利率模型与惠特克函数

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英文标题：
《Interest rate models and Whittaker functions》
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作者：
Dmitry Muravey
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  I present the technique which can analyse some interest rate models: Constantinides-Ingersoll, CIR-model, geometric CIR and Geometric Brownian Motion. All these models have the unified structure of Whittaker function. The main focus of this text is closed-form solutions of the zero-coupon bond value in these models. In text I emphasize the specific details of mathematical methods of their determination such as Laplace transform and hypergeometric functions.
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中文摘要：
本文介绍了分析一些利率模型的技术：康斯坦丁尼德斯-英格索尔模型、CIR模型、几何CIR和几何布朗运动。所有这些模型都具有统一的Whittaker函数结构。本文的重点是这些模型中零息票债券价值的闭式解。在文本中，我强调了确定它们的数学方法的具体细节，如拉普拉斯变换和超几何函数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：利率模型 Mathematical Quantitative mathematica QUANTITATIV

利率模型和惠特克函数Mitry MURAVEYAbstract。本文介绍了分析一些利率模型的技术：康斯坦丁尼德斯-英格索尔模型、CIR模型、几何CIR和几何布朗运动。所有这些模型都具有Whittaker函数的统一结构。本文的重点是这些模型中零耦合键值的闭式解。在本文中，我强调了其确定的数学方法的具体细节，如拉普拉斯变换和超几何函数。1.导言和总结本论文的动机是模拟一类模型的结果。a ffine理论的主要优点是，对于包括Vasicek、Ho Lee、Hull White（所谓的扩展Vasicek模型）和Cox-Ingersoll-Ross模型在内的模型的完全组合，其解的显式形式是明确的。尽管指数表示法不适用于君士坦丁尼德斯·英格索尔、几何CIR、Dothan、Brennan和Schwartz、Black Karasinski等。但对于这些模型的子集，我们可以获得可以用Whittaker方程描述的统一结构。这在金融数学中并不罕见，例如，亚式期权价值可以用它来表示[13]。这首颂歌的第一次引入是在[17]年。这个方程的应用来自物理学，它是带有莫尔斯势的薛定谔方程，它描述了氢原子。在数学领域，它是Rhieman微分方程[1]的极限形式。此外，这个方程可以用本征函数展开理论来描述[15]。它的一个解决方案是Whittaker函数，它与其他特殊函数有着更密切的关系，如反超几何函数、Kummer函数、Besself函数、误差函数、抛物线柱面函数等。

尽管有非常复杂的分析结构（Whittaker函数没有统一的级数或整体表示），但它知道渐近、解析延拓定律，并与不太复杂的函数有很多关系。基于这些事实，我使用了在所有调查模型中都相似的统一技术。步骤如下：首先，我使用Feynman-Kac公式确定PDE边界问题，然后进行拉普拉斯变换，求解相应的非齐次边界问题并进行反演。这种方法在到期日为T的零息票债券价值上得到了证明，可以定义为以下期望：（1）P（r，T）=E经验-TZtr（ξ）dξ.2D.穆拉维和利率r（t）由SDE建模：君士坦丁堡- 英格索尔模型。dr（t）=αr（t）dt+βr3/2（t）dWt，几何布朗运动。dr（t）=αr（t）dt+βr（t）dWt，几何CIR过程。dr（t）=（αr（t）+γr（t））dt+βr3/2（t）dWt，原始CIR过程。dr（t）=（αr（t）+γ）dt+βr1/2（t）dWt，（2）其中wt是标准的维纳过程。在使用Feynman-Kac公式后，我们得到了具有可变但与时间无关系数的抛物型偏微分方程的边界问题。与常数系数（如Black-Scholes方程）相反，基本解（也称为格林函数）的构造并不明显，一般情况下，它没有封闭形式的表达式。然而，如果系数具有特殊的多项式结构，则可以构造格林函数。我们可以遵循以下方案：在初始条件下设置狄拉克三角函数，进行拉普拉斯变换，求解相应的方程并进行反演。得到的函数是问题的格林函数，因此原问题的解可以表示为初始函数的卷积。因此，主要的问题是如何解决相应的颂歌。

