随机微分方程的参数辨识

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《On parameter identification in stochastic differential equations by
  penalized maximum likelihood》
---
作者：
Fabian Dunker and Thorsten Hohage
---
最新提交年份：
2014
---
英文摘要：
  In this paper we present nonparametric estimators for coefficients in stochastic differential equation if the data are described by independent, identically distributed random variables. The problem is formulated as a nonlinear ill-posed operator equation with a deterministic forward operator described by the Fokker-Planck equation. We derive convergence rates of the risk for penalized maximum likelihood estimators with convex penalty terms and for Newton-type methods. The assumptions of our general convergence results are verified for estimation of the drift coefficient. The advantages of log-likelihood compared to quadratic data fidelity terms are demonstrated in Monte-Carlo simulations.
---
中文摘要：
在本文中，我们给出了随机微分方程系数的非参数估计，如果数据由独立的、同分布的随机变量描述。该问题被描述为一个非线性不适定算子方程，其确定性正演算子由福克-普朗克方程描述。我们推导了带有凸惩罚项的惩罚极大似然估计和牛顿型方法的风险收敛速度。对于漂移系数的估计，我们的一般收敛结果的假设得到了验证。与二次数据保真度项相比，对数似然项的优势在蒙特卡罗模拟中得到了证明。
---
分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
--

---
PDF下载：
--> On_parameter_identification_in_stochastic_differential_equations_by_penalized_ma.pdf (427.93 KB)

2022-5-6 02:38:33 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：随机微分方程 微分方程 随机微分 Differential coefficients

关于随机微分方程中的参数识别，由惩罚最大似然法比安·邓克和托尔斯滕·霍哈格因数字与数学研究所（Georg August University–atG–Ottingelotzestr）进行。德国G–ottingen市37083号电子邮件：dunker@math.uni-戈廷根。断章取义。在本文中，如果数据由独立的、同分布的随机变量描述，我们给出了随机微分方程中系数的非参数估计。该问题被描述为一个非线性病态算子方程，其确定性正演算子由福克普朗克方程描述。我们推导了带有凸惩罚项的惩罚极大似然估计和牛顿型方法的风险收敛速度。对于漂移系数的估计，验证了我们一般收敛结果的假设。与二次数据可靠性项相比，对数似然项的优势在蒙特卡罗模拟中得到了证明。1.引言物理学、社会科学和经济学中的许多动力学过程都可以用随机微分方程组Dxt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt来建模。（1） 给你∈ [0，T]在T>0时被解释为时间，XT是一系列随机m变量，其值在Rd中，WT是Rd中的标准维纳过程。函数u：[0，T]×Rd→ RDI称为漂移系数，而σ：[0，T]×Rd→ Rd×不稳定性或差异。对过程的观察给出了一个或多个路径（Xt）t的值≥0一次或多次t。在许多应用中，人们有兴趣非参数或参数地估计漂移或扩散，以更好地理解建模过程。在本文中，我们考虑了u和σ独立的特殊情况，σ已知，而u应该估计。

让我们描述两种适合我们方法的观测：（i）独立路径X（i）t，i=1，n在固定时间T=T观察到。也就是说，观测值是随机变量Yi=X（I）T。路径X（I）的起始点假设是从SDEs 2中已知的分布参数识别中采样的。（ii）我们在等距时间内只观测到严格平稳遍历过程的一条路径。也就是说，我们的观测值是Yi=X（I+I）t对于i=1，n和i>0。我们解决这个问题的方法是基于福克-普朗克方程，也称为福沃德-科尔莫戈罗夫方程。假设XT对所有t都有一个充分光滑的密度u（t，·）∈ [0，T]。那么（1）当且仅当u解初值问题时成立tu=div-uu+σ大学毕业生u（0，·）=u（2）（参见例[36]）。因此，我们可以定义解算子f（u）：=u（T，·）的确定系数。这个算子是非线性的。对于μ，σ不依赖于t的遍历过程，等式（2）的解趋向于t的稳定解→ ∞ 求解椭圆方程0=div-uu+σ大学毕业生Zu（x）dx=1。（3） 在这里，解算子的系数由F（u）：=u定义。第2节将讨论算子F及其性质。我们将得到一般算子F在一组概率密度中的收敛结果。在这种一般情况下，反问题的未知量将用f表示。在上面的设置中，我们有f=u，但在其他应用中，f=σ或f=（u，σ）。如果参数估计优于非参数估计，则fca可以是u或σ模型中的参数。假设f+是精确解，u+：=f（f+）是相应的概率密度。我们假设观测数据由独立的随机变量Y，每个密度的概率+。

