利率模型与惠特克函数

对应的PDE有以下表格（49）（βr/2）Prr+（αr+γr）Pr- rP=Pτ，P（0，τ）=1，P(+∞, τ ) = 0.P（r，τ）=1。解P（r，t）表示为以下结构，并进行拉普拉斯变换（请注意，变量z的这种变化不适用于康斯坦丁尼德斯-英格索尔模型；如果我们将一阶导数的系数设为零，则会出现这种结构）。（50）P（r，t）=zλez/2Z（z，τ），z=2γβr，τ=t-t、 Z（Z，τ）；G（z，η）。因此，问题（52）被简化为惠特克方程（51）的非齐次边界问题G+G- 1/4+～λ/z+（1/4-u）/z= Z-λ-1e-z/2/γ，ez/2zλG→ 0，z→ 0，ez/2zλG→ 2γ/β，z→ +∞.式中（52）~λ=-λ - η/γ，u=p1/4+2/β+α/β- α/β.利率模型和惠特克函数11与康斯坦丁尼德斯-英格索尔模型相反，线性独立的函数是惠特克函数W)λ，u（z）和M)λ，u（z）。

使用这些函数的渐近和Wronskiano（见附录C），解为g（z，η）=γΓ（1/2+u）-~λ)Γ(1 + 2u)Mλ，u（z）zZφ-λ-1e-φ/2W∧，u（φ）dφ++W∧，u（z）+∞Zzφ-λ-1e-φ/2Mλ，u（φ）dφ.（53）在修正贝塞尔函数和惠特克函数之间使用以下关系（类似于公式（38））+∞泽-（a+a）t cosh（x）/2科思十、2νI2u（t√aasinh x）dx==Γ（1/2+u）- ν） t√aaΓ（1+2u）Wν，u（at）Mν，u（at），<（1/2+u）- ν） >0，<u>0，a>a.（54）给出了二重积分表示（55）G（z，η）=√zγ+∞Z+∞Zφ-λ-1/2e-φ/2-（z+φ）coshζ/2coth（ζ/2）λI2u（pzφsinhζ）dζdφ。由于这种关系，它可以简化为一个积分表达式+∞Zxu-1/2e-αxI2ν（2β）√x） dx=Γ（u+ν+1/2）βΓ（2ν+1）e-β/2αα-uM-u,ν(β/α),<(u + ν + 1/2) > 0.（56）最终函数G表示为（57）G（z，η）=2e-z/2γΓ（3/2- α/β+ u)Γ(2u + 1)+∞泽-z sinhζ/2cothλζsinhζcosh1-2λζMλ，u（z sinhζ）dζ。让我们表示（58）ln tanhζ=ψ，2dζsinhζcoshζ=dψ，sinhζ=eψ1- eψ，coshζ=1- eψ。这就产生了（59）G（z，η）=e-z/2γΓ（3/2- α/β+u）Γ（2u+1）Z-∞E-zeψ/2（1）-eψ）e-ψ~λ(1 - eψ）λMλ，uzeψ1- eψdψ.12 d.MURAVEYThen拉普拉斯逆变换由公式z（z，τ）=e给出-z/2Γ（1/2- λ+u）γΓ（2u+1）×2πiN+i∞锌-我∞Z-∞eψη/γ+τηe-zeψ/2（1）-eψ）eψ1- eψλMλ，uzeψ1- eψdηdψ。（60）基于狄拉克δ函数（61）2πiN+i的性质∞锌-我∞eψη/γ+τηdη=δ（ψ/γ+τ），Z-∞δ（ψ/γ+τ）H（ψ）dψ=γH(-τγ）反演得到（62）Z（Z，τ）=e-z/2Γ（1/2- λ+u）Γ（2u+1）e-泽-τ γ/2(1-E-τ γ)E-τγ1 - E-τγλMλ，u泽-τγ1 - E-τγ.键值P（r，t）等于（63）P（r，t）=Γ（1/2）- λ+u）Γ（2u+1）exp-βx（r，t）βx（r，t）λMλ，uβx（r，t）,式中（64）x（r，t）=r（1）- E-γ（T）-t） ）γe-γ（T）-t） ，limγ→0x（r，t）=r（t- t） 。康斯坦丁尼德斯-英格索尔模型中的键值可以用极限形式得到。我还要提到变量x（r，t）可以直接用于不等式（52）。它还将PDE问题转化为第2.3.5节手册中的ODE问题。

