股票市场的量子布朗运动模型

我们有σx=DXE，实际上是一个随时间变化的方差，σx（t）=σx（0）+1- E-2γt2Mγ！σp（0）+1- E-2γt2Mγσpx（0）+kTMγ“t+γe-2γt-4γE-4γt+3#, （4） 其中σp=dpean，σpx=hXP+PXi[42]。对于qBm（m），股票指数的波动性受到参数kT和γ的不同影响（见等式4）；而对于cBm（m），只有一个有效参数kT/mγ。qBm（m）和cBm（m）之间σX的差异在图中进一步比较。2（a）和2（b）。在相对较高的温度下（kT>10-2） ，量子布朗运动的σx（t）几乎等于经典布朗运动的σx（t）；尽管温度较低，等式（4）右侧的第二项满足σp（0）≥ ~/4σx（0）（由于不确定性关系），且不可忽略（见图2（a））。因此，应考虑到股票指数的波动有一个额外的最小方差，该方差是由非理性因素引起的，当kT<< ~γ. 从图2（b）可以看出，当10<γ<10时，线性耗散系数γ导致σx（t）→ （kT/Mγ）t。然而，如果γ>10，渐近行为是σx（t）→ σx（0）。非零σx（0）在现象学上可以被视为量子测量的噪声，即测量不精确引起的外部方差[45]，如果我们考虑到股票指数实际计算的不精确性，这是有意义的。对于具有最小不确定度σp（0）=~/4σx（0）的初始状态，如果（γt<< 1） （弛豫过程不能忽略），式（4）的近似值变成σx（t）≈ σx（0）+~t/Mσx（0）+4kTγt/3M[42]。

第三项以Θ（t）的速度增加，表示弛豫过程；而第二项以Θ（t）的速度增加，这是来自不确定性关系的独特量子效应，反映了波包的展宽[42]。实际上，尽管qBm（m）的σxO与cBm（m）的σxO具有不同的行为，但SCI的波动率与τ1/2的良好匹配（见图1（a））意味着差异可以忽略不计，除非在某些情况下，参数skt和/或γ具有极值，例如，当股票市场发生突然下跌或强烈阻力时。事实上，高阶矩可以揭示更明显的差异：通过计算SCI的峰度κxof，我们发现非零κx（τ）相对于τ呈指数递减（见图2（c））。非零κx（τ）是概率密度分布偏离高斯形状的异常证据，如图1（b）所示。给出κx（t）=DXE/DXE- 3.理论上认为，qBm（m）峰度的时间演化明显依赖于初始态。通过多次尝试，我们发现，以非零正Xe为初始条件，κx（t）与SCI的实际峰度一样呈指数递减（见图2（c））。当τ相当大时，即当测量频率较低时，κxis小到足以使偏差消失；相比之下，高频测量将导致对κx的噪声型干扰。噪声对初始状态和测量频率的依赖性不应是由于测量的不精确性，而是测量[45]对股票指数的反作用噪声。有趣的是，两种量子噪声——不精确和反作用噪声——是共轭asX和P are[45]。

因此，从量子测量理论的角度来看，对股票指数非高斯厚尾分布的解释与现在的量子布朗运动在现象学上是一致的。5.量子布朗运动模型的非马尔可夫特征一般来说，量子布朗运动的耗散和耗散特征的非马尔可夫行为都会受到环境引入的非马尔可夫量子噪声的影响[45]。总量子噪声的频率响应相对于±ω是不对称的，可分别分为+ω的单边响应函数（耗散作用）和ω的“可测量”对称函数（耗散作用）[45]。从式（2）我们导出[46]滴滴涕ρA（t）=-i~[HA，ρA（t）]+K（t）ρA（t）（5）QBMCBMkT2x（A）2xQBMCBM（b）20 40 60 804xQBMSCI（c）图2：量子布朗运动（红色实线）和经典布朗运动（黑色虚线）相对于（A）温度kT（当γ=10）和（b）耗散系数γ（当kT=0.1）的方差之间的比较。M=10，~=0.01，t=10，σx（0）=10-两个图都设置了7。（c） 图中显示了1999年至2013年期间，量子布朗运动（红线）的峰度与上海综合指数（蓝线）的峰度之间的比较，其中M=20，kT=~=γ=1。当τ=0时，DXE=DPE=~/2，hXP+PXi=0，DXE=50。（关于本图例中对颜色的解释，读者请参阅本文的网络版。）k（t）ρA（t）=-iγ~[X，{P，ρA（t）}]-2~ZtdτD（τ）[X[X，ρA（τ）]]+2M~Ztdτ（τD（τ）[X[P，ρA（τ）]）。（6） 在等式6中，如果我们只考虑量子布朗运动的“可测”部分，而忽略了非马尔可夫行为的耗散部分，那么γ与时间无关。

