股票市场的量子布朗运动模型

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英文标题：
《Quantum Brownian motion model for the stock market》
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作者：
Xiangyi Meng, Jian-Wei Zhang, Hong Guo
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  It is believed by the majority today that the efficient market hypothesis is imperfect because of market irrationality. Using the physical concepts and mathematical structures of quantum mechanics, we construct an econophysics framework for the stock market, based on which we analogously map massive numbers of single stocks into a reservoir consisting of many quantum harmonic oscillators and their stock index into a typical quantum open system--a quantum Brownian particle. In particular, the irrationality of stock transactions is quantitatively considered as the Planck constant within Heisenberg\'s uncertainty relationship of quantum mechanics in an analogous manner. We analyze real stock data of Shanghai Stock Exchange of China and investigate fat-tail phenomena and non-Markovian behaviors of the stock index with the assistance of the quantum Brownian motion model, thereby interpreting and studying the limitations of the classical Brownian motion model for the efficient market hypothesis from a new perspective of quantum open system dynamics.
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中文摘要：
今天的大多数人认为，由于市场的非理性，有效市场假说是不完善的。利用量子力学的物理概念和数学结构，我们构建了一个股票市场的经济物理学框架，在此基础上，我们将大量的单个股票类似地映射到一个由许多量子谐振子组成的水库中，并将其股票指数映射到一个典型的量子开放系统——量子布朗粒子。特别是，在海森堡量子力学的不确定性关系中，股票交易的非理性被定量地视为普朗克常数。我们分析了中国上海证券交易所的真实股票数据，借助量子布朗运动模型研究了股票指数的厚尾现象和非马尔可夫行为，从而从量子开放系统动力学的新视角解释和研究了经典布朗运动模型对有效市场假说的局限性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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PDF下载：
--> Quantum_Brownian_motion_model_for_the_stock_market.pdf (635.17 KB)

2022-5-6 05:30:18 上传

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关键词：股票市场 布朗运动 股票市 Quantitative Transactions

股票市场的量子布朗运动模型，*北京大学电子工程与计算机科学学院高级光通信、系统与网络国家重点实验室和量子信息技术中心，北京100871，中国北京大学物理学院，北京100871，中国波士顿大学物理系，马萨诸塞州波士顿02215，今天的大多数人认为，由于市场的非理性，有效市场假说是不完善的。利用量子力学的物理概念和数学结构，我们构建了一个股票市场的经济物理学框架，在此基础上，我们将大量的单个股票类似地映射到一个由许多量子谐振子及其股票指数组成的储库中，形成一个典型的量子开放系统——量子布朗粒子。特别是，在海森堡量子力学的不确定性关系中，股票交易的非理性被定量地视为普朗克常数。我们分析了中国上海证券交易所的真实股票数据，借助量子布朗运动模型研究了股票指数的厚尾现象和非马尔可夫行为，从而从量子开放系统动力学的新视角解释和研究了经典布朗运动模型对有效市场假说的局限性。关键词：经济物理学、股市非理性、量子布朗运动、厚尾现象、非马尔可夫行为1。

引言自从统计物理学中的各种概念和方法被成功地引入经济学，特别是由于曼特尼亚和斯坦利在20世纪90年代的开创性工作[1,2]，经济物理学从此获得了发展势头，并产生了无数强大的工具，将统计物理学和经济学结合起来[3]。早期的基础研究迄今为止经历了广泛的发展，并进行了多方向的研究，例如各种市场的标度和幂律行为[4-7]、金融指数的分形/多重分形[8-11]、微观经济动力学的复杂网络[12-14]等。即使从一般物理角度来看，自然概念和精细的微观模型都有助于探索市场效率和稳定性的基本经济问题[15–19]。最近，人们认真尝试将量子力学融入金融领域。路径积分方法首次成功应用于期权定价[20]之后，一系列使用量子力学概念和工具的金融分析就开始了[21–29]。尽管金融工具的量子力学模型在数学上取得了成功，但迄今为止，很少有研究试图利用基于开放系统概念的量子统计动力学。在标准金融工具中，股票市场是最具象征意义的，一直备受关注。Fama首次系统地指导了股票市场随机动力学的研究[30]。在他的研究中，布朗运动（随机游走）被用来解释股票市场价格的不可预测性，这是为了建立卓越的有效市场假说（EMH）[30]。然而，今天大多数人怀疑EMH中完全市场理性这一主要理念背后的理论基础。

