用sk样条重构密度函数

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英文标题：
《Reconstruction of density functions by sk-splines》
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作者：
A. Kushpel and J. Levesley
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Reconstruction of density functions and their characteristic functions by radial basis functions with scattered data points is a popular topic in the theory of pricing of basket options. Such functions are usually entire or admit an analytic extension into an appropriate tube and \"bell-shaped\" with rapidly decaying tails. Unfortunately, the domain of such functions is not compact which creates various technical difficulties. We solve interpolation problem on an infinite rectangular grid for a wide range of kernel functions and calculate explicitly their Fourier transform to obtain representations for the respective density functions.
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中文摘要：
利用离散数据点的径向基函数重构密度函数及其特征函数是篮子期权定价理论中的一个热门话题。这类函数通常是完整的，或者允许一个分析扩展到一个合适的管中，并带有快速衰减的尾部的“钟形”。不幸的是，这些功能的领域并不紧凑，这造成了各种技术困难。我们在一个无限矩形网格上求解各种核函数的插值问题，并显式地计算它们的傅里叶变换，以获得相应密度函数的表示。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：密度函数 Mathematical Construction Presentation Difficulties

用样条法重建密度函数。Kushpel和J.Levesley莱斯特大学数学系，UKak412@le.ac.uk , jl1@le.ac.ukApril2014年4月18日摘要用离散数据点的径向基函数重构密度函数及其特征函数是篮子期权定价理论中的一个热门话题。这些函数通常在CNO中是完整的，或者允许在CNC中的适当管中进行分析扩展，并带有快速凝固的尾部的“钟形”。不幸的是，这类函数（在实际应用中很重要）的域并不紧凑（例如Rn），这就造成了基本性质的困难。解决这一问题的常用方法是该领域的“适当”压缩（或运行）。然后，在这个紧凑的域中，我们可以尝试使用具有有限个数据点的径向基函数进行插值（或准插值）。然而，相应插值问题的解决与“大”矩阵的反演有关，这是一个具有挑战性的计算问题。此外，无论在截断域中取多少个数据点，截断后的近似精度都无法提高。此外，截断特征函数（在某些乘法因子下是密度函数）的傅里叶变换通常是不可积的，这会带来额外的技术困难。为了避免这一系列问题，许多作者试图利用代数多项式和它们的解析光滑性，将未知特征函数的扩展构造成一个更大但仍然紧凑的域。当然，这种方法不能产生有效且无饱和的算法。在本文中，我们提出了一种不同的方法。

agiven特征函数的值可以在矩形网格上计算，这使我们能够在核函数的非常一般的条件下，明确地解决相应的插值问题。然后我们显式地计算这种插值的傅里叶变换，得到密度函数的近似值。1简介考虑一个无摩擦的市场，没有套利机会，利率r>0。让Sj，t，1≤ J≤ n、 t≥ 0，是n个资产定价过程。到期日为T>0且履约期为K的普通价差期权≥ 这是付款的合同吗S1，T-Pnj=2Sj，T- K+在时间T，其中（a）+:=max{a，0}。在金融市场的不同部门之间交易的此类期权种类繁多。例如，商品市场[13]、[15]中的裂差和压差期权、固定收益市场中的信贷息差期权、股票市场中的指数息差期权[2]以及能源市场中的公园（燃料/电力）息差期权[1]、[14]。假设存在一个风险中性等价鞅测度，我们得到时间0的值的以下定价公式，V=e-rTEQ[~n]，其中是一个奖励函数，期望值是关于等价鞅测度的。通常，奖励函数的结构很简单，因此主要的问题是正确地逼近相应的密度函数，然后再逼近EQ[~n]。设x=（x，··，xn）和y=（y，··，yn）是Rn，hx，yi中的两个向量：=Pnk=1xkykbe通常的标量积和| x·：=kxk:=hx，xi1/2。