在一般情况下，它没有封闭形式的解，但在模型1和2中，对应的ODE可以简化为贝塞尔方程，它是Whittaker方程的特例，在模型3和4中，对应的ODE可以简化为原始Whittaker方程[1]，[14]。对于公式简化，边界问题直接求解，无需构造基本解。这样，就有几个技术复杂的矩：Laplace变换的非齐次解和反演，包括分支点和剩余Bessel和Whittaker函数。本文遵循这样的结构：第2、3、4和5节分别介绍了康斯坦丁-辛格索尔、几何布朗运动、几何CIR和原始CIR模型。每个部分都包含PDE问题定义和正/逆转换描述。附录A包含超几何方程的一种方法。在附录B中，我概述了拉普拉斯变换方法在时间相关的a ffine模型（Ho Lee和Hull White）中的主要步骤。为了便于阅读，附录C包含了关于贝塞兰-惠特克函数的必要事实。2.康斯坦丁尼德斯-英格索尔模型2。1.PDE定义。这个模型是在[6]中引入的，它包括税收的存在。键值P（r，t）=P（r，τ），其中t- t=τ是这个偏微分方程边值问题（3）的解（βr/2）Prr+αrPr- rP=Pτ，P（r，0）=1，P（0，τ）=1，P(+∞, τ ) = 0.2.2. 拉普拉斯变换和贝塞尔方程的联系。

一开始，一个新变量表示为：（4）y=1/√r、 P（r，τ）=Y（Y，τ），Pr=--Yy2r√r、 Prr=Yyy4r+3Yy4r√r、 利率模型和惠特克函数3将方程（3）转化为（5）βY yy+3β- 4α8yYy-yY=Yτ。表示式Y（Y，τ）=1+y2λ+1W（Y，τ）用于建立零边界和零初始条件（6）y+y/y- 4uW/y=8Wτ/β+8y(-3.-2λ）/β，W（y，0）=W（0，τ）=W(+∞, τ ) = 0.方程式（6）中的常数由（7）λ=-1+α/β，u=p1/4+2/β+α/β- α/β, σ = 2√2/β.正拉普拉斯变换和逆拉普拉斯变换由公式（8）定义，最后一个等式是运算演算的符号（变换的源和图像之间的关系）V（y，η）=+∞ZW（y，τ）e-ητdτ，W（y，τ）=2πiN+i∞锌-我∞V（y，η）eητdη，W（y，τ）；V（y，η）。（8） 拉普拉斯变换的图像是这种非齐次常微分方程，边界条件为零：（9）V+V/y- 4微伏/年- σηV=σy(-3.-2λ）/η，V（0）=V(+∞) = 0.变量ξ=σy的变化√η将方程（9）转化为非齐次贝塞尔方程[1]（10）V+V/ξ-（1+4u/ξ）V=σ3+2ληλ-1/2ξ-3.-2λ，V（0）=V(+∞) = 0.齐次方程的解是修正后的自函数K2u（ξ）和I2u（ξ）的线性组合（更多细节见附录C），问题（10）的解由表示式（11）V（ξ）=σ3+2ληλ给出-1/2K2u（ξ）ξZφ-2（1+λ）I2u（φ）dφ+I2u（ξ）+∞Zξφ-2（1+λ）K2u（φ）dφ,形式上，方程（10）的解由齐次解和带右手边函数的解之和表示。很容易证明齐次解分支等于零（基于修改的贝塞尔函数符号，见附录C）。4 D.MURAVEYFigure 1。康斯坦丁尼德斯-英格索尔模型中的集成回路2。3.拉普拉斯变换反演：残差和分支点。

让我们详细考虑由公式（8）W（y，τ）=2πin+i定义的反演过程∞锌-我∞σ3+2λη1/2-λK2u（σ）√ηy）σy√ηZφ-2（1+λ）I2u（φ）dφ++σ3+2λη1/2-λI2u（σ√ηy）+∞Zσy√ηφ-2（1+λ）K2u（φ）dφeητdη。（12） 变量ξ也可用作积分变量。它转换积分（N）的路径- 我∞, N+i∞) 曲线Lξ（见图1）。（13） W（y，τ）=2πiZLξ2σy-2λ-1ψ（ξ）ξexpξτσydξ。利率模型和惠特克函数，其中（14）ψ（ξ）=ξ2（λ+1）Ku（ξ）ξZφ-2（1+λ）I2u（φ）dφ+I2u（ξ）+∞Zξφ-2（1+λ）K2u（φ）dφ.循环L=Lξ+L++L上的复积分-+ L++L-+ L等于零：（15）ZL2σy-2λ-1ψ（ξ）ξexpξτσydξ=0。路径L++L上的积分-在Jordan引理下收敛到零。L上的积分得到零点上剩余的一半，等于（16）Res2σy-2λ-1ψ（ξ）ξexpξτσy, ξ = 0= σy-2λ-1limξ→0ψ（ξ）ξ=y-2λ-1.残留物测定基于修正贝塞尔函数（见附录C）和L’Hopital规则。因此函数W（y，τ）的形式为（17）W（y，τ）=-2πiZL-+L+2σy-2λ-1ψ（ξ）ξexpξτσydξ-Y-2λ-1.在小路上-变量ξ=-L+上的iθ设为ξ=iθ。这就产生了（18）W（y，τ）=σy-2λ-1π+∞Zψ（iθ）+ψ(-iθ）θexp-θτσydθ- Y-2λ-1.被积函数ψ（ζ）具有这个性质（证明基于解析延拓定律，见附录C）（19）ψ（eπi/2θ）+ψ（e-πi/2θ）=πθ2（λ+1）J2u（θ）+∞Zφ-2（1+λ）J2u（φ）dφ，其中Jν（z）是贝塞尔函数[1]。然后使用著名的积分[9]：（20）+∞ZxuJν（ax）dx=2ua-u-1Γ(1/2 + ν/2 + u/2)Γ(1/2 + ν/2 - u/2), -<ν - 1<u<1/2，a>0。返回原始变量给出了键值P（r，t）（21）P（r，t）=Γ（1/2+u）的封闭形式表达式- λ)Γ(1/2 + u + λ)+∞Z（θ/2）2λe-βθr（T）-t） /8J2u（θ）dθ。注意，键值仅取决于速率r和时间T的乘积-t、 6 D.穆拉维2。4.超几何方程和惠特克方程。