注意，等距离观测值Yi=X（i+i）只有一条路径是不独立的。因此，我们的结果仅适用于第一种情况，即观察到一组独立路径。在第二种情况下，额外信息按数据Yi的顺序包含，此处将忽略这些信息。如果因此，如果没有订单信息，Yi和Yi+1的依赖性可以忽略。我们的估计器遵循这个想法，寻找一个使给定观测值Yi=Yi的可能性最大化的估计器bf。用经验测度Φn:=nnXi=1δyi来描述这些观测是很方便的。（4） 由于Pu[y，…，yn]=Qni=1u（yi），负对数似然由（Φn，u）=-nln Pu[y，…，yn]=-nnXi=1ln u（yi）=-Zln（u）dΦn.（5）SDEs 3中的参数识别由于不适定性，一个简单的极大似然估计，即某些凸集B中F上的S（Φn，F（F））的极小值是不稳定的。因此，我们必须规范化。在（g一般化的）Tikhonov正则化中，增加了一个使能项R:B→ R∪{∞},我们假设它是凸的，下半连续的，并且不相同∞. 它由正则参数α>0:bfα加权∈ 阿格明夫∈B[S（Φn；F（F））+αR（F）]。（6） 由于F的非线性，这通常是一个非凸极小化问题，尽管S（Φn；·）和R是凸的。另一种方法是通过Fr′echet导数F′[bfk]局部逼近绕流迭代的F′。这就产生了itera t正则化牛顿法bfk∈ 阿格明夫∈行李处理系统Φn；F′[bfk-1] （f）-bfk-1） +F（bfk）-1)+ αkR（f）i.（7）这里（αk）是一系列正正则化参数，随着k的增加单调收敛到0，使得αk/αk+1有界。为了确保这些优化问题的适定性并分析收敛性，经常需要“正则化”数据冗余项。

当u在一组表示S（Φn，u）=∞ . 进一步的讨论载于第3节。正则化方法的所有已知收敛速度结果，包括F′欠源条件弱于F+∈ ran（F′[F+]*) 需要对F′进行额外假设，例如切向圆锥条件kf（g）- F（F）- F′[F]（g）-f） 吉隆坡≤ ηkF（g）-吉隆坡。（8） 对于KL型数据可靠性术语，需要[24]中最近建议的相关公式（20）。对于D（F）和ran（F）是不同域上函数空间的参数识别问题，这些条件通常很难验证，但如果域重合，则L切锥条件已针对许多问题显示出来（参见[20,8]）。就我们所知，在平稳的福克-普朗克方程（3）中漂移估计，到目前为止，切向锥条件的L型，尤其是KL型都是未知的，我们将在下面证明它们。自Black&Scholes[4]的工作以来，随机微分方程建模成为金融计量经济学的标准。从那时起，遍历模型中漂移和扩散的参数和非参数估计就引起了人们的兴趣。我们只提到库托扬茨[28]的教科书和其中的参考文献。最近关于漂移非参数估计的工作包括Ho ffi mann[21]使用小波，Spokoiny[41]使用核方法，Gobet，Ho ffi ma nn和Reiss使用小波，Comte，Genencatalot和Rozenholc[9]使用惩罚最小二乘法，Schmisser[3 8]将惩罚最小二乘法应用于高维问题，Papaspiliopo ulos等人[31]，Porkn、Stuart和van Zanten[32]使用贝叶斯方法。

Hurn、Jeismann和Lindsay[25]开发了与我们的方法相关的参数估计。他们在SDEs 4似然估计中提出了一个最大参数识别，它依赖于（9）个有限元素的计算。由于u的参数模型，他们的问题不是不适定的。此外，对于使用偏微分方程进行的非参数易失性估计，我们提到了Cr\'epey[10,11]、Egger&Engl[15]和De Cezaro、Scherzer&Zubelli[12]。我们将用n表示期望结果的收敛性→ ∞ 通过调整[24,43]中泊松数据反问题的相应结果，对Tikhonov正则化（6）和迭代正则化牛顿法（7）进行了改进。在这里，我们基本上利用了塔拉格兰德的集中不等式的一个版本，该不等式是由马萨特[29]提出的。Bakushinskii[1]提出了具有二次惩罚和二次数据冗余项的迭代正则化Gauss-Newton方法，Blaschke、Neubauer&Scherzer[5]和Hohage[23]分别对低阶H¨older或对数源条件进行了进一步分析。更多参考文献可在巴库辛斯基i和科库林[2]以及卡尔滕巴赫尔、纽鲍尔和舍尔策[27]的专著中找到。最近，一些论文研究了一般凸惩罚项的正则化。我们只提到Eggermont[16]、Burger&Osher[7]、Resmerita[33]、Hofmann等人[22]和Scherzer等人[37]。