考克斯·英格索尔·罗斯模型5。1.PDE定义和拉普拉斯变换。最初的CIR模型有这个基本问题（65）（βr/2）Prr+αr+β公共关系- rP=Pτ，P（r，0）=1，P（0，τ）=1，P(+∞, τ ) = 0.与上一节类似，该解也可以表示为惠特克函数（66）P（r，τ）=exp-αzpα+2βZ-γ/βZ（Z，τ），Z（Z，τ）；G（z，η），z=2rpα+2ββ。(67)G+G- 1/4+～λ/z+（1/4-u）/z= -σzγ/β-1eασz/2，e-ασz/2z-γ/βG→ σ/η，z→ 0，e-ασz/2z-γ/βG→ 0，z→ +∞.利率模型和惠特克函数13，其中常数表示为（68）σ=1/pα+2β，u=γ/β- 1/2,~λ = -σ(αγ/β+ η).非齐次边值问题的解是g（z，η）=σΓ（1/2+u）-~λ)Γ(1 + 2u)M∧，u（z）zZφγ/β-1eα∑φ/2Wλ，u（φ）dφ++Wλ，u（z）+∞Zzφγ/β-1eασφ/2Mλ，u（φ）dφ.（69）以下变换类似于几何情况（使用公式（57）和（59））G（z，η）=σ√z+∞Z+∞Zφγ/β-1/2exp-z coshζ-φ（coshζ）- ασ)××科思＠λζI2u（pzφsinhζ）dφdζ，（70）G（z，η）=2σ+∞Zexp-z余弦ζ+z正弦ζ4（余弦ζ- ασ)coshζ- ασ-γ/β×sinh-1（ζ）coth∧ζM-γ/β,uz sinhζ2（coshζ- ασ)dζ。（71）惠特克函数Mλ，u有一个简单的特例Mk，-K-1/2（z）=ez/2z-k（见附录C）。这就给出了（72）G（z，η）=2σzγ/βeασz/2+∞Zexp(ασ- 1） z2（coshζ）- ασ)信义-1（ζ）coth∧ζsinhζcoshζ- ασ2γ/βdζ。变量的变化也给出了δ函数表示（73）ln tanhζ= ψ、 2dζsinhζ=dψ，sinhζ=2eψ/21- eψ，coshζ-ασ=（1+ασ）eψ- ασ + 11 - eψ。那么键值等于（T-t=τ）（74）P（r，t）=2e-τ/2σ（1+ασ）e-τ/σ- ασ + 12γ/βexp-ατβ+(ασ- 1)(1 - E-τ/σ）rβσ（1+ασ）e-τ/σ- ασ + 1.5.2. 拉盖尔多项式展开式。这个问题的另一种方法是拉盖尔多项式展开。原始偏微分方程问题（68）的解可以用级数表示法（75）P（r，t）找到=+∞Xk=0CkGk（r）e-λkτ，（βr/2）Gk+（αr+γ）Gk- rG=0.14 D。

Muraveyth最后一个方程可以简化为方程（76）xu+（α*- 它的解是广义拉盖尔多项式Lα*n（x）（见附录C）。利用边界条件和广义拉盖尔多项式的正交性，可以确定常数。由此产生的级数是拉盖尔多项式的特征函数（见附录C）。[2].5.3中考虑了这种方法。双拉普拉斯变换法。最初的偏微分方程问题可以简化为一阶常微分方程。为此，使用了空间变量r和时间变量下的拉普拉斯变换。P（r，τ）；Q（Q，τ），Pr；qQ（q，τ）- P（0，τ），rP（q，τ）；-Qq（q，τ），rPr；- qQq（q，τ）- Q（Q，τ），rPrr；-qQq（q，τ）- 2qQ（q，τ），q（q，τ）；W（q，η）。（77）这将我们的问题归结为一阶偏微分方程。(78)（γq/2）- βq+1）Wq+（γq- αq+β+η）W=1-α、 Q（0）=0，Q(+∞) = 1/η.但由于这些原因，反演过程非常复杂：首先，双拉普拉斯变换的图像是两个复变量的函数，其次，该函数具有不完全β和γ特殊函数的乘法结构。然而，对于整数η（即离散谱），简化是必要的：这些特殊函数被简化为多项式。这导致了空间变量在级数表示下的拉普拉斯变换（79）。它还将原始问题简化为一阶微分方程的有限系统。让我提一下，方程（87）中空间变量下的拉普拉斯变换是确定其拉盖尔多项式结构的方法之一。6.

