贝叶斯DEJD模型与非对称跳跃检测

给出的结果基于100，00 MCMC图纸，之前进行了10万次磨合循环。DEJDIparameters的后验均值接近真值。在DEJDII下计算的u、ηua和λ的后验期望值与预先规定的值基本不同。价值观EηU|x还有EηD|x分别是负值和正值的后均值。E的价值ηU|x在先验II下的计算值大于在先验I下获得的值，因此在先验II下的位置跳跃（在平均范围上）更大。注意，DEJDI的正跳跃概率Pu和跳跃强度λ更大。因此，可以预期，对于Previor II，检测到的阳性泵的数量较低，因此在DEJDII框架下，跳转组件的作用小于Previor I的情况。DEJDII中的tre nd参数u值较大，这似乎支持了这一点。图1显示了Dejdimo模型中参数的边际后验概率，以及先验密度。η和ηu的先验分布适用于大参数值。数据将后验概率移到priorIn实践的左侧，条件n- N-νL>0通常是令人满意的→βαΓ（α）Γ（α+n）Γ（n）xn-1（β+x）α+nI（0，∞)（x） ，其中α>0，β>0，n=1，2。。。是伽马伽马分布的密度Gg（x；α，β，n）（[27]）。模式和参数的后验平均值保持在η和ηU的真实值附近。λ20 30 40 50 60 700.00 0.04 0.08-1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.00 1 2 3 4uI0。2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80 20 40σ0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 4 8 12 PU0 10 20 30 40 500e+00 3e-04ηD20 40 60 80 1000.000 0.006ηu图1：DEJDImodel中参数的边缘后密度（条形）和前密度（实线）。图2显示了Dejdii模型中参数的边际后验概率，以及先验密度。

这些曲线图揭示了数据对马尔基诺后验曲线形状的巨大贡献。η和η的先前规范支持较低的参数值。然而，数据将后验分布向右移动（进入右尾），使其接近真值。λ15 20 25 30 350.00 0.10 0.20-1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.00 2 4uI0。2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80 10 20 30σ0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 4 12 Pu0 2 4 6 8 100.0 1.0ηD0 5 10 15 20 25 300.0 0 0.4 0.8ηUFigure 2：Dejdii模型中参数的边缘后验密度（条形）和先验密度（实线）。只有在先验I的情况下，数据才足以将η和ηUclose的后验值移到真值。我们观察了反向ga mma先验分布参数对后验分布的影响。在正态跳跃分布的情况下（JD（M）J模型[23]）也观察到了参数先验对后验结果的影响。4.2 KGHMKGHM是一家铜生产商，也是波兰最大的出口国之一。该公司的股价对WIG20指数有贡献。让我们考虑一下从2006年1月23日到2010年2月22日，华沙股票交易所KGHM报价对数增长率日值的时间序列。我分析了许多以前的规格，并根据跳跃是偶发事件的想法，拒绝了跳跃强度过高（例如每天跳跃）的模型。此外，我关注的是与数据相对应的先验知识，也就是说，我拒绝了那些将后边缘直方图设置在极低先验概率区域（远位于先验知识的尾部）的先验知识。最后，Ichose prior III.表3包含了DE JDIIImodel参数的基本后验特征。

给出的结果基于70000个MCMC图纸，在30000个老化循环之前。值E（λ| x）=26.5479表示每9秒跳一次- 10天。让我们提醒一下，纯扩散分量的概率等于1+λ在每个时期 （参见（5））。后均值E1+λ|十、= 0.9062意味着这个概率很高，跳跃的频率很低（这与我们的预期相符）。图3显示了DEJDIII下参数的边际密度和先验密度。注意，E（pU | x）=0.2863小于0.5，pU的边缘后验分布的概率质量向左移动了0.5，因此负跳跃比正跳跃更有可能发生。λ0 20 40 60 80 1000.00 0.02 0.04-1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 1.0 2.0uI0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 5 10σ0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 4 8 12 PU0 20 60 80 1000.00 0.10ηD0 20 40 60 80 1000.00 0.10ηUFigure 3：为KGHM股价的对数回报估计的Dejdiimodel中参数的边际后验密度（条形）和先验密度（实线）。通过分析1/η和1/ηUit的后验均值和边际后验分布，可以得出结论：负跳和正跳的绝对值是相似的。然而，请注意，如果我们假设模型的参数等于后验平均值，那么图4所示的密度Qj（参见（1））是不对称的。这是由于PDPU之间的不平等。这一观察结果支持将非对称分布和DEJD规范应用于手头的数据。-0.3-0.2-0.1 0.0 0.1 0.2 0.30 5 10 15图4：参数等于Dejdiimodel下的后验平均值的Qj1密度。跳跃检测价格或回报的跳跃通常被定义为超出某些任意选择阈值的值。