对于可积函数，即f（x）∈ 下一个（下一个）傅立叶变换(-i hx，yi）f（x）dx。其形式逆为F-1f（x） =（2π）nZRnexp(-i hx，yi）f（y）dy.任何L′evy过程的XT分布的特征函数可以用公式[exp（hix，Xti）]=e表示-tψQ（x）=（2π）nF-1pQt（x），其中pQt（x）是Xt，x的密度函数∈ Rn，t∈ 函数ψQ（x）是唯一确定的。此函数称为CharacteristicExponent。反之亦然，L’evy过程X={Xt}t∈R+由其特征指数ψQ（x）唯一确定。特别是，密度函数pQtcanbe表示aspQt（·）=（2π）-nZRnexp-i h·，xi- tψQ（x）dx=（2π）-nF经验-tψQ（x）(·)= (2 π)-nFΦQ（x，t）（·），其中ΦQ（x，t）是x={Xt}t的特征函数∈R+。设∧：={xk}是r中晶格点的加法群，K（·）是固定的核函数（读者不应将执行价格K与核函数K（·））混用）。假设InterplantskΦQ，x:=X∧ckK（X- ΦQ（x，t）的xk）存在且唯一。然后，正式地，我们得到pqt（·）≈ ( 2π)-nX∧ckΦQ（xk，t）F（K（x）- xk））（·）=（2π）-nF（K）（·）X∧ckΦQ（xk，t）exp（i h·，xki）。在接下来的内容中，我们给出了ck的一种显式形式ΦQ（xk，t）和F（K（x）- 这将给我们一个密度函数pQt的近似值。请注意，在许多重要情况下ckΦQ（xk，t）指数衰减速度为| k |→ ∞.让我们更详细地考虑Rn中的内部分离问题。设fbe是Rn，f上的连续函数∈ C（Rn）和XXJ∈∧cjK（xk- xj）=f（xk），xk，xj∈ Λ.当然，很难（或通常不可能）得到插值问题的明确解决方案。但是，如果我们在数据点{xk}上假设一些正则条件，仍然可以求解插值系统。

本文给出了Rn上均匀网格情况下插值问题的显式解。设Lp（Rn）为p-可积函数的一般空间，且赋范kfkp=kf-kLp（Rn）：=RRn | f（x）| pdx1/p，1≤ p<∞,ess supx∈Rn | f（x）|，p=∞.为了证明反演公式的正确性，我们需要著名的普朗克莱尔定理。定理1（普朗谢尔）傅里叶变换是从L（Rn）到L（Rn）的线性连续算子。傅里叶逆变换-1、可以通过出租F-1克（x） =（2π）n（Fg）(-x） 对于任何g∈ L（Rn）。首先，让我们描述一下T.上的一维情况∈ N设∧m={0=x<···<xn-1<xm=2π}是[0，2π）的任意部分，K是连续函数∈∧mckK（x）- xk），ck∈ R.用SK（λm）表示SK样条的空间，即SK（λm）=span{K（x）- xm），xk∈ ∧m}。更多信息请参见[7]。让我来∈ R为固定参数，yk=y+xk，1≤ K≤ m是插值点。当样条插值函数sk（x，y，λm，f）=sk（x，f）带节点xk，1时，如果插值问题有唯一解≤ K≤ m和插值点yk可以写成formsk（x）=Xk∈∧mf（yk）~skk（x），其中~skk（ys）=1，k=s，0，k6=s是基本的sk样条曲线。在各种应用中，基本样条函数的傅里叶级数展开的显式形式很重要。作为一个激励性的例子，考虑均匀贪婪∧m={xk=2π/m，1上的sk样条≤ K≤ m} ，具有插值点y，···，其中y∈ R是一个固定参数，sk（x）=c+mXk=1ckK（x- xk），mXk=1ck=0，ck∈ R、 一,≤ K≤ m、 在这种情况下，基本样条曲线只是sk（·）的位移，其中sk（yk）=1，k≡ 0（modn），0，否则。特别地，设K（x）=Dr（x）=∞Xk=1krcoskx+rπ, R∈ Nbe伯努利单样条。

