贝叶斯DEJD模型与非对称跳跃检测

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英文标题：
《Bayesian DEJD model and detection of asymmetric jumps》
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作者：
Maciej Kostrzewski
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  News might trigger jump arrivals in financial time series. The \"bad\" and \"good\" news seems to have distinct impact. In the research, a double exponential jump distribution is applied to model downward and upward jumps. Bayesian double exponential jump-diffusion model is proposed. Theorems stated in the paper enable estimation of the model\'s parameters, detection of jumps and analysis of jump frequency. The methodology, founded upon the idea of latent variables, is illustrated with two empirical studies, employing both simulated and real-world data (the KGHM index). News might trigger jump arrivals in financial time series. The \"bad\" and \"good\" news seems to have distinct impact. In the research, a double exponential jump distribution is applied to model downward and upward jumps. Bayesian double exponential jump-diffusion model is proposed. Theorems stated in the paper enable estimation of the model\'s parameters, detection of jumps and analysis of jump frequency. The methodology, founded upon the idea of latent variables, is illustrated with two empirical studies, employing both simulated and real-world data (the KGHM index).
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中文摘要：
新闻可能会引发金融时间序列的激增。“坏”和“好”消息似乎有明显的影响。在研究中，采用双指数跳跃分布来模拟向下和向上的跳跃。提出了贝叶斯双指数跳扩散模型。文中所述定理可用于估计模型参数、检测跳跃和分析跳跃频率。该方法基于潜在变量的思想，通过两项实证研究进行了说明，采用了模拟和真实数据（KGHM指数）。新闻可能会引发金融时间序列的激增。“坏”和“好”消息似乎有明显的影响。在研究中，采用双指数跳跃分布来模拟向下和向上的跳跃。提出了贝叶斯双指数跳扩散模型。文中所述定理可用于估计模型参数、检测跳跃和分析跳跃频率。该方法基于潜在变量的思想，通过两项实证研究进行了说明，采用了模拟和真实数据（KGHM指数）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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PDF下载：
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关键词：贝叶斯 distribution Multivariate Quantitative Econophysics

贝叶斯DEJD模型和对称跳跃检测*Maciej Kostrzewski+2018年7月31日AbstractNews可能不会在金融时间序列中触发到达。“坏”和“好”消息似乎有明显的影响。在研究中，双指数跳跃分布被应用于模型向下和向上的跳跃。提出了贝叶斯双指数跳变扩散模型。文中所述定理可用于估计模型参数、检测跳跃和分析跳跃频率。该方法基于潜在变量的概念，通过两项实证研究加以说明，同时使用模拟和真实数据（KGHMindex）。关键词：双指数跳跃扩散模型，寇模型，B ernoullijump扩散模型，MCMC方法，潜在变量1关于公司的介绍新闻，宏观经济新闻，对股票，衍生证券，收益率，商品等价格的巨大影响。([1]). 市场通常会对爆出的新闻做出自发的反应。这些行为表现为时间序列中的跳跃。在一些模型中，跳跃和值的微小变化是同时发生的。此类规范的示例包括跳跃扩散模型及其离散化（例如[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]）。默顿模型（Merton model）[24]）是b e st knownjump扩散模型之一。在默顿模型中，跳跃出现在由指数分布控制的随机时刻，而跳跃的数量及其大小分别由泊松过程和正态分布驱动。价格的过程在跳跃之间是连续的——就像Black-Scholes模型（[25]）。众所周知，投资者对“坏”和“好”消息的反应是不同的（Crashopbia（[26]）。

在时间序列建模中，通过对负跳和正跳采用不同的分布来解释这一点是一种常见的方法。这种方法的一个例子是应用双指数分布。在这种情况下，负跳跃分布和正跳跃分布是相同的*这项研究得到了波兰科学和高等教育部的部分支持。2010-2012年完成的研究项目；N111429139号+波兰克拉科夫经济大学；电子邮件：kostrzem@uek.krakow.plexponential有一些（不同的）参数。在默顿模型中，跳跃值通过正态分布建模。然而，如果我们将正态分布替换为双指数分布，我们将得到一个负跳跃和正跳跃分别处理的规范。在本文中，我集中讨论了这种结构的离散版本。在跳跃扩散框架中，对数反转率的分布由一个有限的正态分布混合给出。在实践中，该模型的参数估计是针对有限混合物给出的一些模型近似值进行的。默顿模型最著名的近似方法是伯努利跳跃扩散模型（[2]），该模型允许在一个时间单位（例如一天）内最多进行一次跳跃。同样的想法也适用于具有双指数跳跃分布的跳跃微分模型。Kou（[5]）在衍生证券定价的背景下考虑了这种特殊性，称为Kou模型。此外，Ramezani和Zeng（[14]）对其进行了分析。该模型是Ramezani和Zeng（[4]）提出的帕累托-贝塔跳跃扩散模型的特例，其中两个泊松过程控制“坏”和“好”信息的到达率。在本文中，我考虑双指数跳跃扩散模型的离散化，称为DEJD模型。

