纯跳严格局部鞅的简单例子

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英文标题：
《Simple examples of pure-jump strict local martingales》
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作者：
Martin Keller-Ressel
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We present simple new examples of pure-jump strict local martingales. The examples are constructed as exponentials of self-exciting affine Markov processes. We characterize the strict local martingale property of these processes by an integral criterion and by non-uniqueness of an associated ordinary differential equation. Finally we show an alternative construction for our examples by an absolutely continuous measure change in the spirit of (Delbaen and Schachermayer, PTRF 1995).
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中文摘要：
我们给出了纯跳严格局部鞅的简单新例子。这些例子被构造成自激仿射马尔可夫过程的指数。我们用积分准则和相关常微分方程的非唯一性刻画了这些过程的严格局部鞅性质。最后，我们以绝对持续的度量变化为例展示了一种替代结构（Delbaen和Schachermayer，PTRF 1995）。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Simple_examples_of_pure-jump_strict_local_martingales.pdf (111.94 KB)

2022-5-6 05:22:11 上传

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关键词：Differential Quantitative Construction Applications Exponentials

纯跳跃严格局部鞅的简单例子。我们给出了纯跳严格局部鞅的简单新例子。这些例子被构造成自激的阿菲-马尔科夫过程的指数。我们用积分准则和相关的常微分方程的非唯一性刻画了这些过程的严格局部鞅性质。最后，我们以绝对连续的度量变化为例展示了一种替代结构（Delbaen和Schachermayer，PTRF 1995）。引言严格局部鞅，即非真鞅的局部鞅吸引了概率论和金融数学研究人员的兴趣。严格局部鞅的例子可以阐明真鞅和局部鞅之间的分界线，这在Girsanov定理等基本结果中起到了作用。在金融数学中，严格的局部鞅说明了市场的病态行为，这些市场没有套利，但市场价格偏离基本价格（参见[LW00]），看跌期权平价不再成立（参见[CH05]）。由于这些原因，严格的局部鞅通常被视为资产价格泡沫的数学模型。严格局部鞅的大多数已知例子是连续过程。例外情况包括[KMK10，Ex.3.11]，[MU14，Sec.4]以及通过过滤收缩进行的[Pro14]的较新构建。在这篇文章中，我们给出了几个简单的纯跳严格局部鞅的新例子。这些例子被构造为一种有效类型的自激跳跃过程的指数。在这种情况下，自我兴奋意味着跳跃的强度与过程本身的价值成正比。它被广泛接受（参见。

[SC14]）自激在真实世界资产价格泡沫的出现中起着至关重要的作用，因此从财务建模的角度来看，这种结构似乎是自然的。众所周知，某些爆炸过程的自激行为会导致有限时间内爆炸（参见[DFS03]），而[KMK10]和我们的例子都是基于以正确的方式修改爆炸过程——在我们的例子中是通过指数倾斜——这样爆炸就不会再发生，但日期：2015年7月1日。我要感谢Philip Protter和一位匿名推荐人提供的有用意见，并感谢德国研究基金会（DFG）的卓越计划资助的ZUK 64.2 MARTIN KELLER Restelth鞅属性尽管是本地鞅，但失败了。在第2节中，我们介绍了这种严格局部鞅的第一个例子，并在第3节中展示了如何将这个例子推广到更大的一类过程。最后，在第4节中，我们通过绝对连续的度量变化提供了过程的另一种构造。2.过滤概率空间中的纯跳严格局部鞅(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P），并假设过滤满足通常条件。确定测量值（1）u（dξ）=√πe-ξξ-3/2dξ，ξ∈ R≥0并将调整后的c`adl`ag进程X作为具有状态间隔的Feller进程≥0和发电机（2）Af（x）=-xf′（x）+xZ∞f（x+ξ）- f（x）- f′（x）ξu（dξ）适用于来自堆芯C的所有f∞c（R）≥0）。我们假设起点Xis是确定的且严格正的。[DFS03，Thm.2.7]保证了这样一个过程X的存在，该解属于保守非负过程（见[DFS03，Lem.9.2]）。从[DFS03，Thm。

