkov、Mihai S^irbu和Gordan G Zitkovi对本文主题的讨论。这项工作得到了美国国家科学基金会的支持，批准号为DMS-0955614，PI GordanˇZitkovi\'c资产。在[15,17,18,19,20,21]中，对大型市场环境中无套利条件的调查自然引起了研究界和isdone的注意，而[2,3,6,7,27]中考虑了与复杂度相关的问题。与[14,15]相反，[1]假设一个大的市场由一个概率空间组成，但交易资产的数量是可数的，而套利定价理论的其他贡献导致了这样的设置。

请注意，具有可数多资产的模型包含股票价格过程的随机维度（如[26]中所述）。[9] 将[1]中的公式推广到一个由一系列半鞅驱动的模型，建立了终端财富问题效用最大化理论的标准结论，并得到了超可复制索赔的对偶特征。他们的结果基于[8]中关于半鞅序列的随机积分的概念。[11,24]研究了许多交易的零息债券中设置的默顿投资组合问题。[2,3,4,5,7,27]考虑了大型市场模型在固定系膜证券分析中的其他应用。我们考虑一个由一系列半鞅（如[9]）驱动的市场，其中有可数目的交易资产。在这种情况下，我们为理性经济主体公式化了默顿投资组合问题，该经济主体的偏好是通过在正实线上定义的INDA类型的随机效用指定的，其消费遵循随机时钟。在初值函数和对偶值函数不完全的条件下，我们建立了原优化问题和对偶优化问题的标准存在唯一性结果。我们还根据有限维模型中价值函数序列的适当极限来刻画原始值函数和对偶值函数。特别是，我们在[9]中通过添加中间消费和假设代理人偏好的随机性来扩展效用最大化结果。我们的结果的证明取决于命题3.1中给出的可容许消费过程的对偶特征，它允许将当前模型与[23]中的抽象定理联系起来。

注意，我们对容许消费和交易策略的公式依赖于[8]意义下关于半鞅序列的随机积分的概念。我们相信，我们的结果为分析存在或不存在中间消费的大市场环境中的其他问题提供了一组便利的条件，例如稳健效用最大化、随机捐赠的最优投资、基于效用的定价和均衡的存在。论文的其余部分组织如下。第2节包含模型公式和主要结果，这些公式在定理2.2和引理2.4中给出。第3.2节给出了他们的证明，模型和主要结果考虑了过滤概率空间Ohm, F，（Ft）t∈[0，T]，P, 过滤（Ft）在哪里∈[0，T]满足通常的条件，即平凡σ-代数的完成。如[1,9]所述，我们假设存在一个固定市场，它由一个无风险债券和一系列半鞅=（Sn）n组成≥1=（坐）t∈[0，T]∞i=1这描述了种群的演化。债券的价格应该始终等于1。大市场战略的概念依赖于有限维度的计算部分，我们首先指定其定义。为了n∈ N、 N元策略是一个Rn值的、可预测的过程，它与resp-ectto（Si）i可积≤n、 基本策略是一种策略，对于某些n.对于x.是n-基本的≥ 当H·S=Pi时，n-初等策略H是x-容许的≤nHi·Si从下方一致有界于常数-x P–a.s。

Lethn表示n-初等策略集，这些策略对于某些x也是x-容许的≥ 0.在当前设置中，可容许财富过程和交易策略的规定基于[8]意义上的半鞅序列的积分。因此，我们回顾了[8]中的几个定义，可容许消耗量的计算是基于这些定义的。熟悉这种结构的读者可能会开始定义x-容许的广义策略。回想一下，RN是所有实数序列的空间。RN上的无界函数al是线性函数F，而域Dom（F）是RN的子空间。简单被积函数是mPi的有界可预测过程的有限和≤nhiei，其中（ei）是RNA的规范基础，hi是一维有界且可预测的过程。如果存在一系列简单被积函数（Hn），例如H=limn，则Rn上具有无界泛函集合中值的过程H是可预测的→∞HnP–a.s.，这意味着x∈ Dom（H）如果序列（Hn）收敛并且limn→∞Hn（x）=H（x）。如果存在一个简单被积函数序列（Hn），则Rn上无界泛函集合中有值的可预测过程H可积于S，从而（Hn）收敛于H，半鞅序列（Hn·S）收敛于半鞅拓扑中的半鞅Y。在这种情况下，我们将随机积分H·S定义为Y。每x≥ 如果H关于半鞅S是可积的，且存在x-容许初等策略的逼近序列（Hn），则过程H是x-容许广义策略，从而（Hn·S）在半鞅拓扑中收敛到H·S。