关于君士坦丁堡-英格索尔模型的一个修改，该模型也适用于惠塔克函数框架（79）dr（t）=αrdt+βrdWt。对应的边界问题是（80）（βr/2）Prr+αrPr- rP=Pτ，P（r，0）=1，P（0，τ）=1，P(+∞, τ ) = 0.它的解是：P（r，t）=Γ（1+1/α）e-αr/βW-1/α，1/2（2αr/β）+√√R√αβ√ππ××+∞Z+∞Z（θ）- 1)1/α-1sinh（πpξ）- 1/2）e-αrθ/β-β（T-t） ξ/8Ki√ξ-1/2（αrθ/β）ξθ2/αdξdθ。（81）利率模型和惠特克函数15参考文献[1]Abramowitz M.，Stegun I.，数学函数手册，包括公式、图表和数学表格。1965年（纽约：多佛）。[2] Buttler H.J.（1996），通过格林函数数学为可赎回债券定价。《金融》，第6期，第53-88页，1996年。[3] Cox J.C.，期权定价注释I:方差差异的恒定弹性，工作论文，斯坦福大学，1975[4]Cox，J.C.，和S.A.Ross，替代随机过程的期权估值，金融经济学J.3，第145-661976[5]页Cox J.C.，J.E.Ingersoll和S.A.Ross，可变利率贷款合同分析J.ofFinance 35，第389-403页。1980年[6]康斯坦丁尼德斯G.，英格索尔J.，个人所得税最优债券交易J.财政部。经济。，第299-3351984页（北荷兰）。[7] 《利率期限结构理论经济计量》53，第385-407页。[8] Dothan U.L.，1978年，《利率期限结构》，财政部J。经济部。6，第59-69页。[9] Gradshteyn I.S.，Ryzhik I.M.，积分表，系列和产品。1994年（学术出版社）。[10] Ho T.，Lee S.B.，期限结构变动和利率或有权益定价，J.ofFinance 411986，第1011-1029/[11]页，Hull J.，White A.，“利率衍生证券定价”，财务报告回顾。《研究》，第3卷，第4期，1990年，第573-592页[12]马什，T.A.，和E.R.罗森菲尔德，1983，“利率和均衡债券价格的随机过程”，J。

《金融学》第38卷，第635-46页。[13] Muravey D.，Black-Scholes框架下亚洲期权的价值，AdvancedFinance and Stochastics，莫斯科，6月27日。2013年，第67-69页。[14] Nikiforov A.F.，Uvarov V.，《数学物理的特殊函数：应用的统一介绍》。1988年（波士顿Birkhauser）。[15] Titchmarsh E.与二阶微分方程相关的本征函数展开式。第一部分。1962年（第2版，牛津）[16]瓦西塞克，O.，金融经济学术语结构期刊5的均衡描述，第177-88页。1977年[17]Whittaker E.T.（1904），“某些已知函数作为广义超几何函数的表达式”，A.M.S.公告10:125-134附录A。超几何方程的解根据[14]超几何方程定义为（82）σ（x）y+τ（x）y+ωy=0，其中σ（x）是二阶多项式，τ（x）是一阶多项式。该方程的任何解都可以表示为复平面（83）y（x）=Cνρ（x）ZCσν（s）ρ（s）（s）上的积分- x） ν+1dsw其中Cν是常数，ρ（x）和ν满足以下条件（84）（σρ）=τρ，ω=-ντ-ν（ν）- 1)σ.积分路径由这些限制（85）σν+1（s）ρ（s）（s）设定- x） ν+2ss=016 D.Muravey道路两端有沙子，（86）dkdxkZCσν（s）ρ（s）（s）- x） ν+1ds= (ν + 1)...（ν+k）ZCσν（s）ρ（s）（s）- x） ν+1ds，k=1,2。这个结果推广了Rodrigues公式[14]，用于具有整数ω（即正交多项式）的超几何常微分方程解。该公式在方程（15）中的应用由以下公式给出：（87）σ（x）=βx，τ（x）=αx-1, ω = -1.ρ的常微分方程和ν的代数方程的解是（88）ρρ=2（α）-β） βx-βx<==> ρ（x）=x（2α-2β）/βe2/βx，（89）βν-β- αν - 1 = 0 <==> ν1,2=-αβ±s+β-αβ+αβ.整合路径的末端定义为s=-∞ s=0。

