最大尾依赖的路径和指标

结合语句（A.1）和（A.2），我们得到方程Maxx∈[u，1]C（x，u/x）=C（x，u/x），（A.3），这意味着x必须等于φ*（u） 因为最大值的唯一性。我们已经达成了一个相反的协议，它确立了的连续性*并完成定理2.3的证明。在剩下的证明中，尽管可能没有明确提到，但u和vare总是在区间[0,1]内，x总是在区间[u,1]内。方程（4.5）和（4.7）的证明。在不丧失一般性的情况下，设a<b。那么xa，b=u2b/（a+b）小于xb，a=u2a/（a+b），因此这两个函数x7→ Ca，b（x，u/x）和x7→ Cb，a（x，u/x）在区间（u，xa，b）上增加，在区间（xb，a，1）上减少。因此，函数的最大值为x7→ C（x，u/x）只能在区间[xa，b，xb，a]上实现，这里有公式C（x，u/x）=u2（1）-a） xa+u/xa.[xa，sub]区间[xa，sub]我们把区间分成两个[xb，xb]区间→C（x，u/x）在减小，[u，xb，a]在函数增加的地方。由此我们得出结论，函数x7→ C（x，u/x）只能在xa，band/orxb，a处达到最大值，并且在两个端点处达到相同的值。因此，两个端点都是最大值，因此定义了两个最大相关函数，即*以及*由公式（4.5）给出。对于这两种功能中的任何一种，则*k、 我们有*k（u），u/~n*k（u））=u2-2（a）∧b） /（a+b）+u2-2ab/（a+b）.κ=2时- 2ab/（a+b）我们检查∏*（u） uκ=C（ψ）*k（u），u/~n*k（u））uκ→当你↓ 因此，最大依赖性κ的尾部指数较低*Lis等于κ。这就结束了等式（4.5）和（4.7）的证明。方程（6.1）和（6.2）的证明。我们从方程c（x，u/x）=xγ/～γ（x）开始-1/~γ+u-2/γx1/γ- 1)-γ.

（A.4）求C（x，u/x）相对于x的最大值∈ [u，1]与求对数对数C（x，u/x）的最大值相同，在这种特殊情况下更容易。我们有xlog（C（x，u/x））=x-1/~γ+ ((γ/~γ) - 1） （u/x）-1/γ- （γ/～γ）x（x）-1/～γ+（u/x）-1/γ- 1).分母rx（x-1/～γ+（u/x）-1/γ- 1） 对所有x都是正的∈ [u，1]，因此我们需要找到x∈ [u，1]使分子等于0。这相当于求解方程ζ（x）=0。这个方程的解是唯一的，因为ζ（u）=u-2/γ（u）-2/~γ- 1) > 0,ζ(1) = (1 - (γ/~γ)) - (1 - （γ/~γ））u-2/~γ<0，且对于所有x∈ [u，1]，ζ′（x）=-γx-1/~γ-1/γ-1.-γ~γγ十、-1/~γ-1/γ-1.- 十、-1/γ-1.< 0.我们无法推导出方程ζ（x）=0的闭式解，但我们已经知道解x=ν*（u）∈ [u，1]存在并且是唯一的。此外，解满足方程X-1/~γ-1/γ1.- （γ/~γ）x1/~γ= (1 - （γ/~γ））u-2/γ. （A.5）我们还有1- （γ/~γ）x1/~γ∈ [1 - (γ/~γ), 1]. 根据这些事实，我们得出以下结论：X=а*（u）↓ 0当你↓ 0.由于最大依赖函数缺少闭式表达式，我们无法得到最大概率∏的闭式表达式*（u） 也不是。然而，我们可以获得κ的封闭表达*L.从方程式（A.5）开始，我们从下一个方程式开始：x=u2/γ1.- （γ/~γ）x1/~γ.(1 - (γ/~γ))~γγ/(~γ+γ). （A.6）表示r（x）=1.- （γ/~γ）x1/~γ/ (1 - (γ/~γ)). 用方程（A.6）的右侧替换方程（A.4）右侧的所有x，我们得到C（x，u/x）=u2/γr（x）~γγ/（~γ+γ）=u2γ~-γ+γr（x）γ~-γ+γr（x）-γ-γ+γu-~γ+γ+r（x）~γ/γγ+γu-~γ+γ- 1.-γ.因此，对于κ=1+γ/（～γ+γ），我们有c（x，u/x）uκ=r（x）γγ～γ+γr（x）-γγ+γ+r（x）γ/γγ+γ- u~γ+γ-γ→ C∈ (0 , ∞)当你↓ 0.这证明了最大依赖κ的尾部指数较低*Lis等于κ。方程（6.1）和（6.2）的证明已经完成。