请注意，这是[9]中的定义2.5。让我们将投资组合∏定义为三元（x，H，c），其中常数x为初始值，H为可预测且可容许的S-可积过程（在RN上具有无界泛函集合中的值），指定投资组合中持有的每项资产的数量，c=（ct）t∈[0，T]是一个非负且可选的过程，以债券的单位指定消费率。此后，我们将得到一个随机时钟κ=（κt）t∈[0，T]，这是一个非递减的c`adl`ag适应过程，使得（2.1）κ=0，P[κT>0]>0和κT≤ A对于某个固定常数A.随机时钟代表消费发生的时间概念。注意，鉴于下面定义的效用最大化问题（2.3），我们将只考虑相对于dκ绝对连续的消耗过程，即C·κ形式，因为其他消耗是次优的。我们将使用以下符号：对于任意常数x和y以及过程x和y，（x+yXY）表示过程（x+yXtYt）t∈[0，T]。对于aportfolio（x，H，c），我们定义了财富过程asX=x+H·S- c·κ。注意，半鞅拓扑中财富过程集的闭包在[9,16]中进行了研究（与这里的定义不同的是，对阿沃尔特过程的相应定义）。为了x≥ 0，我们定义了x-容许消耗集asA（x），{c≥ 0:c是可选的，存在x-容许的广义策略H，s.t.x+H·s- c·κ≥ 0} .因此，一个恒定的严格正消耗c*t、 x/A，t∈ [0，T]，每x>0就属于A（x）。为了n≥ 1，设Zn表示n-初等策略等价鞅测度的c`adl`ag密度集，即Zn，{Z>0:Z是c`adl`ag鞅，s.t.Z=1，（1+H·s）Z是每H的局部鞅∈ H是1- 不可接受}。注：t Zn+1 锌，氮≥ 1.

我们还定义了\\n≥1Zn，以及（2.2）Z 6=,这与[9]中的无套利条件一致。经济主体的偏好通过随机效用u:[0，T]×来建模Ohm × [0, ∞) → R∪ {-∞} 满足以下条件。假设2.1。每（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 函数x→ U（t，ω，x）在（0，∞) 满足Inada条件：limx↓0U′（t，ω，x）=+∞ 还有limx→∞U′（t，ω，x），0，其中U′表示关于第三个参数的偏导数。在x=0时，我们通过连续性假设U（t，ω，0）=limx↓0U（t，ω，x），t这个值可能是-∞. 每x≥ 0随机过程U（·，·，x）是可选的。U上的条件与[23]中的条件一致（在有限的时间范围内）。为了简化非负可选过程c的符号，带有t个向量（U（t，ω，ct（ω））t的过程∈[0，T]，（U′（T，ω，ct（ω）））T∈[0，T]和（U-（t，ω，ct（ω）））t∈[0，T]（其中U-表示U）的负部分将由U（c）、U′（c）和U组成-（c） 分别。对于给定的初始资本x>0，代理人的目标是最大化其预期效用。这个问题的值函数用（2.3）u（x），supc表示∈A（x）E[U（c）·κT]，x>0。我们使用约定（2.4）E[U（c）·κT]，-∞ 如果EU-（c） ·κT= +∞.为了研究（2.3），我们采用了[22]和[28]中的标准对偶参数，并定义了共轭随机场V到U asV（t，ω，y），supx>0（U（t，ω，x）- xy），（t，ω，y）∈ [0，T]×Ohm × [0, ∞).众所周知-V满足假设2.1。为了你≥ 0，我们也表示y（y），cl{y:y是c`adl`ag，0≤ Y≤ yZ（dκ×P）a.e.对于某些Z∈ Z}，其中闭包是在有限值光学过程空间上的测度收敛拓扑y（dκ×P）中进行的。