那么方程（15）的解可以表示为有限积分（90）F（x）=x2-2α/βe-2/βxZ-∞s2ν+2α/β-2e2/βs（s）- 十）-（1+ν）dsor（91）F（x）=x2-2α/βe-2/βx+∞Zs2ν+2α/β-2e-2/βs（s+x）-（1+ν）ds。这个积分是众所周知的[9]+∞Zs2ν+2α/β-2e-2/βs（s+x）-（1+ν）ds==βν+α/β-1x(-1+α/β)Γ(2 - ν - 2α/β）e1/βxW-1+α/β,-ν-α/β+1/2βx.（92）基于Mλ之间的线性关系，-（15）的溶液可以定义为：（93）F（x）=x1-α/βe-1/βxM(-1+α/β),-ν-α/β+1/2βx= 十、-λe-1/βxMλ，±uβx.附录B.时间相关系数模型：Ho-Lee和Hull-White模型Ho-Lee模型和Hull-White模型分别于1986年和1988年引入，与之前的所有模型相反，它们具有时间相关系数。考虑Ho-Lee模型：（94）dr（t）=α（t）dt+γ（t）dWt。利率模型和惠特克函数17相应的边界问题具有时间相关系数（95）γ（τ）Prr+α（τ）Pr- rP=Pτ，P（r，0）=1，P（0，τ）=1，P(+∞, τ ) = 0.拉普拉斯变换按照第5.3小节的方式进行，它也给出了一阶PDE:（96）Qq- Qτ+Q（γ（τ）Q+α（τ）Q）=-α（τ），Q（Q，0）=1，Q（0，τ）=0，Q(+∞, τ) = 1.解的结构可用Q（Q，τ）=eg（Q，τ）表示。g的齐次方程是（97）gq- gτ=γ（τ）q+α（τ）q。为了解决这个问题，另一个拉普拉斯变换g（q，τ）；使用H（H，τ）。方程（C9）转化为（98）Hτ- hH=2γ（τ）/h+α（τ）/h。之后，非齐次偏微分方程的解可以在表示式Q=C（Q，τ）eg（Q，τ）中找到（这类似于常微分方程问题）。函数C（q，τ）是方程的解，也可以用拉普拉斯变换技术求解。（99）Cq- Cτ=-α（τ）/eg（q，τ）。船体内-白色模型（100）dr（t）=α（t）+β（t）r（t）dt+γ（t）dWt。该方法的所有步骤都是完全类比的。然而，相应的一阶偏微分方程更为强大，但该方案中没有任何主要问题。附录C。