为了连接超几何方程，变量x=rτ直接用于问题（3）。此操作将PDE边界问题转换为ODE边界问题（22）（βx/2）Fxx+（αx- 1.外汇- F=0，F（0）=1，F(+∞, t） =0。对于溶液测定，方程系数的结构至关重要。它是二阶导数处的二阶多项式、一阶导数处的线性多项式和函数处的常数——这是定义为超几何类型[14]。利用超几何理论的优点（见附录A），函数F可以表示为（23）F（x）=x1-α/βexp-βxGβx！，其中G（z）是Whittaker方程[1,14]的解。（24）G（z）+G（z）-+λz+1/4- uz= 0，常数λ和u由（7）定义。该方程的两个线性独立解是第一类Mλ、u（z）和M的Whittaker函数-λ、 u（z）。让我提一下，对于特殊情况，2u=±1，±2，±3。。。第一类惠特克函数具有奇点。在这种情况下，第二类惠特克函数Wλ，u（z）和Wλ，-u(-z） 使用的是Mλ、u（z）和M的线性组合-λ、 u（z）（见附录C）。函数F是（25）F（x）=Cx-λexp-βxMλ，uβx+ Cx-λexp-βxMλ，-uβx.Whittaker函数的渐近性（见附录C）确定常数C，函数F（x）表示为（26）F（x）=Γ（1/2+u）- λ)Γ(1 + 2u)βxλexp-βxMλ，uβx.在原始变量中，键值P（r，t）有第二个表示（27）P（r，t）=Γ（1/2+u）- λ/2)Γ(1 + 2u)βr（T- （t）λexp-βr（T- （t）Mλ，uβr（T- （t）.让我提一下公式（21）和（27）是相似的[9]+∞Zxue-αxJν（βx）dx=Γ（ν/2+u/2+1/2）βαu/2Γ（ν+1）e-β/8αMu/2，ν/2β/4α,<α > 0, <(ν + u) > -1, β > 0.（28）利率模型和惠特克函数72.5。CIR虚拟现实模型。CIR VR模型由[3]引入，主要关注可变利率证券。

这是康斯坦丁尼德斯-英格索尔模型的特例，具有以下限制条件（29）α=0，λ=-1，u=p1/4+2/β。公式（21）和（28）（30）中的简化都是实质性的。PV R（R，t）=β+∞ZJ√1+8/β（θ）θe-βθr（T）-t） /8dθ，（31）pvr（R，t）=βR（t- t） Γ（3/2+u）2Γ（1+2u）exp-βr（T- （t）M-1.√1/4+2/ββr（T- （t）.3.几何布朗运动模型3。1.PDE定义和拉普拉斯变换。[12]认为该模型对应于定义为（32）的PDE（βr/2）Prr+αrPr- rP=Pτ，P（r，0）=1，P（0，τ）=1，P(+∞, τ ) = 0.与Black Sholles方程相反，这是不可能使用变量ln r来线性化方程的。然而就变量y而言=√r、 该模型类似于君士坦丁堡-英格索尔模型。使用拉普拉斯变换P（r，τ）=W（y，τ）；V（y，η）方程转化为贝塞尔型方程（33）Vyy+（4λ+3）Vy/y+V(-σ- ση/y）=-σ/y，V（0）=1/η，V(+∞) = 0.根据上一节，齐次方程的解是修正贝塞尔函数（34）V（y）=Cy的线性组合-2λ-1Kν（σy）+Cy-2λ-1Iν（σy），ν=p（2λ+1）+ση。然后问题（33）的解用（35）V（y，η）=σy表示-2λ-1.Kν（σy）yZφ2λIν（σφ）dφ+Iν（σy）+∞Zyφ2λKν（σφ）dφ.或在积分变量（36）V（y，η）=σ变化后Kν（σy）Zφ2λIν（σyφ）dφ+Iν（σy）+∞Zφ2λKν（σyφ）dφ.二重积分可以简化为单积分。它基于修改后的贝塞尔函数和原始贝塞尔函数之间的关系[9]（37）+∞ZxJν（ax）Jν（bx）dxx+c=Iν（bc）Kν（ac），0<b<a，<c>0，<ν>-1，Iν（ac）Kν（bc），0<a<b，<c>0，<ν>-1,8 D.MURAVEYand公式（21）。那么（36）的第二个表示是（38）V（y，η）=σ2λΓ（1/2+λ+ν/2）Γ（1/2）- λ + ν/2)+∞Zζ-2λJν（ζ）dζζ+σy。由于贝塞尔函数的渐近性（见附录C），该公式仅适用于2λ+1>-3/2.