D（τ）=2~R∞dωJ（ω）coth（~ω/2kT）cosωτ是关于热储层J（ω）的函数的“可测量”自相关函数[42]。如果D（τ）不是aDirac峰分布，则记忆核K（t）是时间相关的，由此引入量子布朗运动的非马尔可夫行为。在图3（a）中，股票市场的非马尔可夫行为由自相关函数R（τ）表示。三个不同时期的数据用于计算R（τ）。三条线的局部最大点都出现在附近的τ=120min和τ=240min处，而局部最小点大多出现在τ=60min和τ=180min处，表明股票市场的自相关性对τ的周期依赖性。还表明R（τ）平均指数衰减。在图3（b）中，模拟的自相关函数（τ）=ξe-ητcosOhmτ=ξe-ητ（cos 2）Ohm引入τ+1）（7）来拟合股票市场的非马尔可夫自相关函数。ξ表示非马尔可夫效应的强度，η表示衰变率，和Ohm 为整个股票市场的周期性引入的频率。D（τ）由两个独立项组成，D（τ）=8MγkTδ（τ）+8MγR（τ）。（8） 将式（8）代入式（6），并将无时间卷积扰动近似[47,48]取为二阶（ρA（τ）→ Derit（A）ρ-iγ~[X，{P，ρA（t）}]- （t） [X[X，ρA（t）]+λ（t）[X[P，ρA（t）]，（9）其中（t） =2MγkT+2Mγξ~(η1.- E-ηt+ηη+ 4Ohm\"1 - E-ηtcos 2OhmT-2.Ohmηsin 2Ohmt！#），（10） （a）（b）图3:1999-2004年（绿线）、2004-2010年（红线）、2010-2013年（蓝线）上证综合指数（SCI）的三个时段，其中（a）计算了股票指数收益率的实际自相关，并且（b）引入了模拟的非马尔可夫自相关R（τ）。

安装参数为1999-2004年：η=5.56×-3分钟-1.Ohm = 8.33 × 10-3πmin-1, ξ = 5.48 × 10-4[ln S]分钟-1.2004-2010: η = 4.55 × 10-3分钟-1.Ohm = 8.33 ×-3πmin-1, ξ = 4.47 × 10-4[ln S]分钟-1.2010-2013: η = 3.33 × 10-3分钟-1.Ohm = 8.33 × 10-3πmin-1, ξ = 3.46 ×-4[ln S]分钟-1.（关于本图例中颜色的解释，读者可以参考本文的网络版。）和∧（t）=2Mγξ~ηh1-（1+ηt）e-ηti+2Mγξ~η+ 4Ohm(η- 4.Ohmη+ 4Ohm- E-ηt“η- 4.Ohmη+ 4Ohm+ ηt！cos 2Ohmt+4ηOhmη+ 4Ohm+ 2.OhmT罪2Ohmt#）。（11） 此外，J（ω）的渐近解是J（ω）2Mγπω+MγξηπkT“η+ω+η+（ω- 2.Ohm)+η+(ω + 2Ohm)#ω（12）当ω→ 0.式（12）的第二项由三个不同的欧姆洛伦兹截止函数组成，并对非马尔可夫行为起作用。方程（5）中K（t）紧跟在方程（9）之后，这是一个适用于上海股市的非马尔可夫动力学方程。值得注意的是，在qBm（m）中，观察到的股票市场自相关必须是基本的。自相关直接来自于谱密度J（ω）=Piκiδ（ω- ωi）/2miωi，它引入了特定单一股票振荡器ω对股票指数的贡献权重。当欧姆谱密度J（ωi）=2Mγωi/π时，权重与股票i的能量量子ωi/2成正比，结果D（τ）=8MγkTδ（τ），这是马尔可夫股票指数的符号。相反，如果使用欧姆洛伦兹光谱密度式（12），股票指数显然是非马尔可夫的。这意味着人们可以通过指数本身的非马尔可夫行为来理解股票与其指数之间的对应关系。方程式（7）只是单频。由于相互作用的线性，我们可以附加频率为2的高阶项Ohm, 3.Ohm... 进行更复杂的计算。此外，我们应该注意到自相关函数应该产生R（τ）e-事实上我知道。

