单调偏好下的连续时间投资组合选择

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英文标题：
《Continuous time portfolio choice under monotone preferences with
  quadratic penalty - stochastic interest rate case》
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作者：
Jakub Trybu{\\l}a, Dariusz Zawisza
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This is a follow up of our previous paper - Trybu{\\l}a and Zawisza \\cite{TryZaw}, where we considered a modification of a monotone mean-variance functional in continuous time in stochastic factor model. In this article we address the problem of optimizing the mentioned functional in a market with a stochastic interest rate. We formulate it as a stochastic differential game problem and use Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs equations to derive the optimal investment strategy and the value function.
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中文摘要：
这是我们之前论文Trybu{\\l}a和Zawisza\\cite{TryZaw}的后续，我们考虑了 Continuous_time_portfolio_choice_under_monotone_preferences_with_quadratic_penal.pdf (206.9 KB)

2022-5-6 03:53:02 上传

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关键词：投资组合选择 投资组合 连续时间 Differential Modification

二次惩罚单调参考下的连续时间投资组合选择——随机利率案例Jakub TRYBU LA和DARIUSZ ZAWISZAAbstract。这是我们之前论文的后续——Trybu la和Zawisza[17]，其中我们考虑了随机因素模型中连续时间的单调均值-方差函数的修正。在本文中，我们讨论了在随机利率市场中优化上述泛函的问题。我们将其表述为一个离散的微分对策问题，并使用Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs方程推导出最优投资策略和价值函数。1.引言马科维茨[11]提出的均值-方差分析长期以来一直是确定最优投资组合结构和组成的流行方法。然而，众所周知，均值-方差函数不是单调的，这是一个严重的缺点。也就是说，麦克切罗尼等人[10]给出了一个简单的例子，当一个拥有均值-方差偏好的投资者可能会严格选择少而不是多，从而违反了经济合理性的最具竞争力的原则之一。出于这个原因，他们创造了一个新的单调偏好类别，它与单调性领域的均值-方差偏好一致，但与均值-方差偏好不同，均值-方差偏好不是单调的，因此没有经济意义。Trybu-la和Zawisza首次在动态优化框架中详细研究了Maccheroni型目标函数的修正[17]。他们表明，在

此外，我们假设利率由一维布朗运动驱动的随机微分方程的解给出。目的是描述投资者可以遵循的最佳财务策略，以最大化其绩效标准，该标准由Trybu la和Zawisza[17]的单调均值-方差函数的修正给出。这篇论文的结构与前面提到的文章相同，但这里的问题更难解决，而且无法通过直接推理获得结果。2010年数学学科分类。91G10；91G30；91A15；93E20。关键词和短语。随机利率，随机控制，随机博弈。2 JAKUB TRYBU-LA和DARIUSZ-Zawisza关于有限视界最大-最小问题的文献综述，我们参考Bordigoni等人[3]、Hern\'andez和Schied[8]、Mataramvura和Oksendal[12]、Oksendal和Sulem[15]、TRYBU-LA和Zawisza[17]和Zawisza[19]。有关随机利率下最优投资的有趣讨论，请参见Bielecki和Pliska[1]和[2]，Brennan和Xia[4]，Korn和Kraft[9]，Munk和Sorensen[13]和[14]。这里值得一提的是Flor和Larsen[6]的论文，其中考虑了具有同质惩罚函数的鲁棒效用最大化。2.通用模型描述集(Ohm, F、 P）是一个过滤概率空间（Ft，0≤ T≤ T）可能被放大以满足通常的假设，并由布朗运动（Wt，0）生成≤ T≤ T）定义(Ohm, F、 P）。假设投资者有银行账户进入市场（Bt，s≤ T≤ T）和风险资产（St，s≤ T≤ T）。此外，我们假设利率是由一个随机过程（rt，s）给出的≤ T≤ T）我们将特别考虑短期利率的Vasicek模型。

上述过程是以下随机微分方程组的解（2.1）dBt=rtBtdt，dSt=（rt+λ（rt）σ（rt，t））Stdt+σ（rt，t）StdWt，drt=？（rt）dt+？（rt）σ（rt）dWt，rs=r>0，其中系数σ>0，λ，？（u，？）σ是连续函数，它们被认为满足所有必需的正则性条件，以保证（2.1）存在唯一的强解。为了便于标注，并确保在一般条件下，方程（2.17）存在解，我们避免在模型系数中加入“t”依赖。函数σ是一个例外，因为在短期单因素利率模型中，风险集ST被自然地解释为债券价格。通过在St的动力学中加入额外的布朗运动，我们仍然可以推广这个模型，但是我们无法求解由此产生的HJBI方程，即使在当前的问题中，它也是如此扩展。其他设置与Trybu la和Zawisza中的设置完全相同[17]。也就是说，我们将考虑P-等价度量的类别Q：=Q~ P:dQdP=EZηtdWtT、 η∈ M,其中E（·）t表示Doleans-Dade指数，M是所有渐进可测量过程η的集合，取R中的值，例如dQηdP< +∞ 还有EdQηdP= 1，其中Qη表示由η确定的测量值∈ M.此外，让我们定义额外的随机过程族（Yηt，s≤ T≤ T）由单调偏好下的随机微分组合选择3方程YηT=ηtYηtdWt，Yηs=Y>0，η∈ 然后，注意yηT=ydQηdP，η∈ M、 Let（Xπt，s≤ T≤ T）是具有以下动力学的投资者财富过程（2.2）dXπT=（πTλ（rt）σ（rt，T）+rtXπT）dt+πTσ（rt，T）dWt，Xπs=X>0，其中X表示投资者的当前财富，而控制πtwe可以解释为投资于St的财富的一部分。

