MVA：通过复制和回归进行的初始保证金估值调整

Longsta off-Schwartz回归函数为AMean提供了这样的功能，因为每个函数都只是解释变量SOI（ω，tk）中的一个多项式。因此，我们可以通过使用回归函数和使用冲击率VIq计算的解释变量来近似每个场景中的投资组合价值≈\'F（αm，Oi（\'yaq，tk），tk）。（38）值得注意的是，我们将Longstaff-Schwartz方法应用于所有衍生产品，从香草线性产品到更复杂的奇异结构。我们还使用得到的回归作为压缩技术，也就是说，我们寻求一组函数，\'F，作为整个portfoliovalue的近似值。因此，朗斯塔夫-施瓦茨方法不仅用多项式取代了每笔交易的估值，而且还取代了对每笔交易进行单独估值的需要，从而带来了进一步显著的绩效效益。鉴于只使用一个多项式来取代整个投资组合估值，Longstaff-Schwartz增强压缩提供了一个稳定且独立于投资组合规模的投资组合估值成本。当然，计算的回归阶段本身是投资组合中现金流数量的函数，因此计算成本确实会随着投资组合规模的增加而增加。

然而，我们在下一节中的结果表明，这并不是一个显著的影响，而且在实践中，计算成本独立于投资组合的大小。Longsta off-Schwartz最初的形式要求对Var和CVAR计算进行扩充，因为：o在t=0时，投资组合NPV正好有1个值，因此不可能进行回归对于t>0，由状态因子动力学探索的状态区域比由VAR冲击探索的区域小得多。要了解在VAR环境下使用投资组合价值回归时，蒙特卡罗生成的状态空间不够大的原因，请考虑一个简单的例子，其中我们的模型由Orstein-Uhlenbeck过程（即均值回复）驱动，dx=η（u- x） dt+σdW，x（0）=x0，其中W是drivingWeiner过程。图1显示了对1024条路径的状态空间的分析。很明显，所示的1024条路径没有覆盖VAR计算所需的状态空间，当VAR冲击可以在相对论基础上产生高达30%的偏移时。这种相对VAR冲击的大小在第4节中给出的数值示例中使用的5年时间序列中发现。我们可以应用两种增强方法，早期启动MonteCarlo和冲击态增强。3.2.1提前开始蒙特卡罗方法比今天更早地开始蒙特卡罗模拟，以便在获得VAR冲击的准确回归结果所需的区域中存在足够的蒙特卡罗路径。Wang和Ca flish[2009]建议使用早期启动蒙特卡罗法，以获得灵敏度。早期启动蒙特卡罗的优点是它保持了路径连续性。这是包含美国或百慕大风格练习的投资组合所需要的。

对于此类产品，必须将连续值与练习值进行比较，以在Longstaff-Schwartz的反向归纳步骤中获得正确的估值。鉴于我们将在第4节中考虑的投资组合仅包含普通工具，我们将不应用本文中的早期启动方法。3.2.2震惊状态增强当投资组合不包含美国或百慕大风格的练习时，我们可以使用比早期开始更简单的方法来计算回归函数。00.51.01.52.0时间HYears L状态值图1：参数为x0=1的Orstein-Uhlenbeck过程的状态空间分析；u = 1; η = 1/4; σ = 0.3. 每条路径上有1024条细线。粗红线分别显示每个日期1%和99%的置信区间。蓝色粗线表示置信区间的相对偏移为30%。在第4节数值示例中使用的5年时间序列中发现了相对VAR冲击的大小。为了在由粗蓝线分隔的区域内获得投资组合的良好回归近似值，由于很少有路径进入红蓝线之间的区域，因此单靠蒙特卡罗是不够的。需要某种形式的增强来生成足够宽的状态空间，以便在应用VAR冲击后为投资组合提供良好的回归值。投资组合价值。不涉及股票期权的中央交易对手通常就是这样。我们称这种方法为震惊状态增强。它更简单，因为它不必保持价格的路径连续性，因为估值不需要反向归纳步骤。因此，每个停止日期的回归独立于所有其他回归。

这也意味着它们可以并行计算。冲击状态增强的目标是使投资组合回归在与VaR计算相关的状态空间范围内准确。与VAR相关的状态空间严格大于模拟探索的状态空间，因为VAR计算将冲击应用于模拟的状态，如图1所示。使用回归的插值比外推更可能精确。在他们的数据范围之外，构造任意糟糕的回归是很简单的。因此，休克状态增强的想法是扩展每个停止日期的状态范围，包括t=0，因此回归插值而不是外推。在任何路径上的任何停止日期，VAR状态空间的维数由VAR冲击的维数给出，而不是模拟的驱动因素。我们将“VAR冲击”与“VAR情景”互换使用。例如，单一利率的一个风险值冲击可以用18个数字来描述，这些数字给出了零收益率曲线在不同期限的相对运动，因此是18维的。模拟可能是一个单因素利率模型，因此可以用一维状态来描述，这一事实是不相关的。驱动维度由theVAR shocks探索的空间定义。通常这将大于仿真模型的维数。这种高维性必须通过扩展状态空间来探索。在每个停止日期，组合价格计算为每条路径上的组成交易的总和。如果有m条路径，那么这就给出了m个值。我们可以为状态变量选择任何东西（本例中的掉期和年金），并且可以选择任意数量的路径。我们将Portfolio值与stae变量值进行回归。

