最大尾依赖的路径和指标

我们在表3.1中总结了结果。注意到κ的较小值*从表3.1中观察到，κ的值越小，说明尾依赖性越强*Lare，VaR、CTE和MTVar的值越大，而经典指数κLdO没有变化。4个例子我们从几个连词族开始，对于这些连词族，最大依赖的路径可以以封闭形式导出，并且有适度的影响。表3.1：Marshall-Olkin copula与Pareto II边缘的数量（i）-（vi）。依赖风险度量的参数指数qbτκLκ*vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv1 Marshall Olkin copula回想一下，Marshall Olkin copula是由公式（2.5）定义。接下来，为每一个u∈[0,1]，函数x7→ 定义在积分[u，1]上的Ca，b（x，u/x）等于u2（1-b） 所有x≤ x=u2b/（a+b）和u/xa表示所有x≥ x、 所以，函数的唯一最大值是在x=x点上实现的，所以马歇尔-奥尔金copula的最大依赖函数是唯一的，并由φ给出*（u） =u2b/（a+b）。（4.1）因此，最大概率为∏*（u） =u2-2ab/（a+b），（4.2），因此最大依赖性的较低尾部指数为κ*L=2-2aba+b.（4.3）4.2 Marshall-Olkin c-Opulas的混合物我们从公式（4.1）中可以看出，当a和仅当a=b时，最大相关路径是对角的，因此当且仅当Marshall-Olkin copula是对称的。接下来，我们证明这个事实不能推广到任意对称copula。也就是说，有一些对称的copula，它们的最大依赖路径不是对角的。

为了说明这一点，我们使用了两个镜像（围绕对角线）的Marshall-Olkin连接函数的0.5/0.5混合，即C（u，v）=Cb（a，v，u）+为了0≤ u、 五≤ 1，（4.4）0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81UV0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81图4.1：当a=0.3529和b=0.75时，两个Marshall-Olkin连接函数（左）及其轮廓（右）的模拟混合，两条路径具有最大依赖性（φ*k（u），u/~n*k（u））0≤U≤1，k=1，2，叠加在右侧面板上。对于一些a 6=b，copula C（u，v）是对称的。繁琐的计算（附录A）表明，有两条最大依赖路径（图4.1）由函数φ给出*（u） =u2b/（a+b）和*（u） =u2a/（a+b）。（4.5）因此，没有一条具有最大相关性的路径与对角线重合，因为a 6=b，并且对于这两条路径中的任何一条，最大概率为∏*（u） =u2-2ab/（a+b）1+u2（ab）-min{a，b}）/（a+b）=u2-2ab/（a+b）1+o（1）当你↓ 因此，最大依赖性的较低尾部指数为κ*L=2-2aba+b，（4.7），这与方程（4.3）中的普通Marshall-Olkin copula相同。4.3 Farlie-Gumbel-Morgenstern copula我们在上一小节中看到，copula的对称性并不一定意味着对角线是最大依赖的路径。当然，有些对称圈确实有极大依赖的对角路径。其中一个例子是a=b时已经讨论过的Marshall-Olkin连接词。另一个例子是FarlieGumbel-Mor-genstern（FGM）连接词C（u，v）=uv1 + α(1 - u） （1）- 五）为了0≤ u、 五≤ 1，参数α∈ [-1, 1].