由于非马尔可夫记忆[31,32]和fattail偏差[33,34]等负面经验证据经常被发现，很明显，股票市场不满足经典布朗分布*通讯作者。电话：+86 10 6275 7035电子邮件地址：hongguo@pku.edu.cn（洪果）提交给Physica Amotion模型（cBm（m））的预印本。因此，行为经济学家认为，股市肯定受到市场非理性的影响。现有的经济物理模型更多地涉及复杂的量。然而，市场非理性的量化仍然是一个有趣的话题，对它的考虑应该更多地是概念性的，而不是数学性的。例如，对将多重分形分析应用于日内股市指数[35]的批评，意味着过度使用数学工具而不是识别指导性的经济学物理概念时注意力的缺失。1933年，弗里希提出了阻尼谐振子模型[36]。作为动态经济学中最具影响力的模型之一，它假定，考虑到股票交易及其辅助费用，单个股票的价格应该像阻尼谐振子一样在外部时变信息的推动下振荡并消散到平衡[29]。尽管弗里希的模型有直观的物理观点，但它无法解释为什么股票价格总是存在持续的波动[37]。初始脉冲后，一个质量阻尼谐振子的振荡强度应迅速指数衰减并达到平衡[38]。均衡价格应反映股票的实际价值。然而，经验数据显示，如果没有信息推动股价，单个股票的波动性就会存在[21]。参考文献建议。

[21]我们可以使用量子阻尼谐振子模型而不是经典模型来描述单个股票的价格波动，价格概率分布由量子波函数描述。对于股价波动~ ~, 在动态经济学中重新定义普朗克常数的概念是很自然的。正如我们稍后将发现的，~，作为额外不确定性的来源，可能被认为是股票市场中股票交易的非理性。因此，它可能在动态经济学和行为经济学之间起到桥梁的关键作用。论文的其余部分组织如下。第二节利用中国上海证券交易所的数据研究了有效市场假说及其局限性。第三节详细介绍了量子布朗运动模型（qBm（m））及其到股票市场的映射。关于厚尾非高斯分布和非马尔可夫记忆，股票市场qBm（m）的矩和非马尔可夫自相关随后在第4节和第5节中计算和分析。第6.2节最后给出了讨论和结论。股票市场中的布朗运动首先，我们介绍股票市场的cBm（m）及其数学描述。在经典布朗运动的数学描述下，一个一维自由布朗粒子，其随机动力学由环境的波动和耗散引起，在长时间t后满足一个随机游走过程。其坐标x（t）作为一个随机变量，具有方差为σt的高斯概率分布，其中σ等于kT/Mγ，关于粒子M的质量、耗散系数γ和环境温度kT。

相空间中布朗粒子的概率分布函数通常由马尔可夫克莱因-克莱默斯方程描述【39】tP（x，p，t）=-下午xP+2γp（pP）+2γMkTpP，（1）其中二阶偏微分项有助于高斯形状解[40]。给定动量p（t）=Mdx/dt，我们知道p（t）/M是一个白噪声过程，其自相关函数R（τ）ishp（t+τ）p（τ）i/M=σδ（τ）关于时间间隔τ，证明了cBm（M）是一个马尔可夫过程。在预测经济学研究中，EMH的经典概念假定股票市场指数S（t）的运动是一个随机过程，即d（ln S）=u - σ/2dt+σdW。u和σ代表股票指数的漂移率和波动率。σdw是一个经典的随机游走过程。为了检验EMH对真实股票指数的有效性，我们分析了5,10,15。。。，1999年至2013年中国上海综合指数（SCI）的100分钟线数据。从图1（a）可以明显看出，σ和u分别与τ1/2和τ成正比。股票市场指数的动态似乎服从假定的随机过程。然而，在图1（b）中，股票指数收益率的概率分布（即股票指数对数的两个连续数据点的差异）不符合高斯分布函数，而是以厚尾偏离，而这种偏离随着τ的增加而消失。因此，这意味着高斯分布的假设仅在长期极限下有效。此外，图1（c）显示，股票指数的自相关函数R（τ）在τ=0时不是完美的狄拉克峰值函数，但即使在|τ|>20分钟时也是非零的。

这次分析表明，股票市场不是马尔可夫市场，因此再次让我们相信cBm（m）是不完美的。图1：1999年至2013年中国上证综合指数的特征：（a）漂移率（蓝线）和波动率（红线），从5、10、15、。。。，100分钟的索引行；（b） 股票指数收益率的频率分布 lns（τ）=[lns（t+τ）- ln S（t）]/τ（漂移项已被消除），τ=5,10,20,40,80分钟，从顶部到底部，然后是高斯分布；（c） 1999-2013年六个任意选择时间段的股票指数收益率的自相关特征。（关于本图例中对颜色的解释，读者请参阅本文的网络版。）3.量子布朗运动模型基于量子力学对单个股票价格的描述为处理股票市场中的动力学问题提供了一个有指导意义的观点[21,29]。在基于量子力学的描述下，单个股票i由波函数|ψii描述。X和P表示与（对数）价格和价格趋势相关，然后在数学中，它们被视为股票的标准坐标和动量，即xi=ln sian和pi=mid（ln si）/dt。参数Mi是股价相对于可能趋势的惯性，通常可被视为股票的资本[29]。概率分布hψi | xihx |ψii=|ψi（x，t）|描述了用结果x测量价格的概率密度。由于量子力学中的不确定性关系[x，P]=i~，我们对坐标了解得越多，我们对动量的了解就越少（反之亦然）[41]。

