随机微分方程的参数辨识

红色-重建，蓝色-真实漂移作为我们在引言中讨论的第一个场景中实施的设置的第二次修改。也就是说，我们在较短时间内模拟了多条具有共同起点的路径，而不是在较长时间内模拟一条路径。每个路径在一个时间点t观察。操作时间t或F必须根据该设置进行修改。我们不必求解椭圆问题（3），而是要在每个牛顿步中求解椭圆问题（2）。我们用隐式Euler格式实现了三阶有限元。以下图表显示了时间间隔[0,1]上模拟路径的示例、过程Xt的密度以及漂移的重建。T=0，在所有路径上进行观察。如上所述，我们假设漂移的边界值未知。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81txtx 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.511.522.53图9：10条模拟路径（左），Xt密度（右）-1.-0.5 0 0.5 1-3.-2.-101234xu（x）-1.-0.5 0 0.5 1-3.-2.-101234xu（x）-1.-0.5 0 0.5 1-3.-2.-101234xu（x）图10：使用G250（左）、500（中）和1000（右）模拟路径的KL型数据可靠性项重建。红色-重建，蓝色-真正的漂移。设置如图9所示。我们可以得出结论，该算法在修改后的设置中运行良好。估计接近边界的问题是非参数方法中的典型问题。SDEs 18中的参数识别此外，我们的测试示例特别容易出现这些问题。然而，在这些情况下，我们的算法在区间的内部产生了良好的结果。6.

结论利用K-ullback-Leibler型数据项，通过变分正则化方法，我们给出了估计随机微分方程参数的一般收敛速度结果。如果路径的观测是由独立的同分布随机变量描述的，则这些项自然地表现为负对数似然函数。这种方法的一个优点是灵活性。例如，它还可以用于估计波动性、初始条件或边界条件下的系数，并且它只能处理部分域中的观测、多次对多条路径的观测以及对整个马尔可夫算子的观测。然而，在每种情况下，都必须检查收敛定理的条件，这可能并不总是一件容易的事情。在这里，我们证明了我们的一般收敛定理的假设完全适用于任意空间维度的漂移估计。更明确地描述收敛速度的条件是可取的，但必须留给未来的研究。我们通过蒙特卡罗实验证明，Kullback-Leibler型数据项比二次型数据项产生的结果要好得多。感谢作者感谢Christian Bender和Thomas Schuster的讨论。感谢德国研究基金会DFG通过德国-瑞士研究集团为916项目提供的资金支持。参考文献[1]A.B.巴库辛斯基。关于迭代正则化高斯-牛顿法的一个收敛问题。朱纳尔·维基什利特诺伊·马特马蒂基一世·马特马蒂切斯科伊·菲齐基，32（9）：1503-15091992年。[2] 答：B。巴库辛斯基和M·Y·科库林。逆问题近似解的迭代法。斯普林格，多德雷赫特，2004年。[3] 班宁先生和汉堡先生。一般食品的误差估计。电子跨。数字。

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