我们选择将FGM copula包含在示例中，是因为在本文的上下文中，copula是否正象限依赖（PQD）有时很重要。特别是对于FGM copula，当α<0时，copula为负象限依赖（NQD）；当α>0时，则为PQD；当α=0时，它就是独立copula。我们将在下面的考虑中看到α符号的作用。为了找到FGM连接函数f或每个u的最大依赖性∈ [0,1]，我们首先搜索这些x∈ [u，1]来解方程(/x） C（x，u/x）=0。自从C（x，u/x）x=徐1 + α(1 - u/x）（1- 十）= uα(-1+u/x），我们有(/x） C（x，u/x）=0当且仅当x=u。在此之前，当α>0时，对角线是最大依赖的唯一路径，即φ*（u） =u。在这种情况下，最大概率为∏*（u） =u（1+α（1）- u） ），因此，最大依赖性的较低ta-il指数为κ*L=2。至于案件α≤ 0时，我们首先注意到，当α=0时，每条可容许路径都是最大依赖的。当α<0时，则C（x，u/x）达到其最大值，即uor 1或两者都达到，但函数φ（u）=uan和φ（u）=1都不可接受，因为它们都满足定义2.1.5下尾相关比较的性质（2）。我们现在看一下指数λ*L（参见等式（2.8））从不同角度。为此，我们首先注意到，对于Fr’echet上界copula C（u，v）=min{u，v}，0≤ u、 五≤ 1.最大依赖的路径是对角的。因此∏*（u|C) = 所以，给定任何copula C，指数λ*L:=λ*L（C）可以重写为λ*L（C）=limu↓0Π*（u | C）π*（u|C).这表明，给定两个copula Cand C，我们可以使用指数λ比较它们较低的尾部相关性*L（C，C）=limu↓0Π*（u | C）π*（u|C）。显然，λ*L（C）=λ*L（C，C）).定义5.1。

copula-Cis被认为比copula-Cifλ更低的尾最大依赖（L*****）*L（C，C）>1；如果λ*L（C，C）<1。可以对指数χ进行类似的解释*L:=χ*L（C），但现在使用独立copula C⊥（u，v）=紫外线，0≤ u、 五≤ 1，其中每一条可容许路径都是最大相关路径。因此，χ*L（C）=limu↓0log∏*（u|C⊥)对数∏*（u|C）- 1.通过引入指数χ，我们将该指数推广到两个任意连接的情况*L（C，C）=limu↓0log∏*（u | C）对数∏*（u|C）- 1.显然，χ*L（C）=χ*L（C，C）⊥).定义5.2。Cif比Cif更弱地依赖于copula，而Cif比Cif更弱地依赖于copula*L（C，C）>0；如果χ*L（C，C）<0。现在我们可以比较本文中考虑的所有特定连接函数，以及其他一些连接函数。在目前不太具体的情况下，假设c*（Ck）和κ*L（Ck），k=1，2，公式∏的渐近性*（u | C）=C*（C） uκ*L（C）（1+o（u））和∏*（u | C）=C*（C） uκ*L（C）（1+o（u））保持↓ 0.以下两种情况：o当κ*L（C）=κ*L（C），然后λ*L（C，C）=C*（C） C*（C） 。为了说明这一点，我们注意到经典的Marshall-Olkin copula（我们在这里用Cmo表示）和两个Marshall-Olkin copula（我们在这里用Cmixmo表示）的混合物（4.4）具有相同的κ*L指数。等式（4.2）和（4.6）表示λ*L（Cmo，Cmixmo）=2，我们将其解释为，Cmois比cmixmohenever a 6=b更具L*****。

当a=b时，我们当然有λ*L（Cmo，Cmixmo）=1因为在这种情况下，Cmixmo=Cmo当κ*L（C）6=κ*L（C），那么只有指数χ*L（C，C）是有趣的，可以用公式χ表示*L（C，C）=κ*L（C）κ*L（C）- 1.特别是，我们有χ*L（C）=χ*L（C，C）⊥) = 2/κ*L（C）- 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81UV0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81图6.1：当γ=0.04和γ=0.02时，模拟的广义Clayton copula（左）及其等高线（右），其路径为最大依赖性（ψ*（u） ，u/~n*（u） ）0≤U≤1施加在钻机ht手动面板上。6进一步的例子对于迄今为止所有的连接函数，我们已经导出了它们最大依赖路径的闭式表达式。正如我们用以下例子说明的那样，情况可能并非总是如此；然而，我们将能够推导出指数κ的闭式表达式*L.6.1广义Clayton copula广义Clayton copula由公式C（u，v）=uγ/~γ（u）给出-1/~γ+v-1/γ- 1)-0的γ≤ u、 五≤ 1，其中γ>0和γ≥ 0是参数，ndγ=γ+γ。我们已归入附录A的繁琐计算表明，最大依赖函数*（图6.1）是唯一的，并且满足方程ζ（ν*（u） ）=0（6.1）每0≤ U≤ 1，式中ζ（x）=x-1/γ十、-1/~γ- (γ/~γ)- (1 - （γ/~γ））u-所有x的2/γ∈ [u，1]。进一步繁琐的计算（附录A）表明，最大相关性的较低尾指数为κ*L=1+γ+2γ。（6.2）6.2阿基米德copulaC（u，v）=ψ提供了另一个例子，说明了导出最大依赖路径的闭式表达式的困难-1（ψ（u）+ψ（v））表示0≤ u、 五≤ 1，（6.3）式中ψ：[0，1]→ [0, ∞] 使得ψ（1）=0，ψ′（u）<0，对于所有0<u<1，ψ′（u）>0。假设阿基米德生成器ψ是严格的，即ψ（u）→ ∞ 当你↓ 0，因为只有在这种情况下，我们才能有一条最大依赖的路径。