Resmerita，Andersen[34]和Benning，Burger[3]研究了具有对数似然函数或Kullback-Leibler收敛等一般数据项的线性不适定问题的正则化方法。Flemming[17]研究了具有一般数据项的线性和非线性Tikhonov正则化。本文的剩余部分组织如下：在下一节中，我们介绍了福克-普朗克方程的一些性质，并证明了相应正演算子F的切锥条件。第3节给出了具有Kullback-Leibler型数据特性和凸性项的变分正则化方法的一般收敛速度结果。这些结果再次应用于我们对漂移4的估计。第5节给出了数值模拟的结果，最后给出了一些结论。2.福克-普朗克方程在本节中，我们收集了平稳福克-普朗克方程的一些性质，并证明了相应算子F的切锥条件。我们在有界Lipschitz域D上考虑这个方程 使用无flux边界条件。也就是说，在概率密度方面，没有概率质量通过边界进入或离开。这是SDEs 5方程中福克-普朗克参数识别的自然边界条件：div-uu+σ大学毕业生= 0英寸D-u（u·n）+σσ大学毕业生· n=0开DZDu（x）dx=1。（9） 我们假设∈ L∞（D，Rd）和σ∈ L∞（D） D×D，带有明确的L∞追溯D出现在边界条件中。此外，我们假设存在常数Cσ>0，使得|σ（x）ξ|≥ Cσ|ξ|对于所有ξ∈ Rd和所有x∈D.（10）让我们评论一下福克-普朗克方程的自然边界条件：o如果D=1，我们可以假设w.l.o.g.that D=(-1, 1). 延长u乘以u（x）：=u（1）和u(-x） ：=u(-1） 对于x>1，对于σ也是如此。

由于常数系数微分方程-uu′+σu′=0和u6=0具有线性独立的解1和exp2σx, R上的福克-普朗克方程有一个积分解当且仅当u（1）<0和u(-1) > 0. 在这种情况下，每个可积解满足u（x）=u（1）exp2u（1）σ（1）（x）- 1), u(-x） =u(-1） 经验2u(-1)σ(-1)(1 - 十）, 十、≥ 1.因此，这些解满足（9）中的边界条件。因此，对（3）的解的限制仅限于D=（-1，1）是（9）的高达一个比例因子的解，即边界条件是一个精确的透明边界条件。在我们的数值计算中，边界条件就是这样解释的对于d>1的精确透明边界条件，r总是非局部的。由于（9）中的边界条件是局部的，我们最好希望收敛到RDD中的福克-普朗克方程的一个解，因为D的大小趋于∞.o 在其他应用中，例如在生物细胞中的扩散，溶液路径自然地包含在Rd的子域D中。在这种情况下，边界处的行为必须单独建模。例如，当路径到达边界时，它可能会以某种方式以某种概率反射，否则会被破坏。如[40,39]和其中的参考文献所述，边界处概率密度的行为可能相当复杂，涉及边界层，但无边界条件通常作为极限模型出现。椭圆问题（9）的弱公式是找到u∈ H（D）使得zdudx=1，对于所有v，au（u，v）=0∈ H（D）（11）式中u（u，v）：=ZD-uu·梯度v+σgrad u·grad vdx。SDEs 6Let Lu：H（D）中的参数识别→ H-1（D）表示与某个u相关的运算符，即hLuu，vi=所有u，v的au（u，v）∈ H（D）。Droniou和V\'azquez[13]证明，Lu内核中的每个函数要么是a.e.阳性，要么是a.e.阳性。