通常m<n，其中n是VAR冲击的维数，因此问题被过度确定。我们使用了最小二乘法，因此较大的拟合误差会受到相对较高的惩罚，前提是这些误差在更极端的情况下更可能发生。我们遵循一种节省的状态扩充策略，即完全att=0。我们假设有比VAR冲击更多的模拟路径。冲击状态增强：在每条路径上的每个停止日期应用一个VAR冲击。这种策略非常节省，因为我们不需要任何额外的模拟路径，而且因为我们使用与通常模拟相同的计算次数（当然除了计算冲击对模拟数据的影响）。该策略在t=0时是完整的，因为我们确定覆盖VAR所需的全部范围（因为我们假设的模拟路径比VARshocks多）。这是自动的，因为我们使用VAR冲击本身来扩展状态空间。因此，我们确信，所有VAR计算都将在回归校准的范围内。因此，在t=0时，只要我们有足够的基本函数，我们可以期望任何VAR计算都接近精确。冲击状态增强是最节省的策略，因为它在每个模拟路径的每个停止日期使用一个VAR冲击。在这一版本的冲击状态增强中，我们在每个停止日期为每个路径依次选择VAR冲击，因此在t=1时，例如，路径1使用冲击1，路径2使用冲击2，等等。由于路径比冲击多，我们将多次使用一些冲击。我们对冲击的平均影响不感兴趣——VAR是冲击对投资组合的极端结果。由于冲击涵盖了一系列规模（比如说30%的相对规模），n维空间中哪个方向（由VAR冲击维度定义）对投资组合的影响最大并不明显。

例如，我们不能假设投资组合的局部敏感性（delta、gamma、vega等）给出了适当的方向。同样，这就是为什么我们不能简单地选择每个VaR冲击的最大分量，并利用它来扩展状态空间。虽然被定义为每个冲击的最大分量的冲击会很大，但我们不能说，在n维空间中，该冲击的大小是否会对投资组合产生最大的变化。这是对目前技术需求的一部分。在冲击状态下，冲击的应用与计算VAR时完全相同。在我们的实验中，利率VAR冲击是零收益率曲线期限点上的乘法冲击。它们应用于ShockedState增强，就像VAR创建新的市场数据状态一样（在每条路径上的每个特定停止日期）。许多其他策略都是可能的，但由于篇幅的原因，没有涵盖。我们为未来的研究提供最佳策略。我们将我们的结果与直接计算进行了比较，即无回归和完全重估（完整结果见下文）。对于合理数量的基函数，结果指标的误差约为名义误差的20个基点或更小。4数值结果和性能比较我们计算了一系列美元利率互换投资组合的MVA。我们还计算了适用于同一投资组合的FVA（如果该投资组合未被修复），以便提供一个参考计算来评估theMVA的影响。我们假设使用以下初始保证金方法，o99%单边VAR；o10天重叠移动5年窗口期，包括一段严重压力期。

我们的投资组合由国税局组成，因此从2007年1月开始有一个合适的时期5年窗口期意味着有1294次冲击。每一次VAR冲击都是零收益率曲线的变化每个风险值冲击定义为18个到期日：0、0.5、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、15、20、25、30年冲击是相对于零收益率的相对变化，因此，假设T处的零收益率r和相对冲击s，由此产生的贴现系数为：e-rT（1+s）。o冲击到期日之间收益率的线性插值。测试投资组合有n个期限最长为30年的掉期，每个掉期都有以下属性，on个期限为i×nw的掉期，其中i=1，no名义价值=1亿美元×（0.5+x），其中x~U（0,1）o走向=K×（y+x），其中x~U（0,1），K=2.5%。通常y=1，对于我们平衡正面和负面暴露的特殊情况，ory=1.455杠杆率=（0.5+x），其中x~U（0,1）oP[payer]={90%，50%，10%}所有掉期都有针对美元市场的标准市场惯例。对于n=1000，投资组合的预期风险敞口比例如图2所示。我们在示例中使用n={50,100,1000,10000}。示例中使用的参数MVA参数如下：oλC=0，即我们假设发行人面临无风险交易对手。oλB=167bpoRB=40%osI=0-2000 4000 6000 8000 10000 12000 140000 10 20 30暴露（MUSD）年n=1000 EPEEn图2：当n=1000且P[付款人]=90%时的预期正暴露（EPE，蓝色）和预期负暴露（ENE，红色）。使用2m+1基函数的线性组合进行回归，包括常数、m掉期和m年金，长度为m×30，i=1，m、 请注意，我们只选择一次基函数，并将其用于所有停止日期。