为了简洁，我们将这个空间表示为l（dκ×P）或lf。与U与c的合成类似，对于非负可选过程，随机过程的实现是（V（t，ω，Yt（ω）））t∈[0，T]和（V+（T，ω，Yt（ω））T∈[0，T]（其中V+是V的正功率），将分别由V（Y）和V+（Y）表示。在这些准备工作之后，我们将对偶优化问题的值函数定义为（2.5）v（y），infY∈Y（Y）E[V（Y）·κT]，Y>0，这里我们使用约定：（2.6）E[V（Y）·κT]+∞ 如果EV+（Y）·κT= +∞.以下定理构成了本文的主要贡献。定理2.2。假设条件（2.1）和（2.2）以及假设2.1成立，假设v（y）<∞ f或所有y>0和u（x）>-∞ f或所有x>0。然后我们有：1。u（x）<∞ 对于所有x>0，v（y）>-∞ 总的来说，y>0。函数u和v是共轭的，即v（y）=supx>0（u（x）- y>0，u（x）=infy>0（v（y）+xy），x>0。函数u和-v在（0，∞), 严格递增，严格凹，满足Inada条件：u′（0），limx↓0u′（x）=+∞, -v′（0），石灰↓0-v′（y）=+∞,u′(∞) , 利克斯→∞u′（x）=0，-v′(∞) , 酸橙→∞-v′（y）=0.2。对于每一个x>0和y>0，最优解^c（x）到（2.3）和^y（y）到（2.5）存在并且是唯一的。此外，如果y=u′（x），我们有d ualrelations^y（y）=u′（c（x）），（dκ×P）a.e.andEh（^c（x）^Y（Y））·κTi=xy。3.我们有，v（y）=infZ∈ZE[V（yZ）·κT]，y>0,2.1大型市场作为一系列有限维市场的极限，受流动性问题的驱动，我们讨论了随着可用交易证券数量的增加，价值函数的收敛。为此，我们需要以下定义。

每n≥ 1，我们设为（x），{c可选≥ 0:存在H∈ Hns。t、 x+H·ST- c·κT≥ 每年0英镑。s、 }，（2.7）un（x），supc∈An（x）E[U（c）·κT]，x>0，Yn（y），cl{y:y是c`adl`ag适应的，0≤ Y≤ yZ（dκ×P）a.e.对于某些Z∈ Zn}，其中闭包取L，（2.8）vn（y），infY∈Yn（y）E[V（y）·κT]，y>0，并假设约定（2.4）和（2.6）。注意，对于每一个z>0，b oth（un（z））和（vn（z））是递增序列。我们假设（2.9）A（1- ε)  氯[n]≥1安（1）！每ε∈ （0，1]，其中闭包取L。设1E表示集合E的指示函数。备注2.3。它源自下面的3.1和Fatou引理thatcl锡≥1An（1） A（1）。假设（2.9）给出了反向包含的较弱版本。请注意，如果以下任一条件有效，则（2.9）适用。1.κt=1T（t），t∈ [0，T]，即如果（2.3）定义了终端财富的最优投资问题。然后（2.9）来自[9]中的引理3.4。过程是（组件）连续的。这是下面Lemma 3.7的主题。引理2.4。假设存在n∈ N、 使（2.10）un（x）>-∞ 每x>0，v（y）<+∞ 对于每一个y>0。然后，在假设2.1的条件（2.1）、（2.2）和（2.9）下，我们得到（2.11）u（x）=limn→∞un（x），x>0，v（y）=limn→∞vn（y），y>0。备注2.5。（2.10）暗示v的真实性，-u、 vn，以及-联合国≥ 1.它们也是凸面的。[12]中的定理3.1.4确保（2.11）中的收敛在（0）的紧致子集上是一致的，∞). 此外，[25]中的定理25.7断言导数（vn′）和（un′，n≥ 1，在（0，∞) 分别到v′和u′。引理2.4表明，在拥有可数资产的市场中，价值函数是有限维模型的价值函数的极限。

下面的例子表明，一般而言，在拥有大量交易资产的市场中，最优投资组合不是有限维市场中最优投资组合的极限。本例构建过程中的重要技术特征是，在每个有限维市场中，最后一只股票h作为最大的预期收益。例2.6。我们考虑一个单期模型，其中有一个无风险的带S的债券≡ 1和一个股票序列（Si），使得everyi的Si=1和（Si）是独立的随机变量，取{，2}中的值，概率为1- Pian和Pir分别，其中（pi）是一个递增序列。因此，我们有Maxk∈{1，…，n}ESk= E[Sn]，n≥ 1，即每个有限维市场的最后一只股票的预期回报率最高。注意（2.2）适用。我们假设一个经济主体的偏好是由定义在正实线上的丰富效用函数所指定的，正实线是严格递增的、严格凹的、连续可差的，并且满足非条件。让随机时钟κ对应于终端财富的效用最大化问题。然后（2.9）适用于备注2.3的第一项，而U的有界性意味着（2.10）。因此，引理2.4的断言成立。我们还施加以下技术假设（2.12）p>U（1）- UU（2）- U∨,这特别意味着t（2.13）U（1）=E美国< E美国.为了简单起见，我们假设代理的初始值等于1。设hNibe为市场中第i项资产的最佳股数，其中N只股票可供交易，N≥ 1.受理条件意味着≥ 0，即无风险资产的股份数必须为非负。