阴性，或a.e.0。因此，内核要么微不足道，要么是一维的。为了方便读者，我们收集了Lu的一些进一步性质，所有这些性质都在[13]中明确或不明确地包含。引理1。假设σ为（10），让u为∈ L∞（D，Rd）。（i） 当γ>kuk时，以下Garding不等式成立∞/（2Cσ）和0<c<minnγ-kuk∞2Cσ，Cσ-kuk∞4γoau（u，u）+γkukL≥ 库克，u∈ H（D）。（ii）式（11）有一个独特的解决方案。（iii）让H（D） ：={u∈ H（D）|Rudx=0}，设)au：H（D） ×H（D）→ 请注意au到H的限制（D） ，并让|Lu：H（D）→ H（D）*表示与au相关的数值。那么Lu是双射的，并且有一个有界逆。当然。1） 我们有一个u（u，u）+γkukL=ZD-uu梯度u+σ大学毕业生dx+γkukL≥ -kuk∞kukLkgrad-ukL+Cσkgrad-ukL+γkukL≥γ -kuk∞4ε库克尔+Cσ- εkgrad ukL。最后一步使用杨氏不等式ab≤ a/（4）+b代表a，b≥ 0和ε>0。选择ε<Cσ/2和γ>kuk∞/（4ε）给出了Garding不等式。2） 作为第1部分的结果，Lu是索引0的Fredholm算子，即dim（ker（Lu））=dim（ran（Lu）⊥) （其中正交性是关于H（D）和H的双对数对理解的。）-1（D））和ran（Lu）关闭。如上所述，dim（克尔（Lu））∈ {0, 1}.作为u（u，1）=0 f或所有u∈ H（D），即1∈ ran（Lu）⊥, 我们有dim（ker（Lu））=1。由于ker（Lu）的元素为正a.e.或负a.e.，因此存在唯一性∈ ker（Lu）满足RDU dx=1.3）我们还有dim（ran（Lu）⊥) = 根据第2部分的证明，ran（Lu）={1}⊥=H（D）*as ran（Lu）关闭。通过对ker（Lu）的表征，算子Lu对H是有影响的（D） 。此外，ran（~Lu）=ran（Lu）作为H（D）⊕ span{1}=H（D），所以Lu是满射的。~L的有界性-1u遵循开放映射定理。F的可微性和下一章中所述的切向锥条件对于Gauss-Newton方法至关重要。定理2。

接线员F:L∞（D、Rd）→ L（D）是Fr′echet可区分的，f′[u]h=u′u，hw其中u′u，h∈ H（D） 是变分过程的唯一解，au（u′u，h，v）=ZDF（u）h·grad v dx，v∈ H（D） 。（12） SDEs 7中的参数识别此外，强相切锥条件成立：kF（u+h）- F（u）- F′[u]hkL≤Cukhk∞kF（u+h）- F（u）kL（13）表示所有u，h∈ L∞（D，Rd），其中▄Cu：=k▄L-1微克。请注意，u:=F（u+h）- F（u）属于H（D） 满足度au（u，v）=ZD（F（u）+u）h·gr ad v dx，v∈ H（D） 。当v6=0时，右侧的函数以kvkhzd（F（u）+u）h·grad v dx为界≤ khk∞kF（u）+ukL≤ khk∞（kF（u）kL+k!ukH）因此，k!≤~Cukhk∞（kF（u）kL+k)ukH），这意味着（1-~Cukhk∞)kukH≤~Cukhk∞kF（u）kL。因此，F是连续的，因为kF（u+h）- F（u）kH=kk等于0∞倾向于0。作为)au（)u- uu，h，v）=ZDu h·梯度v dx，v∈ H（D） 估计值为ut，与右边的估计值相同- F（u）- u′u，hkL=k~u- u′u，hkL≤ ku- u′u，hkH≤~Cukhk∞kukL，表示切向圆锥条件。再加上F的连续性，这意味着F是Fr′echet可微的，并且F′[u]h=u′u，h。示例3。如果u的表示形式为u=σσ梯度φ（14）对于某些势φ，稳态福克-普朗克方程（11）的解由u=RDexp（2φ）dxexp（2φ）给出，因为梯度u=RDexp（2φ）dxgradφexp（2φ）=2（σσσ）)-1uu。归一化常数dxp（2φ）dx确保u是密度。特别是，我们得到了以下F的逆的显式公式：u=σu2u毕业生。（15） 下面讨论的方法d不依赖于这种形式和假设（14）。SDEs 83中的参数识别。i.i.d.反问题的一般收敛结果。