那么空间SK（m）是r阶多项式样条的空间- 1，有结的缺陷1 xk，1≤ K≤ m和插值点yk，1≤ K≤ m、 Golomb[3]在r=4和y=0的情况下，即在三次样条曲线的情况下，得到了基本样条曲线的第一个F系列展开式。结果表明，sk（x，0）=sk（x）=m+mm-1Xj=1ρj（x）ρj（0），其中ρj（x）=mXν=1cos2πνjmD十、-2πνm.对于一般核函数K∈ C（T）和任意y∈ R相关结果见[7]。也就是说，它被证明为∧sk（x，y）=sk（x）=m+mm-1Xj=1ρj（x）ρj（y）+σj（x）σj（y）ρj（y）+σj（y），其中ρj（x）=mXν=1cos2πνjmK十、-2πνm, σj（x）=mXν=1sin2πνjmK十、-2πνm.当然，为了保证给定y的基本样条的存在，我们需要假设max{ρj（y），σj（y），1≤ J≤ m} >0。在[7]，[5]中可以找到关于核函数K的傅里叶系数的此类条件的详细研究，在[4]，[8]，[12]中可以找到这些结果在多维设置中的不同类似物。在[6]、[9]、[12]、[10]、[11]中考虑了sk样条插值和拟插值的收敛问题，其中证明了sk样条的收敛速度与相应的n-宽度具有相同的阶数。本文的主要目的是建立均匀网格上基数样条的表示，并将这些结果应用于定价理论中重要的密度函数的恢复问题。2 RnLet a=（a，···，an），ak>0，1上的sk样条插值≤ K≤ n为固定网格参数m=（m，·mn）∈ 兹南Ohma:={（上午，下午，下午）∈Zn} Rn是Rn中的一个网格。设A:=diag（A，···，an），则网格点为xm:=AmT。

对于固定连续核函数K，空间SK(Ohma） sk样条函数Ohmais表示形式为sk（x）=Xm的函数空间∈ZncmK（x）- xm），其中cm∈ R.设f（x）为连续函数，f:Rn→ 考虑插值问题k（xm）=f（xm），其中sk（xm）=xm∈Znc*mK（x）- xm），c*M∈ R.即使在一维情况下，插值问题也不总是有解的。如果解存在，则sk样条插值可以写成sk（x）=Xm的形式∈Znf（xm）fsk（x- xm），其中fsk（x- xm）是基本的sk样条曲线，即fsk（xm）=1，m=0,0，m6=0。定理2设K:Rn→ R应该是这样的K∈ L（注册护士）∩ C（Rn），Xm∈ZnF（K）z+2πA-1mT6= 0, Z∈2πQa，其中Qa:={x | x=（x，···，xn）∈Rn，0≤ xk≤ 1/ak，1≤ K≤ n} ，以及下午∈ZnF（K）（z+2πA）-1mT）可以用其傅里叶级数表示，即对于任何z∈ Rn，Pm∈ZnF（K）（z+2πA）-1mT）=Xs∈Znαsexp-我阿斯特，zthenfsk（x）=det（A）（2π）nZRnF（K）（z）Pm∈ZnF（K）（z+2πA）-1mT）exp（i hz，xi）dz，这种表示法是独一无二的。证明罪过∈ZnF（K）（z+2πA）-1mT）=Xs∈Znαsexp-我阿斯特，zthenfsk（x）=det（A）（2π）nZRnF（K）（z）Pm∈ZnF（K）（z+2πA）-1mT）exp（i hx，zi）dz=det（A）（2π）nZRnF（K）（z）Xs∈Znαsexp-我阿斯特，z!exp（i hx，zi）dz=det（A）（2π）nXs∈ZnαsZRnF（K）（z）exp我十、- 阿斯特，zdz。自从K∈ L（Rn）然后由普朗切雷尔的定理Fsk（x）=det（A）Xs∈ZnαsK十、- 阿斯特,Thatx（so-FSK）∈ SK(Ohma） 。