注意，πtas以及投资组合财富Xπ皮重被允许为负值。定义2.1。控制（或策略）π=（πs，t≤ s≤ T）在时间间隔[T，T]上可容许，写成π∈ Ax，y，r，t，如果它满足以下假设：（i）π是渐进可测的；（ii）存在（2.2）的唯一解，ηx，y，r，t监督≤s≤T | Xπs|< +∞ 总的来说η∈ M、 式中，Eη表示关于测量值Qη的期望值。问题的表述。考虑Maccheroni型目标函数jπ，η（x，y，r，t）：=Eηx，y，r，t[-XπT]- 耶dQηdP= Eηx，y，r，t[-XπT- YηT]。投资者的目标是（2.3）最小化supη∈MJπ，η（x，y，r，t）在一类可容许策略Ax，y，r，t上。通常情况下，问题（2.3）可以被视为一个零和随机微分问题。我们在寻找鞍点（π）*, η*) ∈ Ax，y，r，t×M和一个值函数V（x，y，r，t），使得jπ*,η（x，y，r，t）6jπ*,η*（x，y，r，t）6jπ，η*（x，y，r，t）和v（x，y，r，t）=Jπ*,η*（x，y，r，t）。4 JAKUB TRYBU-LA和DARIUSZ Zawisza验证定理。正如我们所宣布的，我们通过应用随机控制理论来解决这个问题。让我们提醒一下（2.4）dXπt=（πtλ（rt）σ（rt，t）+rtXπt）dt+πtσ（rt，t）dWt，dYηt=ηtYηtdWt，drt=？（rt）dt+？（rt）dWt。可以方便地考虑系统（2.4）的Qη-动力学。在应用Girsanov变换后，我们dXπt=（πtσ（rt，t）（λ（rt）+ηt）+rtXπt）dt+πtσ（rt，t）dWηt，dYηt=ηtYηtdt+ηtYηtdWηt，drt=（？（rt）+σ（rt）ηt）dt+？（rt）dWηt，其中（Wηt，0≤ T≤ T）Qη-布朗运动定义为dwηT=dWt吗- ηtdt。设Lπ，η为Lπ，ηV（x，y，r，t）：=Vt+（πσ（r，t）（λ（r）+η）+rx）Vx+ηyVy+（？（r）+σ（r）ηVr+πσ（r，t）Vxx+ηyVy+？（r，t）Vrr+πσ（r，t）yVxy+πσ（r，t）yVxy+π（r，t）yVxy。我们现在可以建立定理。

这个定理的证明与Trybu-la和Zawisza[17]的类似定理的证明完全相同，所以在本文中我们省略了它。定理2.2（验证定理）。假设存在一个函数v∈ C2,2,2,1（R×（0+∞) ×R×[0，T））∩ C（R×[0+∞) ×R×[0，T]）和马尔可夫控制（π）*, η*) ∈ Ax，y，r，t×M，使得lπ*（x，y，r，t），ηV（x，y，r，t）≤ 0，（2.5）Lπ，η*（x，y，r，t）V（x，y，r，t）≥ 0，（2.6）Lπ*（x，y，r，t），η*（x，y，r，t）V（x，y，r，t）=0，（2.7）V（x，y，r，t）=-十、- 所有η的y（2.8）∈ R、 π∈ R、 （x，y，R，t）∈ R×（0+∞) 和（2.9）Eηx，y，R，T监督≤s≤T | V（Xπs，Yηs，rs，s）|< +∞适用于所有人（x、y、r、t）∈ R×[0+∞) ×R×[0，T]，π∈ Ax，y，r，t，η∈ M.单调偏好下的投资组合选择5ThenJπ*,η（x，y，r，t）≤ V（x，y，r，t）≤ Jπ，η*（x，y，r，t）对于所有π∈ Ax，y，r，t，η∈ M、 andV（x，y，r，t）=Jπ*,η*（x，y，r，t）。极大极小问题的解决方案。