每一个你∈ [0,1]，以确定x∈ [u，1]对于该方程(/x） C（x，u/x）=0成立，我们注意到当函数xψ′（x）在[u，1]上增加时，我们从现在开始假设xψ′（x）- （u/x）ψ′（u/x）=< 当x<u/x时为0，当x>u/x时为>0。因此，ψ（x）+ψ（u/x）≥ 2ψ（u）表示所有x∈ [u，1]或，等价地，ψ-1（ψ（x）+ψ（u/x））≤ ψ-1（2ψ（u））。因此，当函数xψ′（x）在[u，1]上增加时，对角线是一个极大依赖关系。在这种情况下，阿基米德copula是PQD。我们观察到，Nelsen（2006）记录的所有PQD阿基米德连接函数都具有递增函数xψ′（x）。7总结说明我们已经证明，基于连接函数沿对角线路径的行为的尾部依赖性的经典指数通常不会捕捉尾部依赖性的最大程度。基于这个原因，我们提出了基于我们在本文中引入的最大相关路径的新概念的尾相关守恒指数。我们使用了一些特定的连接词，以及一个数字样本，从分析和数字两方面阐明了相关的主要观点。我们评估copulas尾部依赖性的方法符合现代定量风险管理中普鲁登塞因的新准则（参见ORSA，2014）。这一地区仍然存在一些令人头痛的公关问题。例如，指数的统计推断将是有意义的，我们相信在fM估计和相关弱收敛定理领域开发的工具将是有帮助的（参见，例如，van derVaart and Wellner，1996；van de Geer，2009；以及其中的参考文献）。

她感兴趣的另一个问题是探索最大依赖路径的唯一性和其他属性，我们认为达尔玛迪卡里和约格·德夫（1987）讨论的结果将特别有用。Acknowl Edgments感谢两位匿名推荐人的建设性批评、建议和引发问题的想法，以及Paul Embrechts教授和ETH金融和保险数学系列讲座的所有参与者的反馈和意见。我们的研究得到了加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）的支持。苏健熙还感谢安大略省ZF通过其安大略省研究生奖学金项目提供的财政支持。我们享受了在约克大学和安大略省西部大学的工作访问，我们感谢这两个机构提供的备受赞赏的研究环境和热情好客。参考ASIMIT，A.V.和Badesc u，A.L.（2010）关于时间相关风险模型中贴现总索赔的摘要。斯堪的纳维亚精算杂志2010年，93-104页。Asimit，A.V.，Furman，E.和Vernic，R.（2010）关于多元帕累托分布。保险：数学与经济学46（2），308-316。Asimit，A.V.，Furman，E.，Tang，Q.和Vernic，R.（2011）基于条件尾部预期的风险资本配置的渐近性。保险：数学与经济学49310–324。Asimit，A.V.和Jones，B.L.（2008）大索赔保险的依赖性和渐近行为。保险：数学与经济学43407–411。Balakrishnan，N.和Lai，C.D.（2009）连续二元分布。（第二版）斯普林格。纽约Biener，C.和Eling，M.（2012）《小额保险市场的可保性：问题分析和潜在解决方案》。日内瓦文件37、7-107。丘吉尔，C.和马图尔，M。

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