然而，我们只能通过假设相位信息φ是完全时间不相关的量来关注振幅R（τ）。6.讨论和结论公式（2）的精确非马尔可夫解表明，主方程不仅包含类似公式（6）的二阶项，还包含X和P的高阶乘积[49]。通过引入Wigner函数Wρ（x，p，t）=R+∞-∞dsρA（x）- s/2，x+s/2，t）exp（ips/~）在相空间中，可以导出类似于式（1）的科尔莫戈罗夫方程[50]，tWρ（x，p，t）=-下午xWρ+2γPpWρ+ ~（t）pWρ- ~∧（t）十、pWρ+G（Wρ），（13）式中G（Wρ）=X∞k=3Xkr=0(-1） kr！（k）- r） !！卡（k）-r、 r）Wρixk-Rpr（14）具有时间相关系数A（k-r、 r）（x，p，t）=h[x（t+dt）- x（t）]k-下钻p（t+dt）- p（t）ri/dt（dt→ 0）。方程（14）负责对方程（13）的长期解进行修正，如果存在G（Wρ）项，则不能保证方程（13）是高斯解。现在它似乎是无效的，因为任何股票指数的随机动力学在长期极限下都应该满足高斯分布。然而，Pawula定理[51]证明了如果有A（k-r、 r）（x，p，t）为零，我们必须都有A（k）-r、 r）≡ 0代表r≥ 3.G（Wρ）因此在大多数情况下等于零，保证Wρ的长期解是高斯的。关于qBm（m）的另一个可能的困惑是完全使用量子力学的数学结构的冗余性。已经证明，非对易算子的不确定性关系（或更普遍的李代数结构）是量化交易非理性的合适框架[21,29]。然而，我们不知道密度算符的非对角元素（相干性）作为附加自由度是否有任何实际意义。

我们不认为连贯性只是多余的辅助变量，而是认为连贯性是一种描述单个交易之间相关性的隐藏变量，这与行为经济学中对同步行为的预期一致[16]。综上所述，为了克服有效市场假说和经典布朗运动模型的某些局限性，本文针对股票市场引入了量子布朗运动模型（qBm（m））（本文主要研究中国上海证券交易所）。借助量子开放系统理论，提出了从量子封闭/开放系统到股票市场的类似映射（见表1和表2）。使用Caldeira-Leggett主方程，计算不同阶数的qBm（m）矩，与经典模型进行比较。股票指数（上证综合指数）的非零峰度表明非高斯厚尾分布符合qBm（m）。解释细节涉及量子测量理论中的不精确和反作用噪声的概念。为了描述股票市场的非马尔可夫行为，得到了一个非马尔可夫主方程。自相关的谱密度与单个股票对股票指数贡献的权重直接相关。通过构造股票指数的qBm（m），整个股票市场现在可以完整地建模到量子力学框架中[29]。我们未来的研究目标将集中在理论和实证研究上，尤其是将该模型应用于定量金融以及经济物理学中的其他主题。感谢俞秀梅和张玲泽的宝贵建议和帮助。

我们还感谢北京大学2012年挑战杯技术工程办公室的财务支持。参考文献[1]R.N.Mantegna，H.E.Stanley，《经济指数动态中的标度行为》，自然（伦敦）376（1995）46-49。[2] R.N.Mantegna，H.E.Stanley，《经济物理学导论：金融中的相关性和复杂性》，剑桥大学出版社，剑桥，1999年。[3] 布坎南先生，经济物理学为我们做过什么？，纳特。菲斯。9 (2013) 317–317.[4] L.A.N.阿马拉尔、S.V.布尔迪列夫、S.哈夫林、H.莱施霍恩、P.马斯、M.A.塞林格、H.E.斯坦利、M.H.R.斯坦利，《非经济学中的标度行为：公司增长的实证结果》，J.Phys。I法国7（1997）621-633。[5] S.V.Buldyrev，L.A.N.Amaral，S.Havlin，H.Leschhorn，P.Maass，M.A.Salinger，H.E.Stanley，M.H.R.Stanley，非经济学中的标度行为：II。公司成长模型，J.Phys。I法国7（1997）635-650。[6] B.Podobnik，P.C.Ivanov，K.Biljakovic，D.Horvatic，H.E.Stanley，I.Grosse，《具有幂律关联常数和量级的分数积分过程》，Phys。牧师。E 72（2005）026121。[7] 颜俊华，张永华，张永华，唐永宁，中国股票市场的幂律性质，Physica A 353（2005）425–432。[8] B.B.Mandelbrot，J.W.van Ness，分数布朗运动，分数噪声和应用，暹罗修订版。10 (1968) 422–437.[9] E.E.Peters，《资本市场中的分形结构》，Financ。肛门。J.45（1989）32-37。[10] 姜志强，周文星，基于配分函数方法的中国股票波动性多重分形分析，Physica A 387（2008）4881–4888。[11] 袁彦，庄X-T，刘志勇，量价多重分形分析及其在中国股市中的应用，Physica A 391（2012）3484–3495。[12] M.E.J.纽曼，《复杂网络的结构和功能》，暹罗修订版。45 (2003) 167–256.[13] L.A.Braunstein，P.A.Macri，J.R。

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