为了找到鞍点，我们从分析aHamilton Jacobi Bellman-Isaacs方程（2.10）minπ开始∈Rmaxη∈RLπ，ηV（x，y，r，t）=0，即Vt+rxVx+？（r）Vr+？（r）Vrr+minπ∈Rmaxη∈Rπσ（r，t）（λ（r）+η）Vx+ηyVy+’σ（r）ηVr+πσ（r）Vxx+ηyVy+πσ（r，t）ηyVxy+πσ（r，t）’σ（r）Vxr+η′σ（r）yVy r= 我们期望V（x，y，r，t）的形式为（2.11）V（x，y，r，t）=H（r，t）x+G（r，t）y，其中H（r，t）=-1和G（r，T）=-1.然后我们有xht+yGt+rxH+？（r）（xHr+yGr）+σ（r）（xHrr+yGrr）+minπ∈Rmaxη∈Rπσ（r，t）（λ（r）+η）H+ηyG+’σ（r）（ηx+πσ（r，t））Hr+2η′σ（r）yGr= 0.η上的最大值在η处达到*（π） ，其中η*(π) = -σ（r，t）H2yGπ-“∑（r）（xHr+2yGr）2yG。η*（π） 我们的方程的形式为xht+yGt+rxH+？（r）（xHr+yGr）+σ（r）（xHrr+yGrr）+minπ∈Rπσ（r，t）（λ（r）+η*（π） ）H+（η*（π） yG（2.12）+σ（r）（η*（π） x+πσ（r，t））Hr+2η*（π） “∑（r）yGr= 0.6 JAKUB-TRYBU-LA和DARIUSZ-Zawiszaπ上的最小值在（2.13）π处达到*= 2yGλ（r）σ（r，t）H+？（r）σ（r）σ（r，t）HrH-GrGH- x′σ（r）σ（r，t）HrH。值得注意的是，（2.14）η*(π*) = -λ（r）- 所以鞍点候选者（2.15）（π*, η*(π*))如下所示*= 2yGλ（r）σ（r，t）H+？（r）σ（r）σ（r，t）HrH-GrGH- x′σ（r）σ（r，t）HrH，η*(π*) = -λ（r）- “∑（r）HrH。现在，我们将（2.13）代入（2.12），得到公式x的最终方程Ht+rH+（？（r）- \'\'σ（r）λ（r））Hr+\'\'σ（r）Hrr- \'\'σ（r）HrH+YGt+°σ（r）Grr+λ（r）+βσ（r）HrHG+u（r）- 2′σ（r）λ（r）- 2′σ（r）HrHGr= 0.因此，与其求解完全非线性方程，不如为两个半线性方程组（2.16）Ht+rH+（？（r））找到经典（C2,1类）唯一解- \'\'σ（r）λ（r））Hr+\'\'σ（r）Hrr- \'\'σ（r）HrH=0，终端条件H（r，T）=-1和GT+？（r）Grr+λ（r）+βσ（r）HrHG+u（r）- 2′σ（r）λ（r）- 2′σ（r）HrHGr=0，（2.17），终端条件G（r，T）=-1.我们将在第3节回到这两个方程。现在我们需要证明两个有用的引理。引理2.3。

假设函数V∈ C2,2,2,1（R×（0+∞)x R×[0，T））通过（2.11）i将唯一解推广到（2.10）*, η*(π*)) ∈ Ax，y，r，t×M由（2.15）确定。定理2.2的n个条件（2.5）-（2.8）是满足的。单调偏好下的投资组合选择证明。我们已经知道maxη∈RLπ*,ηV（x，y，r，t）=0，Lπ*,η*V（x，y，r，t）=0和V（x，y，r，t）=-十、- y、 其中包括（2.5）、（2.7）和（2.8）。为了证明（2.6），可以使用（2.12）和（2.14）并简单地验证minπ∈RLπ，η*(π*)V（x，y，r，t）=0。第二个引理将有助于在第4节中证明主要结果。引理2.4。假设初始条件（x，y，r，t）固定，鞍点（π*, η*(π*)) ∈ 由（2.15）、H（r，t）和G（r，t）给出的Ax，y，r，t×Mis分别是方程（2.16）和（2.17）的经典唯一解。然后2g（rt，t）Yη*t=2G（r，t）y+H（r，t）x- H（rt，t）Xπ*TT∈ [t，t]。证据