不同的阈值会导致不同数量的跳跃（[16]）。阈值通常在零或样本平均值附近对称设置，并定义为样本标准偏差的倍数。在许多情况下，对数回归率的经验分布是负偏态。因此，对称阈值在当时似乎是无效的。在下文中，潜变量ξi用于用ajump识别数据点。如前所述，当我们分析一个被认为是DEJD过程轨迹的时间序列时，我们不知道给定的数据点观测是由纯扩散还是跳跃扩散成分产生的。形式上，跳跃出现的事件相当于ξi=-1或ξi=1。不幸的是，我们没有观察到ξi，但我们可以作为跳跃的后验概率：P（ξi6=0 | x）对于每一天i=1。。。，n、 假设概率P（ξi6=0 | x）超过任意选择的值0.5（对应于上述阈值），则在第i周期发生跳跃。然而，不对称或对称的问题在这里不是问题。假设JD和JUdenote是最小的（绝对值）回报对数率，其跳跃后验概率超过预先指定的0.5。定义kD=xn-JDσnand kU=JU-xnσn，其中xn和σn分别为样本平均值和标准偏差。然后kD=2.22，ku=2.66。图5描述了建模的时间序列（带xn）-kD·∑nandxn+kU·∑n），概率P（ξi=-1 | x）和P（ξi=1 | x）的连续天数，前提是P（ξi=-1 | x）>0.5，p（ξi=1 |x）>0.5。请注意，跳跃的后验概率越高，时间序列的波动性就越大。

此外，负向脉冲比正向脉冲和间隔[xn]多- kD·σn，xn+kU·σn]在样本均值周围是不对称的。0 200 400 600 800 1000-0.2-0.1 0.0 0 0.10 200 400 800 10000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 200 400 800 10000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0图5：每日日志的建模时间序列-返回（顶部），i→ P（ξi=-1 | x）I{I:P（ξI）=-1 | x）>0.5}（i）（中），andi→ P（ξi=1 | x）i{i:P（ξi=1 |x）>0.5}（i）（底部）。值得注意的是，无跳跃的周期与频繁跳跃的周期交替出现，这表明跳跃聚类的存在（在[22]的JD（M）J规范下得出了相同的结论）。虽然在很多天里，跳跃的后验概率相当高，但大多数周期的概率都很低。这一观察结果证明了纯扩散成分的重要性。Frame和Ramezani分析了具有双指数跳跃分布的Bayes-Bernoulli跳跃扩散模型。他们之前的规格是基于非信息先验（λ除外）。他们模拟了标准普尔500指数的对数回报率。他们的结果表明“高”强度（E（λ| x）≈ 722）的“小”跳跃（E（ηD | x）≈ 60.5，E（ηU|x）≈ 62），这与很少跳跃和极值的概念不符。该模型为标准普尔500指数提供了类似的评估。不同的参数会导致不同的贝叶斯模型，它们可能会产生不同的参数后验值。在这种情况下，数学模型参数估计的解释并不简单，尽管贝叶斯池方法在上下文中可能被证明是有价值的（[31]）。从上述数学跳跃微分模型及其离散化的定义可以看出，跳跃的小绝对值概率不等于零（参见图4）。

这可能归因于通过正态分布和双指数分布的平均值对跳跃进行建模。因此，跳跃的绝对值可能接近于零。这一事实与跳跃作为极值的表示法不符。jumpcomponent的作用应不同于纯差异。如前所述，第25页表5、标准普尔500 05/2007-03/2009（熊市）的结果来自[21]。如上所述，贝叶斯分析的结果取决于先验知识。否则，Prior的超参数会以一种优雅而正式的方式产生一种工具，将跳跃与纯粹的差异区分开来。这种能力抑制了数学模型的缺点，并显示了贝叶斯推理的威力。它似乎是数学（而非统计）模型是估算结果模糊的原因。5结论本文建立了B-ayesian-DEJD模型。为了将该模型应用于实际，提出了基于MCMC方法的数值方法。配备MCMC方法的贝叶斯统计为我们提供了一种估计DEJD模型参数的简单方法。该方法通过模拟实验和实证研究加以说明，其中分析了KGHM份额的对数回报率。潜变量可以分析负跳和正跳的频率和分布。实验结果支持跳跃分布不对称的跳跃扩散模型的应用。无跳跃和频繁跳跃的周期表明存在跳跃聚集。不幸的是，结果可能取决于之前的假设。这种特性通常在基于混合分布的模型中观察到（[32]，[33]）。在默顿模型、JD（M）J模型和伯努利微分模型中，跳跃值分布不是正态分布。

