纯跳严格局部鞅的简单例子

[BGT89，Thm.1.7.1]）对于拉普拉斯变换，它遵循R（1- z）~cΓ（α）πsin（π（α- 1） ）zα-1.l（1/z）作为z→ 0+.设置√l（x） =1/l（x） ，这也是一个缓慢变化的函数，我们得到了xr（1）- 1/x）~Γ（α）csin（π（α- 1） ）πxα-3~l（x） ，作为x→ ∞.通过[BGT89，Prop.1.5.10]并使用该α<2，可以得出积分-Z1-duR（u）=Z∞1/dxxR（1）- 1/x）收敛，这意味着定理2中S=eX-1是严格的局部鞅。通过选择C=sin（π（α），可以从定理3中产生特别容易理解的例子- 1))πΓ(α), l ≡ 1.在这种情况下，我们从引理A.1R（u）=（1）中得到- u）- (1 - u） α-1.纯跳跃严格局部鞅的简单例子9相应的广义Riccati方程（7）可以显式地求解初始值u=1，我们得到S=eX- 1是一个严格的局部鞅，期望e[St]=exp（Xg）-（t，1））- 1，其中g-（t，1）=1-1.- e（α）-2） t2.-α.4. 替代结构a la Delbaen SchachermayerWe提出了严格局部鞅S的替代结构，该结构由一个逆鞅M和一个绝对连续的测度变换构成。这种技术在3维的逆贝塞尔过程中最为常见，并已被用于显示其严格的局部鞅性质（参见[RY99，第六章3]）。Delbaenand Schachermayer在[DS95]中将其推广到连续半鞅。我们的例子表明，这种技术也可以用来产生不连续的严格局部鞅。确定测量值（16）~u（dξ）=√πξ-3/2dξ，并注意|u与（1）中的u通过u（dξ）=e相关联-ξu（dξ）。我们用状态空间[0，∞] 用（17）~Af（x）=-xf′（x）+xZ∞（f（x+ξ）- f（x））μ（dξ）表示来自核C的f∞c（R）≥0）。我们假设X从一个确定的严格正的初始点开始，X>0。

过程X是[DFS03，示例9.3]中非保守过程Y的一个小修改，添加了负漂移。事实上，它可以通过转换Xt=Rte与Y直接相关-（t）-s） 戴斯。也就是说，X是非保守的，但它会爆炸到+∞ 在可预测的停止时间τ处，该时间τ以正P-概率确定。注意，与前几节中考虑的过程相比，~X不是半鞅。显然，爆炸时间τ由第一次命中时间（18）τn:=inf{t）的顺序宣布≥ 0:Xt≥ n} 。使用引理A.1很容易检查h（x）=e-xis是X的调和函数，即a（e-x） =0，我们得出结论mt=exp-~Xt-~X是有界局部鞅，因此是真鞅。注意，mt在τ处正好达到零，之后保持为零。通过设置（19）dQdP，我们定义了相对于P绝对连续的度量QFt=Mt.10马丁·凯勒（MARTIN KELLER）M以正P-概率达到零。测量值Q和P不相等。特别是Q（τ）≤ t） 每t=0≥ 0和henceQ（τ=∞) = 极限→∞Q（τ>t）=1，而P（τ=∞) < 1.定理4。过程Lt=Mt{t<τ}是Q下的严格局部鞅。注4.1。因为Q（t<τ）=1，所以写Lt=MtQ-a.s是正确的。然而，这个等式并不具有真正的P-a.s.证明。我们首先利用（τn）n证明了L是一个局部鞅∈Nfrom（18）作为定位序列。注意τn→ τP-a.s.，因此也是Q-a.s.MoreoverQ（τ=∞) = 1使得（τn）确实是Q.NowEQhLt下的局部化序列∧τnFsi=Ms∧τnEP“Mt∧τnMt∧τn{（t）∧τn）<τ}Fs#==Ms∧τn=Ls∧τnholds Q-a.s.表明L是Q-局部鞅。最后，对于有效的大t，我们有eq[Lt]=EP“mtmtmt{t<τ}#=P（τ<t）<1，因此L不是真正的Q-鞅。备注4.2。