亨塞夫斯克金额=det（A）（2π）nZRnF（K）（z）Pm∈ZnF（K）（z+2πA）-1mT）经验我z、 金额dz=det（A）（2π）nXl∈ZnZ2πA-1lT+2πQaF（K）（z）Pm∈ZnF（K）（z+2πA）-1mT）经验我z、 金额dz=det（A）（2π）n×Xl∈ZnZ2πQaF（K）z+2πA-1lT下午∈ZnF（K）（z+2πA）-1lT+2πA-1mT）经验我z+2πA-1吨，金额dz=det（A）（2π）nXl∈ZnZ2πQaF（K）z+2πA-1lT下午∈ZnF（K）（z+2πA）-1mT）经验我z+2πA-1吨，金额dz=det（A）（2π）nZ2πQaPl∈ZnF（K）z+2πA-1lT下午∈ZnF（K）（z+2πA）-1mT）经验我z+2πA-1吨，金额dz=det（A）（2π）nZ2πQaexp我z+2πA-1吨，金额dz=det（A）（2π）nZ2πQaexp我z、 金额+ 2πi-hl，midz=det（A）（2π）nZ2πQaexp我z、 金额dz=det（A）（2π）nZ2πQaexpinXk=1akmkzk！dz=det（A）（2π）nnYk=1Z2π/akexp（iakmkzk）dzk=1，mk=0，1≤ K≤ n、 0，否则。。最后，我们需要证明基本sk的代表性-splineis是独一无二的。这有助于显示函数sk（x- xm），xm∈ OhmA是线性独立的。让我∈ R、 m∈但并不是所有的阿玛雷泽罗都是这样。特别是，对于某些s，L et为6=0∈锌。考虑一个线性算子，a:C（Rn）-→ 射频（·）7-→ f（xs）。假设tPm∈Znamfsk（x- xm）≡ 0=AXm∈Znamfsk（x- xm）！=阿萨fsk（x）- xs）= 这是一个矛盾。

定理2pQt（·）假设中的定理3≈det（A）F（K）（·）（2π）nPm∈ZnF（K）（·+2πA）-1公吨）Xm∈ZnΦQ（xm，t）exp（i h·，xmi）（·）！，作为max{ak，1≤ K≤ }n→ 0.证明fsk（x）=det（A）（2π）nZRnF（K）（z）Pm∈ZnF（K）（z+2πA）-1mT）exp（i hz，xi）dz=det（A）F-1.F（K）（z）下午∈ZnF（K）（z+2πA）-1公吨）（x） ,，xs∈ Ohma、 HencepQt（·）=（2π）-nFΦQ（x，t）(·)≈ (2π)-nFXm∈ZnΦQ（xm，t）fsk（x- xm）！（·）=det（A）（2π）nFXm∈ZnΦQ（xm，t）F-1.F（K）（z）下午∈ZnF（K）（z+2πA）-1公吨）（十）- xm）！（·）=det（A）（2π）nF（K）（·）Pm∈ZnF（K）（·+2πA）-1公吨）Xm∈ZnΦQ（xm，t）exp（i h·，xmi）！，新加坡中央银行（K）（z）下午∈ZnF（K）（z+2πA）-1公吨）∈ L（Rn）。例1假设K（x）是形式为K（x）=K（x，··，xn）=exp的高斯分布-nXk=1bkxk！B=diag（B，··，bn），然后f（K）（z）=πn/2（det（B））-1/2exp-nXk=1zk4bk！。应用泊松求和公式和普朗谢尔定理，我们得到了XM∈ZnF（K）z+2πA-1mT=Xm∈ZnnYk=1F经验-bkykzk+2πmkak=nYk=1Xmk∈ZF经验-bkykzk+2πmkak=nYk=1ak2πXmk∈Zexp（iakmkzk）Fo F经验-bkakmk2π=nYk=1ak2π（2π）Xmk∈Zexp（iakmkzk）经验-bkakmk2π= det（A）nYk=1Xmk∈Zexp（iakmkzk）经验-bkakmk2π.因此，在这种情况下，d（A）F（K）（z）（2π）nPm∈ZnF（K）（z+2πA）-1mT）=πn/2（det（B））-1/2exp-Pnk=1zk4bk（2π）nnQk=1Pmk∈Zexp（iakmkzk）经验-bkakmk2π.参考文献[1]邓，S.，能源商品价格的随机模型及其应用：带跳跃和尖峰的均值回归。工作文件，乔治亚理工学院，1999年10月。[2] Duan，J.C.，Pliska，S.R.，具有共同综合资产定价的期权估值。工作文件，香港科技大学财政系，1999年1月。[3] G olomb，M.，Uniformmesh上周期样条插值的逼近，J.近似理论1（1968），2 6–65。[4] G omes，S.M.，Kushpel，A.K.，Levesley，J.，Rago zin，D.L.使用带有数论结的sk样条在环面上插值，J.ofApprox。《理论》，981999，56-71。[5] 库什佩尔，A。

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