它相当于[5]、[14]和[21]所考虑的模型（在适当的参数化下）。在DEJD规范下，当向上和向下跳跃的幅度由双指数分布生成时，单个B ernoulli过程控制收益中的跳跃到达。本文的目的是在（某些）适当的前提下为DEJD mo de l开发aBayesian框架。解释统计模型的思想是基于引入潜在变量。此外，我给出了在实践中如何进行贝叶斯推理的方法，并给出了相关数值算法的方案。Frame和Ramezani（[21]）提出了等效数学模型的Baye-sian规范。除跳跃强度参数外，他们认为没有n-信息性的先前规范。Rifo和Torres（[17]）、Lin和Huang（[6]）以及Kostrzewski（[22]、[23]）考虑了具有正常跳跃值的模型的贝叶斯框架。Merto-n模型、Kou模型和DEJD模型用于投资组合选择、衍生证券定价和风险分析。从实用的角度来看，估算该模型的可靠方法至关重要。最后，让我澄清一下，我专注于检测跳跃，而不是与宏观经济数据重新关联。例如[10]和[20]已经尝试过这种方法。论文的其余部分组织如下。第一节介绍了DEJD模型的理论细节。第2节定义了贝叶斯DEJD模型。此外，我还提出了基于CMC方法的数值算法，使贝叶斯推理成为可能。在第3节中，报告了实证结果。首先考虑了模拟数据，然后考虑了真实数据。论文最后给出了一些简短的结论。

附录中提供了所提出定理的证明。2 DEJD模型考虑标准维纳过程W=（Wt）t≥0，一个泊松过程N=（Nt）t≥强度λ>0，且独立随机变量Q=（Qj）j≥因此qj是密度为fqj（x）=pDηDexp（ηDx）I的双指数分布(-∞,0）（x）+pUηUexp(-ηUx）I[0，∞)（x） 式中ηU>0，ηD>0。假设W，N和Q是独立的。最后，S=（St）t≥0表示某个风险资产的价格过程。S的对数由一个跳跃扩散过程控制，该过程构成方程的解：d（ln St）=u -σdt+σdWt+QdNt。这可能表明ST=Sexpu -σt+σWt+NtXi=1Qi！，自然对数圣+圣=u -σ + σ（Wt）+- Wt）+Nt+Xi=Nt+1Qi， > 0.该过程由两部分组成：（纯）扩散部分，u -σ + σ（Wt）+- Wt），表示连续变量，当（纯）跳跃分量为Nt时+Xi=Nt+1Qi，反映了回报的异常（外部）变动。随机性有三个来源：W、N和Q，影响S。跳跃之间的（连续）价格行为由几何布朗运动W描述。跳跃的到达速度由泊松过程N描述，跳跃幅度由Q描述。过程S取决于六个未知参数：u、σ、λ、pU、ηua和ηD。在讨论DEJD模型的贝叶斯框架之前（见第3节），我们提供了相关模型规范的一些基础知识。对数收益率的密度，ln圣+圣, 是一种内部结构：∞Xk=0exp(-λ)(λ)kk！其中fk是一些密度。因为（2）给出的序列是有限的，所以密度很难确定。考虑一个近似值∞Xk=0exp(-λ)(λ)kk！fk≈MXk=0exp(-λ)(λ)kk！fk（3）对于某些M>0。近似值限制了任何时间间隔内的跳转次数 对M。

M=0的情况表示间隔内没有跳转.让我们进一步考虑离散时间框架。时间序列（x，x2，…）对于xi=lnSti+1Sti在（t，t，…）处观察到。此外 ≡ti+1- ti>0是以下观察之间的固定时间间隔。表示参数向量为θ=（u，σ，λ，pU，ηU，ηD），其中θ∈ R×（0，∞) ×(0, ∞) × (0, 1 ) × (0, ∞) × (0, ∞). 如果我们对（3）给出的近似值进行归一化，我们就得到了条件数据密度（给定参数，θ）：p（x |θ；M）=MXk=0wkfk（x），（4），其中wk=（λ）)kk！hPMj=0（λ）)林俊杰我-1和FK是一些嗜好。在本研究的剩余部分中，我假设M=1，因此p（x |θ；M=1）=1+λfX（x）+λ1 + λfX+Q（x），（5），其中x：=u -σ + σWt和Q~ fQ。（5）右侧的第一项称为扩散成分，而第二项称为跳跃扩散成分。假设对数回报率服从（5）给出的分布的模型进一步称为DEJD模型。在下文中，为了简单起见，密度（5）表示为asp（·θ），而不是p（·θ；M=1）。请注意，对于Kou模型（[5]）（Kou模型是（[14]）中提出的帕累托贝塔跳变扩散规范的特例），对数收益率密度由以下公式给出：p（x）=（1）- λ) fX（x）+λfX+Q（x），对于λ < 1.很容易看出这一点十、u, σ,λ1 + λ, pU，ηU，ηD；寇= p（x |u，σ，λ，pU，ηU，ηD；DEJD），对于λ < 1p（x |u，σ，λ，pU，ηU，ηD；Kou）=p十、u, σ,λ1 - λ, pU，ηU，ηD；德杰德.跳跃扩散和扩散重量的重量比λ1+λ1+λ= λ 等于重量比exp(-λ)λ经验(-λ)= λ 在原始模型中（2）。然而，对于Kou模型，sameis并非如此。