如果正态分布的平均值不等于零，则分布相对于零是不对称的，因此具有双指数分布的跳跃扩散模型及其离散近似，如DEJD模型，仅构成建模不对称跳跃的替代工具，而不是其推广。本文提出的d贝叶斯DEJD模型可用于VaR分析和衍生证券定价。参考文献[1]P.R.米尔格罗姆。好消息和坏消息。表示定理和应用。贝尔经济学杂志，12:380-911981。[2] C.A.鲍尔和W.N.托罗斯。普通股收益的简化跳跃过程。《金融与定量分析杂志》，1（18）：53-651983。[3] 荣誉体育。估计跳跃扩散模型中的陷阱。工作文件系列第18号。奥胡斯商学院。http://www史塔特·普渡。教育/培训/教学/Stat598F/荣誉课程。pdf，1998年1月。[4] C.A.Ramezani和Y.Z.e ng。非对称跳跃扩散模型的最大似然估计。工作文件。http://cyrus.cob.calpoly.edu/JUMPMLE/Ramezani Zeng PBJD。pdf，1998年12月19日。[5] 郭世杰。期权定价的跳差模型。《管理科学》，48:1086–11 01，20 02。[6] 林世杰和黄美婷。使用CMC模拟估算跳跃扩散模式ls。工作文件0215E。国立清华大学经济系NTHU工作论文系列。，2002年10月。[7] F·B·汉森和J·J·韦斯曼。金融低回报过程中跳跃效应的随机分析。《随机理论与控制》，280/2002:169-183，20 02。[8] F·B·汉森、J·J·韦斯特曼和Z·朱。股票跳跃扩散模型市场参数的多项式极大似然估计。《当代数学》，351:155–169，2004年。[9] O.E.巴恩多夫-尼尔森和N.谢法路《权力和双权力的变化与稳定的波动和跳跃》。

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汉森，2010年，第2卷，第1-72页，。表1:Priors structuresPrior su′AuνhAhAUBU~nηUAηU~nηDAηDνLI 0.1 1 5 1 1 2.56 0.00576 2.56 0.00576 10II 0 1 5 1 1 0.5 1 0.5 1 10III 0 1 5 1 1 1 1 1.86 0.43 1.86 0.43 10IV 0 1 2.56 0.00576 1 1 2.56 0.00576 2.56 0.00576 10表2：模拟数据和模型真实参数的后验平均值和标准偏差。模型dejdiejdii真θE（·x）D（·x）E（·x）D（·x）D（·x）θu0.3262 0.0973 0.4632 0.0781 0.25σ0.3972 0.0043 0.4039 0.0039 0.4pU0。4835 0.0666 0.3055 0.0526 0.5ηD5。3202 0.2778 5.1647 0.2721 5ηU30。6779 3.7369 19.2997 2.6807 30λ30.6419 4.8 556 21.3400 2.0318 30表3：KGHM的后验均值和标准偏差。DEJDIIIθE（·x）D（·x）u′0.4038 0.2559u0.5074 0.2553σ0.4548 0.0168λ26.5479 11.51281+λ0.9062 0.0356pU0。2863 0.1215ηD17。9707 3.9736ηU14。4137 5.17291/ηD0。0586 0.01421/ηU0。0801 0.03566附录引理1在本文所述的条件下，似然函数由p（x |θ，ξ，J）=hn/2exp给出-h（ns）+ N十、- J- u′)!, （8） 其中=nnXi=1xi- 冀-十、- J,x=nnXi=1xi，J=nnXi=1Ji。引理2在文中所述的条件下，1。Auu- u′+ N十、- J- u′=Aunu-十、-JAu+n. (9)2.Z∞-∞σ√φz- u′σ√; 0, 1!ηDexp（ηD（x- z） ）我(-∞,0）（x）- z） dz（10）=ηDexpηDx- u′ηD+σηDΦ-十、-u′ - σηDσ√; 0, 1,其中φ（·；m，v）和Φ（·；m，v）分别是正态分布N（m，v）的密度和累积分布。3.Z∞-∞σ√φz- u′σ√; 0, 1!ηUexp(-ηU（x）- z） ）我[0，∞)（十）- z） dz（11）=ηUexp(-ηUx）expu′ηU+σηUΦ十、-u′ + σηUσ√; 0, 1.4.rhφrhxi- u′ - J; 0, 1!ηDexp（ηDj）I(-∞,0）（j）（12）=C exp-HJ-xi- u′+hηD!我(-∞,0）（j），其中C不依赖于j.5。右φrhxi- u′ - J; 0, 1!ηUexp(-ηUj）I（0，∞)（j） （13）=C经验-H\"J-xi- u′-hηU#!I（0，∞)（j） ，其中C不依赖于j证明。