我还要提到，在君士坦丁堡-英格索尔模型中，光谱参数η是贝塞尔函数的参数，而在这种情况下，它是在指数中。3.2. 逆拉普拉斯变换概述。反演过程有两个复杂的矩：第一，函数V（y，η）在η=0点有残差。函数V（y，η）可以具有奇点（36）中的积分可以是不确定的，或者（38）中的Euler Gamma函数在所有非正整数点上都有残差）。其次，原始函数W（y，τ）没有统一的表示法（表示法（36）和（38）均使用）。3.2.1。残差。如果2λ+1>0，则函数V（y，η）没有残差。如果2λ+1<0，函数V（y，η）在点2λ+1+ν=0处有残差。对于其确定，使用了表示法（39）。（39）ResΓ(1/2 + λ + ν/2), η = 0=4(2λ + 1)σ.因此（40）ResV（y，η）eητ，η=0=2λ+2Γ(-2λ - 1)+∞Zζ-2λJ-2λ-1（ζ）dζζ+σy。已知该积分[9]（41）+∞Zxν+1Jν（ax）dxx+b=bνKν（ab），a>0，b>0，-1 < <ν < 3/2.那么残差有这个唯一的表达式：（42）ResV（y，η）eητ，η=ηk=Γ(-2λ-1)σy-2λ-1K-2λ-1（σy），2λ+1<0,0，2λ+1>0.3.2.2。分支点下的拉普拉斯变换。积分回路L的设置类似于康斯坦丁尼德斯-英格索尔模型，见图2。路径（N）- 我∞, N+∞) 被命名为Lη。点η=-（2λ+1）/σ是分支点。那么函数W（y，τ）可以表示为（43）W（y，τ）=-2πiZL++L-V（y，η）eητdη+ResV（y，η）eητ，η=0让我们考虑情况2λ+1>0。在表示法（37）中，积分变量issetση=-路径L+（ν=i）上的（2λ+1）+eiπζ√ζ） η=-（2λ+1）+e-iπζ关于利率模型和惠特克函数9图2。几何布朗运动模型中的积分环-(ν = -我√ζ） （也是修正贝塞尔函数Kν（z）=K的性质。）-使用了ν（z）。

然后w（y，τ）=-E-τ（2λ+1）/σ2πi+∞泽-ζτ /σ基√ζ（σy）Zφ2λ我-我√ζ（σyφ）- 二、√ζ（σyφ）dφ++我-我√ζ（σy）- 二、√ζ（σy）+∞Zφ2λKi√ζ（σyφ）dφdζ。（44）函数Kν（z）和Iν（z）之间的关系产生（见附录C）（45）W（y，τ）=-E-τ（2λ+1）/σ2πi+∞Z+∞泽-ζτ/σφ2λsinπipζKi√ζ（σy）Ki√ζ（σφy）dφdζ.10 d.muravey对于简化为单积分，使用此关系[9]（46）+∞ZxuKν（ax）dx=2u-1a-u-1Γ1 + u + νΓ1 + u - ν, <（u+1±ν）>0，<a>0。在原始符号中，键值由公式W（y，τ）=e表示-（T）-τ)(2λ+1)/σ2πσ√R-2λ-1××+∞ZΓ1+2λ+iθΓ1 + 2λ - iθθe-θ（T）-t） /σsinhθπKiθ（σ√r） dθ。（47）在相反的情况下，应使用2λ+1<0表示法（38）。这意味着另一个代表p（r，t）=Γ(-2λ - 1)σ√R-2λ-1K-2λ-1(σ√r） +e-（T）-τ） （2λ+1）/σπi××+∞Z-∞+∞ZΓ（1/2+λ+iθ/2）Γ（1/2）- λ+iθ/2）θζ-2λe-（T）-t） θ/σJiθ（ζ）ζ+σrdθdζ。(48)4. 几何CIR模型4。1.PDE定义、拉普拉斯变换和与Whittakerequation的连接。1980年，Cox，Ingersoll，Ross最初的论文中引入了关于通货膨胀率因子的模型。