如前所述，这种构造与已知的3维贝塞尔逆过程（参见[RY99，第六章3]）的构造相似，后者已被[DS95]推广。在三维逆贝塞尔过程的构建中∧τ是一个一维P-布朗运动，从1开始，到达0时停止；在Q下，过程M变成了三维贝塞尔过程，而1/M，逆三维贝塞尔过程，是Q下的严格局部鞅。要看到上述构造等价于第2节中的构造，请注意，度量变化（19）只不过是关于调和函数h（X）=e的∧X的h变换-x（参见[PR00]），我们可以根据公式AQ=h计算Q下x的生成元-1A（f h）=-x（f′（x）- f（x））+xZ∞f（x+ξ）e-ξ- f（x）u（dξ）=xZ∞f（x+ξ）- f（x）- f′（x）ξu（dξ）+xf（x）（1）-Z∞1.- eξu（dξ））+xf′（x）（Z∞ξu（dξ）- 1)== -xf′（x）+xZ∞f（x+ξ）- f（x）- f′（x）ξu（dξ）纯跳严格局部鞅11的简单例子，其中我们使用引理A.1来计算从第二行到最后一行的积分。这正是（3）中X的生成器，也就是说，Q下的X与费勒过程意义上的原始过程X相同。注意，在[KMK10]和[MMKS11]中，也利用了非保守性和严格局部鞅性质之间通过指数测度变化的这种联系。附录A.积分公式A.1。让α∈ （1,2）并设置C（α）=sin（（α- 1)π)Γ(α)/π. ThenC（α）Z∞euξ- 1.E-ξξ-αdξ=1- (1 - u） α-1（20）对于所有美国≤ 1，和c（α）Z∞E-ξξ1-αdξ=α- 1.（21）备注A.2。在第2节中，我们使用特殊情况C（3/2）=√π.证据设置w=u- 1.≤ 0

通过部分积分和替换∞euξ- 1.E-ξξ-αdξ=α- 1Z∞wewξ+e-ξξ1-αdξ==α- 1Z∞E-rr1-α-dr·1.- (-w） α-1.==Γ(2 - α)α - 1.1.- (1 - u） α-1..根据伽马函数Γ（2）的欧拉反射公式- α)α - 1=πsin（（α）- 1） π）Γ（α）=C（α）和（20）如下。此外，C（α）Z∞E-ξξ1-αdξ=C（α）Γ（2）- α) = α - 而且（21）如下。参考文献[BE09]斯特凡·布莱和汉斯·于尔根·恩格尔伯特。关于与强马氏连续局部鞅相关的指数局部鞅。随机过程及其应用，119（9）：2859-28802009。[BGT89]尼古拉斯·H·宾厄姆、查尔斯·M·戈尔迪和杰夫·L·泰格尔。规则变化，27。剑桥大学出版社，1989年。[BKX12]二汉·贝拉克塔尔、康斯坦丁诺斯·卡达拉斯和郝星。随机波动率模型的估值方程。暹罗金融数学杂志，3（1）：351-3732012。[CH05]亚历山大·MG·考克斯和大卫·G·霍布森。局部鞅、泡沫和期权价格。《金融与随机》，9（4）：477-4922005。[DFS03]D.杜菲、D.菲利波维奇和W.沙切迈耶。一套财务流程和应用。《应用概率年鉴》，13（3）：984–1053，2003.12 MARTIN KELLER-RESSEL[DS95]Freddy Delbaen和Walter Schachermayer。贝塞尔过程中的套利可能性及其与局部鞅的关系。概率论及相关领域，102（3）：357–3661995。[DS02]Freddy Delbaen和Hiroshi Shirakawa。正差价过程无套利条件。亚太金融市场，9（3-4）：159–168，2002年。[ES90]HJ Engelbert和T Senf。关于带漂移和指数鞅的维纳过程的泛函。随机过程和相关主题。过程。温特施。随机过程，Optim。控制，第一卷，第45-58页，1990年。[HLW07]史蒂文·L·赫斯顿、马克·洛文斯坦和格雷戈里·A·威拉德。选择和泡沫。《金融研究回顾》，20（2）：359–390，2007年。[JS87]J.贾科德和A.N。

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