贝塞尔和惠特克函数的必要事实。1.贝塞尔函数。C.1.1。定义。贝塞尔函数Jν（z）和修正贝塞尔函数Iν（z）可定义为该常微分方程（该常微分方程形成亥姆霍兹方程）的解U（x，y）+λU（x，y）=0（在半径/角度分解中）：Z+zZ+1.-νzZ=0，Z+zZ+1.-νzZ=0。这些方程的另一个线性独立解分别是Neumann函数nν（z）和McDonald函数Kν（z）。这些函数之间的关系由以下公式给出：Nν（z）=sinνπcosνπJν（z）-J-ν（z）, Kν（z）=π2 sinνπ我-ν（z）-Iν（z）, ν6=Z.Iν（Z）=e-πνi/2Jν（eπi/2z）[-π/2<arg z<=π/2]，Jν（z）=e3πνi/2Iν（e）-3πi/2z），[π/2<arg z<=π].18D.穆拉维耶克。1.2. 级数和积分表示。1.Jν（z）=+∞Xk=0(-1） kk！Γ（ν+k+1）Zν+2k，Iν（z）=+∞Xk=0k！Γ（ν+k+1）Zν+2k，2。Jν（z）=π+∞Zsinz cosh t-νπcoshνtdt，Kν（z）=+∞泽-z cosh tcoshνtdt。C.1.3。沃伦斯基人。W ronskian[Jν（z），Nν（z）]=πz，W ronskian[Iν（z），Kν（z）]=-z、 C.1.4。渐近展开。1.Kν（z）~π2ν-1sinνπΓ（1）- ν） zν，Iν（z）~zν2νΓ（1+v），z→ 0,2. Kν（z）~rπ2ze-z、 Iν（z）~r2πzez，z→ +∞.C.1.5。分析延续。1.Jν（emπiz）=emνπiJν（z），Iν（emπiz）=emνπiIν（z），2。Kν（z）=e-mνπiKν（z）-iπsin mνπsinνπiν（z），ν6=z.C.2。惠特克函数。C.2.1。定义。惠特克函数Mλ，u（z），Mλ，-u（z），Wλ，u（z），W-λ,u(-z） ，是这个ODEG的解决方案+-+λz+1/4- uz= 0.这些函数与反超几何函数Φ（α，β，γ）：1有关。Mλ，u（z）=zu+1/2ez/2Φ（u- λ+1/2，2u+1，z），2。Wλ，u（z）=Γ(-2u)Γ(1/2 - u - λ） Mλ，u（z）+Γ（2u）Γ（1/2+u）- λ） Mλ，-u（z）。C.2.2。积分表示法。1.Mλ，u（z）=zu+1/22uB（u+λ+1/2，u- λ+1/2）Z-1（1+t）u-λ-1/2（1+t）u+λ-1/2ezt/2dt，2。Wλ，u（z）=zu+1/2e-z/2Γ（u）- λ + 1/2)+∞Ztu-λ-1/2e-t（1+t/z）u+λ-1/2吨。其中B（x，y）是欧拉贝塔函数。C.2.3。

沃伦斯基人。W朗斯基安Mλ，u（z），Mλ，-u（z）= -2u，W ronskianMλ，u（z），Wλ，u（z）= -Γ(1 + 2u)Γ(1/2 + u - λ.利率模型和惠特克函数19C。2.4. 渐进的。1.Mλ，u（z）~ zu+1/2（1+O（z）），2。Wλ，u（z）=Γ（2u）Γ（1/2+u）- λ） z1/2-u+Γ(-2u)Γ(1/2 + u - λ） z1/2+u+Oz3/2-<u, Z→ 0,3. Mλ，u（z）~Γ(1 + 2u)Γ(1/2 + u - λ） z-λez/2，Wλ，u（z）~ E-z/2zλ，z→ +∞.C.2.5。与其他功能的关系。1.Wn+u+1/2，u（z）=(-1） n（2u+1）nMn+u+1/2，u（z）=(-1） nn！zu+1/2e-z/2L2un（z），2。Mλ，λ-1/2（z）=Wλ，λ-1/2（z）=Wλ，-λ-1/2（z）=e-z/2zλ，Mλ，-λ-1/2（z）=ez/2z-λ.3. M0，u（z）=22uΓ（u+1）√子uZ, W0，u（z）=rzπKuZ,4.M-1/4,1/4（z）=ez/2√πzerf（z），W-1/4，±1/4（z）=ez/2√πzerfc（z），5。W1/4+p/2，-1/4（z/2）=2-1/4-p/2Dp（z）。其中，Lunis广义拉盖尔多项式、erf（z）和erfc（z）是误差函数，而Dp（z）是抛物柱面函数。C.2.6。拉盖尔多项式。Lα*n（x）=n！十、-α*dndxn（e）-xxn+α*),+∞Xn=0Lα*n（x）zn=（1）-z）-α-1expxzz- 1., |z |<1。。俄罗斯莫斯科奥尔忠尼启则12号GEOLAB LLC电子邮件地址：d。muravey@mail.ru