这一选择的动机是，我们可以通过掉期和年金的线性组合构建任何期限相同但固定利率不同的掉期，并且我们可以通过两个不同期限的掉期构建远期启动掉期。我们在所有模拟中使用1024条路径，时间跨度为30年，停止日期为6个月。利率模拟模型校准至2014年3月10日。投资组合价格的回归精度如图3（a）所示。由于基函数的数量很少，因此可以获得较高的精度。随着投资组合的老化，在以后的时间点需要更少的基差函数，这是自动处理的，因为我们在所有停止日期保持相同的基差函数。随着时间的推移，一些基本功能和一些投资组合也逐渐成熟。VAR和IM融资的准确性如图3（b）所示。这些算法在C++/CUDA中实现，并在GPU（NVIDIAK40c）上运行以提高效率。这使我们能够在合理的时间范围内进行蛮力计算以进行比较。LSAC方法的性能如图4所示，并与蛮力计算进行了比较。蛮力计算意味着对整个投资组合进行全面重估，即在每条路径上的每个停止日期对每笔交易重新定价。在蛮力方法下，EES和VAR计算占用了大部分时间，尤其是对于较大的投资组合。相比之下，回归方法是一种针对特定数量VAR情景的恒定时间算法。相对加速率随着问题规模的增大而增大，中型掉期组合（10000掉期）的加速率达到x100。0.0%0.5%1.0%1.5%2.0%2.5%3.0%9 21 41 81回归组合价格的误差基础规模（#工具）n=1000平均最大值（a）作为1000掉期组合的基础规模的函数。

平均值和最大值指的是模拟中在0到30年之间的停止日期范围内回归的误差-30-20-1001050 100 1000 10000Average Error in using%/100（基点）投资组合规模（#掉期）#basis=41 ValueVARFunding（b）投资组合指标的准确性，作为使用41个基函数（2×20+1）的投资组合规模的函数，用于预期投资组合价值、99%单边VAR和IM融资成本。图3：LSAC方法对测试组合的准确性。投资组合FVA MVAP[付款人]名义90%115 5350%0 210%-113 56的名义基准点的基准点表2：三个示例投资组合的FVA和MVA相对成本。这里，FVA=FCA+DVA是FVA成本和收益的对称方法。表2显示了三个投资组合的MVA成本，并将其与FVA进行了比较。MVA接近于未治愈投资组合FVA成本的50%，因此进行了重大估值调整。5结论本文扩展了Burgard Kjaer[2013]的半复制方法，将初始保证金的融资成本包括在内，因此增加了进一步的估值调整MVA。MVA的形式要求预期的初始利润率达到计算的利润率。鉴于CCP经常使用VAR或CVARM方法计算初始保证金，预期初始保证金的计算将意味着需要在风险中性蒙特卡罗模拟中进行历史VAR模拟。如果使用蛮力方法，这将是非常密集的计算。因此，我们建议使用Longsta ff-Schwartz增强压缩，以便使用基本上独立于投资组合规模的计算效率算法来评估MVA。

对多个示例投资组合的MVA计算表明，这是一个显著的调整，在未经调整的基础上，仅不到同一投资组合FVA的50%。101001000100005010010001000Compute Time（sec）投资组合规模（#掉期）#基准=41方向回归图4：LSAC方法（红色）在计算初始保证金时的性能，与蒙特卡罗内使用蛮力蒙特卡罗（蓝色）相比。请注意，两个轴都是对数轴。致谢作者希望感谢2014年GPU技术大会和2014年Quant Europe大会上与会者和评审员的反馈，在大会上展示了早期结果。我们还要感谢两位匿名裁判的评论。参考BCBS-261。非集中清算衍生品的保证金要求。巴塞尔银行监管委员会，2013年。C.伯加德和M.克杰。具有双边交易对手风险和融资成本的衍生品的偏微分方程表示。《信贷风险杂志》，7:75–932011a。C.伯加德和M.克杰。在平衡中。风险，24（11），2011b。C.伯加德和M.克杰。资金策略，资金成本。《风险》，第26（12）页，2013年。卡梅伦先生。随着CCP争夺经销商支持，保证金模型趋同。风险（在线），2011年10月。A.格林、C.肯扬和C.R.丹尼斯。KVA：通过复制进行的资本估值调整。《风险》，2014年第27（12）页。LCH。清算所程序第2C节，2013年。统一资源定位地址http://lchclearnet.com/Images/sect%20（2c）%20-%2022.10.13_tcm6-43744。pdf。F.朗斯塔夫和E.施瓦茨。通过模拟评估美式期权：最简单的平方法。《金融研究评论》，14（1）：113–147，2001年。V.皮特堡。贴现之外的融资：抵押品协议和衍生品定价。风险，23（2）：97-1022010。V.皮特堡。用抵押品做饭。风险，25（8）：58-632012。雷尼森。