进一步的考虑仅限于DEJD模型和每日对数算术回报率的情况 =.3贝叶斯DEJD模型贝叶斯统计模型由联合密度定义：p（x，θ）=p（x |θ）p（θ），其中x=（x，…，xn）是观测数据，θ是未知参数的向量，p（x |θ）是采样密度，p（θ）是先验密度。推导基于给定数据x（[27]）的θ后验密度p（θ| x）。如果x。。。，实际上是独立的，那么p（θ| x）=p（x |θ）p（θ）p（x）=nQi=1p（xi |θ）p（θ）RΘnQi=1p（xi |θ）p（θ）dθ。给定x，p（x |θ）-作为θ的函数-被称为似然函数，其中sp（x）=ZΘnYi=1p（xi |θ）p（θ）dθ是边缘数据密度，它对θ的响应是不变的，因此p（θ|x）∝nYi=1p（xi |θ）p（θ）。在本节中，我们在Bayesian框架中设置了DEJD模型。为了简化这一过程，我们采用以下重新参数化：u′=u-σ、 h=σ，L=λ, 所以θ=u′，h，L，pU，ηU，ηD. 当我们分析一个时间序列，它是（或者，更确切地说，被认为是）跳跃扩散过程的轨迹时，我们实际上不知道给定的数据点观测是否是由跳跃扩散分量的纯扩散产生的。换句话说，我们无法确定（5）中序列的哪个部分，即fX（x）或fX+Q（x）是“负责”观察的。为了处理这个问题，让我们引入潜变量ξ=（ξ，…，ξn），其中ξi∈ {-1,0,1}和p（ξi=-1 |θ）=L1+LpD，P（ξi=0 |θ）=1+L，P（ξi=1 |θ）=L1+LpU。ξi=0表示在t=i时没有跳跃. 值sξi=-1和ξi=1表示跳跃，其值分别为负或正。

此外，引入与跳跃值对应的潜变量J=（J，…，Jn）是很方便的，其中p（Ji=J |θ，ξi=-1）=ηDexp（ηDj）I(-∞,0）（j），（6）p（Ji=j |θ，ξi=0）=δ，p（Ji=j |θ，ξi=1）=ηUexp(-ηUj）I（0，∞)（j） ，δ是狄拉克三角洲。θ-6表示所有未知的向量，ξ表示所有未知的向量=u′，h，L，pu，ηu，ηd，ξ。。。，ξn，J。。。，Jn.此外，p（xi |θ，ξi，Ji）=p（xi |θ，Ji）（7）=√2πrh经验-Hxi- u′ - 冀.贝叶斯模型由以下公式构成：p（x，θ，ξ，J）=p（x |θ，ξ，J）p（θ，ξ，J）=p（x |θ，J）p（θ，ξ，J）。将（θ，ξ，J）的先验结构定义为：p（θ，ξ，J）=pu′|hp（h）p（L）p（pU）p（ηU）p（ηD）·nQi=1p（Ji |ξi，ηD，ηU，L）nQi=1p（ξi | pU，L），其中p（h）~ G（γh，Ah）（伽马分布），pu′|h~ Nu（hAu）-1.（正态分布），p（L）~ χ（γL）（χ分布），p（ηU）~ GνU，η，AU，η, p（ηD）~ GνD，η，AD，η,p（pU | aU，bU）~ B（aU，bU）（β分布），P（ξ=（l，…，ln）|θ）=∏j∈{-1,0,1}wnjj，其中nj=#{i∈ {1,2，…，n}:li=j}，w-1=L1+LpD，w=1+L，w=L1+LpU，p（Ji=xi |θ，ξi=-1) ~ -G（1，ηd），p（Ji=xi |θ，ξi=1）~ G（1，ηu），p（Ji=xi |θ，ξi=0）=δ。通过马尔科夫链蒙特卡罗（MCMC）方法（[28]）重新计算未知量的后验特征，结合吉布斯取样器、独立性和顺序Metropolis-Hastings算法，膨胀为接受-拒绝抽样（[29]）。下面的定理使算法易于使用。定理1在上述假设下：1。Pμ′，hx、 θ\\{u′，h}，ξ，J∝pGh；n/2+γh，ns+ 啊+Aunu-十、-JAu+n!··φu′;uAu+（x-J） nAu+n,h（Au+n）)2.pLx、 θ\\L，ξ，J∝ LN+γL-1exp-L（1+L）N=N-1+n，nj=#{i∈ {1,2，…，n}:li=j}3。