2.12]已知X是一个特征为sbt（ω）=-中兴通讯-（ω） ds，Ct（ω）=0，ν（ω，dξ，ds）=Xs-（ω） 相对于截断函数h（x）=x，写出与x和J（ω，Xs）跳跃相关的随机测度J（ω，dξ，ds）-, dξ，ds）=J（ω，dξ，ds）- Xs-u（dξ）dS对于其补偿版本，X（参见[JS87，Thm.II.2.34]）的规范表示由（3）Xt=X+ZR给出≥0×[0，t]ξJ（ω，Xs）-, dξ，ds）-中兴通讯-ds。该方程可以解释为X的积分方程。由于半鞅特性唯一地决定了一个有效过程X的定律（参见[DFS03，Thm.2.12]），我们可以将X视为该积分方程的弱解，唯一定律。解释方程（3）并考虑j（ω，Xs）的定义-, dξ，ds）我们看到X以与当前值Xt成比例的速率向上跳跃-, i、 e.X的跳跃是自激的，并且随着X的增加而增加。这种向上的运动被半鞅的补偿器抵消了。关于半鞅的符号和术语，请参考[JS87]。纯跳跃严格局部鞅的简单例子3跳跃测度和rateXt的附加负漂移-. 过程X具有有限的跳跃强度，但a.s.自Cez以来的变化轨迹有限∞u（dξ）=√πZ∞E-ξξ-3/2dξ=∞, 但是∞ξu（dξ）=√πZ∞E-ξξ-1/2dξ=。后一个等式由[JS87，Prop.II.2.29]暗示X实际上是一个特殊的半鞅。下面的特性使X变得有趣：定理1。过程S=eX- 1是严格的局部鞅。这个定理可以很容易地从下面的引理推导出来。引理2.1。

过程S=eX- 1是局部鞅，（4）EheuXti=exp十、1.-w（u）e-t/2- 1., 对于所有u<1的情况，其中w（u）=1-√1.- u、 事实上，如果引理是真的，那么通过单调收敛[St]=EheXti- 1=利木→1海克斯提- 1=expXe-t/2（2）- E-t/2）- 1.作为具有非常数期望的局部鞅，S必须是严格的局部鞅。引理2.1的证明。主要步骤是计算力矩生成函数eheuxti；我们将在途中得到S的局部鞅性质。在这里，我们可以直接应用[DFS03]和[KRM15]的结果，但明确地进行计算更具指导性。设T>0，并设g:[0，T]×(-∞, 1] →(-∞, 1] ，（t，u）7→ g（t，u）是一个函数，对于每个u∈ (-∞, 1] 在其第一个参数中是连续可微的，并且满足初始条件g（0，u）=u。我们将表示g（t，u）的时间导数tg（t，u）。将伊藤的跳跃过程公式（参见[Pro04]）应用于Mt:=exp（g（T- t、 u）Xt）yieldsMt=M+loc。mg。-Zttg（T- s、 u）Xs-太太-ds-Ztg（T- s、 u）Xs-太太-ds++Xs≤颅磁刺激-EXsg（T-s、 u）- 1.- Xsg（T- s、 u）== M+loc。mg++ZtZ∞例（T）-s、 u）ξ- 1.- g（T）- s、 u）ξu（dξ）-g（T）- s、 u）- tg（T- s、 u）！Xs-太太-ds，在哪里。mg。表示一个从零开始的局部鞅，它可能会随着行的变化而变化。引入函数（5）R（u）：=Z∞euξ- 1.- uξu（dξ）-u4 MARTIN KELLER Restelth上述方程式可改写为（6）Mt- M=loc。mg+Zt（R（g）T- s、 u）- tg（T- s、 u）x-太太-ds。在我们的例子中，函数R（u）对所有u都有很好的定义∈ (-∞, 1] 可通过部分积分和伽马型积分（参见引理a.1）的约化显式计算，yieldingR（u）=（1- u）-√1.- u、 u∈ (-∞, 1].我们从（6）中得出结论，如果g是一个以1为界且满足ODE（7）的函数tg（t，u）=R（g（t，u）），g（0，u）=uthen Mt=exp（g（t- t、 u）Xt）是任意t>0的局部鞅。