仅证明这一点是足够的H（rt，t）Xπ*T= D-2G（rt，t）Yη*T.首先，请注意，对于（2.15）给出的鞍点，方程组（2.4）是of thermdxπ*t=2Yη*甘油三酯λ（rt）H+？（rt）λ（rt）HrH-GrGH- Xπ*tλ（rt）／σ（rt）HrH+rtXπ*Tdt+2Yη*甘油三酯λ（rt）H+？（rt）HrH-GrGH- Xπ*t′σ（rt）HrHdWtanddYη*t=-λ（rt）+βσ（rt）HrHYη*tdWt。使用（2.16）我们可以验证DH（rt，t）=-rtH（rt，t）＋σ（rt）λ（rt）Hr（rt，t）＋σ（rt）Hr（rt，t）H（rt，t）dt+°σ（rt）Hr（rt，t）dWt。此外，我们已经H（rt，t）Xπ*T= H（rt，t）dXπ*t+Xπ*tdH（rt，t）+dH（rt，t）dXπ*t、 8 JAKUB-TRYBU-LA和DARIUSZ-ZAWISZAso将适当的动力学代入上述方程，我们得到d（H（rt，t）Xπ*t） =2Yη*t（“λ（rt）+σ（rt）Hr（rt，t）H（rt，t）G（rt，t）-\'\'σ（rt）λ（rt）+σ（rt）Hr（rt，t）H（rt，t）Gr（rt，t）dt（2.18）+λ（rt）+σ（rt）Hr（rt，t）H（rt，t）G（rt，t）- \'\'σ（rt）Gr（rt，t）dWt.现在使用（2.17）我们可以验证dg（rt，t）=2′σ（rt）λ（rt）+σ（rt）Hr（rt，t）H（rt，t）Gr（rt，t）-λ（rt）+σ（rt）Hr（rt，t）H（rt，t）G（rt，t）#dt+？（rt）Gr（rt，t）dWt。此外，我们已经-2G（rt，t）Yη*T= -2G（rt，t）dYη*T- 2Yη*tdG（rt，t）- 2dG（rt，t）dYη*t、 将适当的动力学代入上述方程，我们得到（2.18）的右边。备注2.5。注意这个过程（Yη*t、 t≤ T≤ T）是不可直接观察到的，但幸运的是，上述引理确保了对于固定的初始条件（x，y，r，T），而不是马尔可夫π*= 2Yη*甘油三酯λ（rt）σ（rt，t）H+？（rt）σ（rt）σ（rt，t）HrH-GrGH- Xπ*t′σ（rt）σ（rt，t）HrH，我们可以使用^π*=2G（r，t）y+H（r，t）x- H（rt，t）Xπ*T*λ（rt）σ（rt，t）H+？（rt）σ（rt）σ（rt，t）HrH-GrGH- Xπ*t′σ（rt）σ（rt，t）HrH。3.

所得方程的经典光滑解在本节中，我们给出了一组假设，以确保方程（2.16）和（2.17）在适当的终端条件下存在经典（C2,1类）唯一解。用边界条件H（r，T）求解方程（2.16）=-1以下是ansatz ismadeH（r，t）=-Γa（r，t），其中Γ（r，t）=1且Γ（r，t）>0，以获得Γt+raΓ+（？（r）- \'σ（r）λ（r））Γr+\'σ（r）Γrr+（a）- 1) - A.\'\'σ（r）ΓrΓ=0。单调偏好下的投资组合选择9请注意，对于a=-我们有（3.1）Γt- rΓ+（\'u（r）- \'σ（r）λ（r））Γr+\'σ（r）Γrr=0。然而，进行另一次替换是很方便的。也就是说，如果我们替换Γ（r，t）=e-r（T）-t） F（r，t），其中F（r，t）=1且F（r，t）>0，我们得到以下等式（3.2）Ft+σ（r）（T）- （t）- （T）- t） （°u（r）- “∑（r）λ（r））F+u（r）- \'\'σ（r）λ（r）- σ（r）（T）- （t）Fr+？（r）Fr=0。现在我们要证明方程（3.2）的经典（C2，1类）唯一解的存在性，其边界条件F（r，T）=1。备注3.1。根据弗里德曼[7]第6章定理4.6，可以得出结论，如果¨u，¨σ和¨σ·λ是Lipschitz连续且有界的，¨σ>ε>0，则存在一个经典的（类C2,1（R×[0，T））∩ C（R×[0，T]）方程（3.2）有界的唯一解F（另见弗里德曼[7]第6章估计4.12）。众所周知，这样的解满足费曼-卡茨表示：F（r，t）=EPr，t经验ZTtφ（rs，s）ds,式中φ（r，t）：=“σ（r）（t- （t）- （T）- t） （°u（r）- ∑（r）λ（r）），（~Ws，t）≤ s≤ T）是关于P和d的布朗运动=u（μrs）- \'\'σ（~rs）λ（~rs）- σ（rs）（T）- （t）ds+？＠σ（＠rs）d＠Ws，＠rt=r。此外，请注意φ是有界的Lipschitz连续函数。这意味着F是有界的，并且有界远离零。为了证明F的其他性质，我们还需要两个引理。引理3.2。