这个最初的想法适用于股票，因为我们对股票价格了解得越多，我们可以用来估计其趋势的信息就越少[21]。在实际交易中，我们只能获得一定范围内可能的交易价格分布的知识，因此无法准确衡量股票的实际价值。作为补充，我们可以在一定程度上通过分析其分布来估计价格的趋势[21]。在更详细的意义上，单个股票价格被视为一个量子谐振子，其哈密顿量Hi=P/2mi+miωiX/2是一个封闭系统，其中ωi是股票的特征振荡频率[21,29]。基态|ψ（x，t）|的概率分布不是狄拉克峰分布函数。换言之，即使股票没有外部影响，股票价格仍将是一个很小的波动不确定性。这种被揭示的现象不能用股票的经典振荡理论来解释[36]，但可以用非理性交易的不确定性来解释[29]：如果交易是完全理性的，那么股票价格应该确定（并且应该等于股票的实际价值），而交易的不合理性将带来额外的价格波动，从而导致有限的小而持久的不确定性。描述股票指数的量子力学方法自然类似于单个股票的情况：weregard将股票指数视为一个粒子，与大量单个股票（一个热储层）相互作用。因此，股票指数被视为一个系统，与一个承载着大量和声发生器的环境相结合。指数和股票之间的相互作用是纯线性的。

宏观外部的影响表1：量子封闭系统和单个股票之间的映射[21,29]。量子封闭系统单股票坐标表示Xi（对数）股票价格ln simomentium表示股票价格的趋势mid（ln si）/dt质量Mi股票的惯性能量i交易量i波动函数（振幅）|ψi（x，t）|股票价格的概率密度分布不确定性关系[x，P]=i~非理性交易的不确定性表2:量子开放系统和股票指数。量子开放系统股票指数密度算符（总体）ρA（x，x，t）股票指数势阱的概率密度分布V（x）宏观外部影响股票指数热储层ρe股票大数温度kT波动强度热储层耗散系数γ耗散强度热储层自相关系数J（ω）特征信息（如政治事件和自然灾害）通常被视为V（x）势阱。由于整个股票市场的巨大自由度，股票指数被视为一个开放系统至关重要[42]。因此，我们可以引入一个密度算子ρ=PiCi |ψiihψi |来描述股票指数。通过计算系统与环境之间交互的平均值，我们可以求解开放系统的动力学。这被称为量子主方程方法[42]。将布朗粒子视为开放系统A，将热储层视为环境E，得到哈密顿量H=HA+HE+HI=2MP+V（X）+Xi2mipi+miωixi！- XXiκixi，（2）其中κii是谐振子i和布朗粒子之间的耦合强度。我们在等式上使用quantummaster方程方法。

（2） 简单推导出Caldeira-Leggett主方程[43]ddtρA（t）=-i~[HA，ρA（t）]-iγ~[X，{P，ρA（t）}]-2MγkT~[X，[X，ρA（t）]（3）及其欧姆洛伦兹谱密度J（ω）=Piκiδ（ω）- ωi）/2miωi≈ 2π-1MγωOhm切/Ohm切+ω反映系统的自动相关功能。截止频率Ohm然而，由于这里已经使用了马尔可夫近似，所以在公式（3）中不必考虑光谱密度的变化。只有当环境的特征时间小于弛豫时间（即最大值）时，马尔可夫近似才有效{Ohm-1切，~/2πkT}<< γ-1.我们将在后面的第5节中看到OhmCut及其特殊形式出现在相应的量子布朗运动的非马尔可夫主方程中。我们注意到，量子系统和这里指定的股票市场之间的映射在数学上可能不是唯一的。从统计物理意义的角度考虑qBm（m）更有趣。一方面，外部信息V（x）影响股票指数，通过该指数，信息被传递到由大量股票组成的环境中；另一方面，股票交易对未来信息的线性响应被反馈到股票指数。物理动力学基于量子耗散定理，反映了量子开放系统与其环境之间的能量交换[44]。总之，量子系统和股票市场之间的映射如表1和表2.4所示。量子布朗运动模型的矩借助等式（3），它能够计算X和P的不同阶矩，例如方差、峰度等。为了方便起见，我们选择一阶矩hXi和hPi为零，所有物理参数为无量纲。