这些条件特别满足于常数函数g+（t，1）=1，我们得出结论，eXt——因此也是St——是一个局部鞅。因为它是非负的，所以它是上鞅，因此EheXτi≤ EheXi<∞ 对于所有有限的停止时间τ≥ 0.现在考虑当g满足（7）并且在（1）上另外有界时的情况- ）对于某些>0。设置f（x）=x1/（1）-）我们看到了f（Mτ）= Ef（exp（g）T- τ、 u）Xτ）≤ Ef（exp（1- ）Xτ）= EheXτi≤ EheXi<∞对于所有停止时间τ≤ T根据德拉瓦利·普辛定理，家庭Mτ：τ停止时间，τ≤ T对于任何固定的T>0都是一致可积的，因此M是真鞅。很容易验证，对于g（0，u）=u<1，微分方程（7）的唯一解由g（t，u）=1给出-w（u）e-t/2- 1..很明显，g（t，u）与1一致有界。我们得出结论，对于u<1，过程Mt=eg（T-t、 u）xti是真鞅，henceEheuXTi=E[MT]=M=eg（t，u）X，完成了证明。备注2.2。熟悉有效过程的读者在（7）中认识到与X相关的广义Riccati方程（参见[DFS03，第6节]）。备注2.3。注意-（t，1）：=limu→1.-g（t，u）=e-t/2（2）- E-t/2）是（7）的解，初始条件u=1，常解g+（t，1）≡ 这是另一个。这表明严格局部鞅性质与初值u=1时（7）解的非唯一性有关，这将在定理2中得到证实。纯跳严格局部鞅的简单例子53。推广：tu是R上的一个非零L’evy测度≥0这是令人满意的∞eξu（dξ）<∞. 在此基础上，我们用状态空间R定义了一个c`adl`ag Feller过程X≥0通过其发生器（8）Af（x）=-bxf′（x）+xZ∞f（x+ξ）- f（x）- f′（x）ξu（dξ），其中b=R∞（eξ）- 1.- ξ） u（dξ）>0，f来自C∞c（R）≥0），A的核心。

我们假设起点X>0是确定性的，并指出b的单位由测度u（dξ）上的可积条件保证。如第2节所述，过程X的存在和非爆炸性由[DFS03]的结果保证。我们为与X和（9）J（ω，Xs）跳跃相关的随机测度写J（ω，dξ，ds）-, dξ，ds）：=J（ω，dξ，ds）- Xs-u（dξ）ds。补偿版。通过与第2节相同的参数，X满足一个离散积分方程（10）Xt=X+ZR≥0×[0，t]ξJ（ω，Xs）-, dξ，ds）- bZtXs-ds。式中b=R∞（eξ）- 1.- ξ） u（dξ）>0。最后，我们定义了（11）R（u）=Z∞euξ- 1.- uξu（dξ）- 日分。注意，R（1）=R（0）=0成立，并且R是严格凸函数，因此R（u）<0表示所有u∈ (0, 1). 此外，R在上是连续可微的(-∞, 1） R′（0）=-b<0。下一个结果在关于一个过程的文献中是“基本已知的”，部分结果可在[KR11，Thm 2.5]，[MMKS11，Rem.4.5.iv]和[KRM15，Thm.3.2]中找到。我们给出了一个独立且简单的证明，它不需要过程理论的先决条件。定理2。设R为（11）。那么S=eX-1是一个局部鞅，以下是等价的：（a）S=eX- 1是严格局部鞅（b）一般微分方程（12）tg（t）=R（g（t）），g（0）=1有多个取数值的溶液(-∞, 1].（c） 函数1/R（u）在u=1的左邻域中是可积的，即存在>0，使得（13）-Z1-dηR（η）<∞.6 MARTIN KELLER RESSELRemark 3.1。（b）和（c）的等价性与Osgood的自治标量常微分方程非唯一性准则密切相关，参见[Osg98]。备注3.2。将这个定理与扩散过程的已知结果进行比较是很有趣的。已知类似于（13）的积分条件可以刻画一维微分的严格局部鞅性质，参见。

[ES90]、[BE09]、[DS02，Thm.1.6]和[MU12，Cor.4.3]。一般扩散过程的严格局部鞅性质与相关Kolmogorov偏微分方程解的非唯一性有关，例如[Lew00，第9.5节]，[HLW07]和[BKX12]。证据在引理2.1的证明中，局部鞅性质直接遵循伊藤公式。我们继续展示定理的分析部分，即（b）和（c）的等价性。要知道（b）意味着（c），请考虑（12）有多个取值的解的情况(-∞, 1]. 因为常数函数g+（t）≡ 1是明确的解决方案，必须有另一个解决方案，g-一个时间点t>0，比如g-（t） =1- ，对一些人来说>0。此外，set t=sup{t≥ 0:g-（t） =1}注意，通过g的连续性-它认为g-（t） =1和t<t。考虑到R的性质，得出R（g-（t） ），t为0∈ 我们可以积分（12）得到-Zg-（t） g-（t） dηR（η）=-Zttg-（s） dsR（g）-（s） ）=t- t所有t∈ （t，t.）让t趋向于t这就变成了-Z1-dηR（η）=t- t<∞我们已经展示了（c）。为了显示相反的含义，假设（13）成立，并注意到由于R的凸性-ZdηR（η）≥ -R′（0）Zdη=+∞.因此，T（x）：=-Rxdη/R（η）定义了一个连续可微的严格递减函数，它将（0，1）映射到[0，∞). 根据反函数定理，存在严格递减且连续可微的反函数g，映射[0，∞) 到（0，1），其中g（0）=1，且满足T（g（T））=T，即。-Zg（t）dηR（η）=t，t≥ 0.两边的微分表明g解（12）。但g不同于已知的常数溶液g+（t）≡ 所以（12）有多个解，取(-∞, 1] ，显示（b）。现在我们来讨论从（b）到（a）的含义：用g+（t）表示≡ 1（12）的恒常解，并设g-（t） 这是另一个考虑价值观的解决方案(-∞, 1].