P聚氨基甲酸酯x、 θ\\pu，ξ，J~ B（n+aU，n）-1+bU）pG（h；a，b）∝ 哈-1exp(-hb）是伽马分布的密度。N（m，v）表示均值m和方差v.pχ（ν）（x）的正态分布∝ xν-1exp-十、I（0，∞)（x） 是自由度为ν的χ分布的密度。4.p（ηD，ηU）x、 θ\\（ηD，ηU），ξ，J~ΓηD；（nD，ξ+νD，η），AD，η- ND，J··ΓηU；（nU，ξ+νU，η），AU，η+NU，J, 其中ND，J=Pni=1JiI(-∞,0（Ji），NU，J=Pni=1JiI（0，∞)(季)5。p（ξ，J | x，θ）=Qni=1p（Ji | xi，θ，ξi）p（ξi | xi，θ），其中（a）p（ξi=0 | xi，θ）=Gσ√φxi-u′σ√; 0, 1（b） P（ξi=-1 | xi，θ）=GηDexpηDxi- u′ηD+σηD··Φ-xi-u′-σηDσ√; 0, 1LpD（c）P（ξi=1 | xi，θ）=GηUexp-ηUxi+u′ηU+σηU··Φxi-u′+σηUσ√; 0, 1LpU（d）p（Ji=j | xi，θ，ξi=0）=δ（j），（e）p（Ji=j | xi，θ，ξi=-1 ) ∝ φJxi- u′ +hηD，H我(-∞,0）（j）（f）p（Ji=j | xi，θ，ξi=1）∝ φJxi- u′ -hηU，HI（0，∞)（j） andG:=σ√φxi-u′σ√; 0, 1+ ηDexpηDxi- u′ηD+σηD··Φ-xi-u′-σηDσ√; 0, 1· LpD++ηUexp-ηUxi+u′ηU+σηUΦxi-u′+σηUσ√; 0, 1·LpU。吉布斯算法依赖于从完整的条件分布中采样。自从pμ′，hx、 θ\\{u′，h}，ξ，J, PηD，ηUx、 θ\\（ηD，ηU），ξ，J安德普聚氨基甲酸酯x、 θ\\pu，ξ，J伽马正态分布、伽马分布和β分布的密度，采样u′、h、pu、η和ηUis是否简单。Ge ne评级潜在变量ξi=1。。。，n也不是一个挑战，因为每个i变量ξi（给定xindθ）都有一个离散分布，概率在orem 1中给出。在给定xi、θ和ξi=-1或ξi=1，因为分布是截断正态分布。注意，如果ξi=0，那么Ji≡ 0.从m p取样Lx、 θ\\L，ξ，J根据以下备选方案进行管理。提议2.1。

生成密度为（2n+1）L的独立Metropolis-Hastings算法~ χ2N+νLand转移概率：min经验NL（m+1）- L（m）h1+L（m+1）i-nh1+L（米）英寸，1,从状态L（m）到L（m+1）可用于从p中取样Lx、 θ\\L，ξ，J.2.如果n-N-νL>0，则接受-拒绝抽样的伽马分布密度为：L~ 游戏打得好LN- N-νL，1，N+νL,接受概率e-L/2可用于从P中取样Lx、 θ\\L，ξ，J.4示例在本节中，我们将说明上一节中开发的方法。首先，给出了两个模拟时间序列的DEJD模式l参数的估计结果。随后，KGHM回报率对数率的真实数据集与DEJD结构相匹配。所有的计算都是在R中进行的。研究中应用的数值算法需要监控生成的链收敛到其限制的静态分布。我们研究中使用的所有MCMC采样器的收敛性是通过遍历平均值、标准偏差和累积统计图的目视检查来证实的（[30]）。结果似乎对MCMC程序起点的选择是可靠的。在下文中，考虑了四种不同的优先结构，每种结构的超参数显示在表1中。从形式上讲，每个先前的规范定义了不同的贝叶斯模型，产生了四个dejdi、DEJ-DII、dejdii、dejdii和DEJDIV。4.1模拟案例研究从DEJD过程生成的一系列n=10000个数据点是欠考虑的。表2显示了海报ior平均值和标准偏差以及参数的真实值。