自从g-纯跳严格局部鞅的简单例子7不同于g+，存在一个T>0，使得g-（T） <1。我们设置M+t=eXt，M-t=eg-（T）-t） XTT∈ [0，T]。两个过程都有相同的终值M+T=M-T、 但不同的值M+>M-. 应用伊藤公式，就像在引理2.1的证明中一样，我们发现M+和M-是局部鞅，也是正的。假设一个矛盾S=eX- 1是真鞅。那么M+也是真鞅，M+=EhM+Ti=EhM-钛≤ M-与M+>M相矛盾-. 我们得出结论，M+和S都是严格的局部鞅，并且（a）紧随其后。最后我们通过对位证明（a）意味着（c）。假设（c）不成立，考虑微分方程（14）tg（t，u）=R（g（t，u）），g（0，u）=u，u∈ （0，1）由于R（0）=R（1）=0，且R在（0，1）上连续可微且为负，因此该方程对于初始值u有唯一的严格递减解g（t，u）∈(0, 1). 修正任意t>0并积分（14）该解满足-Zug（t，u）dηR（η）=t。假设lim infu→1.-g（t，u）=1- 对于某些>0。在高于产量的等式中取这个极限-Z1-dηR（η）=t<∞,但我们从假设（13）不成立开始。我们的结论是→1.-g（t，u）=1，因此实际上是limu→1.-g（t，u）=1表示所有t≥ 0.现在fix一些T>0和setMut=exp（g（T- t、 u）Xt），u∈ (0, 1).在引理的证明中使用伊藤公式？？我们看到每一个都是局部鞅。此外，g（t，u）≤ u和设置fu（x）=x1/uwe-obtainEfu（Muτ）= Efu（exp（g）T- τ、 u）Xτ）≤ Efu（exp（uXτ））= EheXτi≤ EheXi<∞对于任何停止时间τ≤ T为了你∈ （0,1）函数fu是凸的且满足极限→∞fu（x）/x=∞.

因此，根据德拉瓦利·普桑定理，家族Muτ：τ停止时间，τ≤ T对于任何T>0都是一致可积的，因此mu是真鞅。利用单调收敛，我们得到了下一个结果Fsi=E利木→1.-例（T）-t、 u）Xt财政司司长= 利木→1.-埃姆特Fsi=limu→1.-Mus=eXsfor所有0≤ s≤ T≤ T这表明eXand因此S是真鞅，并完成了证明。8马丁·凯勒。让测量值u由（15）u（dξ）=ce给出-ξξ-αl（ξ） dξ，ξ≥ 其中c>0，α∈ （1,2）和l 在单位内缓慢变化，并以零为界。定义（9）和（10）中的相关泊松随机测度和过程X。然后过程S=eX- 1是严格的局部鞅。备注3.3。这个定理表明，S的严格局部鞅性质与跳跃测度的右尾有关，因此只由S的大跳跃决定。证据首先注意，u是一个L’evy度量，满足可积性条件∞eξu（dξ）<∞, 由于[BGT89，1.5.10号提案]。[DFS03，Lem.9.2]中的这个条件暗示X是一个保守过程。用f表示~ g函数的渐近等价性；我们将指出等价性是在0还是在∞. 我们设定f（ξ）=-Z∞ξexu（dx）。利用该α>1，可从[BGT89，1.5.10号提案]得出thatF（ξ）~cα-1ξ1-αl（ξ） asξ→ ∞.通过部分积分，我们可以重写R asR（1- z） =zZ∞E-zξF（ξ）dξ+zZ∞eξ- 1.u（dξ）。根据卡拉马塔的陶伯里定理（参见。