金融市场随机投资的微观和宏观效益

底部面板：标准普尔500指数（1989年9月11日至2012年6月29日，总天数为T=5750天）和相应的收益率系列。有关更多详细信息，请参阅文本。（a） FTSE MIB全股票指数，包括米兰交易所交易量最大的40种股票类别；（b） 标准普尔500指数，基于500家在纽约证券交易所或纳斯达克上市的大公司的市值。在图1中，我们展示了富时MIB指数（T为3684天）和标准普尔500指数（T为5750天）的时间行为及其相应的“回报”时间序列。将Fj称为给定金融指数的第j个日值，收益率定义为比率（Fj+1）- Fj）/Fj（j=1，…，T）及其重要性是因为给定时间窗口内收益的标准偏差代表了该时期市场的波动性，即一个可以定性地称为市场“动荡状态”的指标。在这方面，波动水平明显影响预测市场行为的可能性，因为它与金融系列中存在的相关性程度有关[1,70,71]。估计给定时间序列中相关性的有效方法是通过所谓的“去趋势移动平均”（DMA）技术计算与时间相关的赫斯特指数[72]。DMA算法基于以下标准的计算2018年10月6日2:19当代物理学论文CP-最终6 Taylor&Francis和I.T.ConsultantFigure 2。图1所示的两个金融市场系列的去趋势分析。左栏：THEMA标准偏差的幂律行为显示赫斯特指数在0.5左右振荡，因此平均而言，在很长一段时间内没有相关性。

右栏：两个系列的赫斯特指数的时间依赖性：在较小的时间尺度上，出现了显著的相关性。有关更多详细信息，请参阅文本。偏差σDM A（n）是沿金融序列长度T移动的时间窗口大小n的函数：σDM A（n）=vuutT- nTXj=n[Fj-~Fj（n）]，（1）式中~Fj（n）=nPn-1k=0Fj-kis是在大小为n的每个时间窗口中计算的平均值，而n允许在间隔[2，T/2]内增加。一般来说，函数σDM A（n）表现出幂律行为，其指数H正是时间序列F:if0的赫斯特指数≤ H≤ 0.5，一个具有负相关或反持续性行为，而如果0.5≤ H≤ 1一个人的行为具有正相关性或持续性。H=0.5的情况对应于一个不相关的布朗过程。在图2的左栏中，我们展示了σDM A（n）的两个对数图，它们是在CompleteT谢斯MIB和标准普尔500时间序列（灰色圆圈）上计算的，以及相应的幂律曲线∝ nH（虚线）：在这两种情况下，我们观察到赫斯特指数非常接近0.5，表明在大时间尺度上缺乏相关性。另一方面，在时间序列上逐日计算赫斯特指数的局部值时，似乎会出现0.5左右的显著振荡。图2的右栏显示了这一点，其中，通过考虑completeFTSE MIB和S&P 500系列的子集，通过大小为Ts的滑动窗口WSS，以时间步长S：在每一天j沿这些序列移动，获得了两个赫斯特指数值序列H（j）（实线），作为时间的函数∈ [0，T- s] ，我们通过用Tsin公式1替换T来计算滑动窗口WSW内的函数σDM A（n），并计算H（j）的相应值（在图2中，我们固定了Ts=1000和s=20）。

综上所述，这些结果似乎表明，相关性仅在局部时间尺度上重要，而在长期平均时，它们会相互抵消。正如我们将在下文中看到的，这一特性将影响所考虑的交易策略的表现。3.2. 交易策略和模拟结果当然，我们三个虚拟交易者的任务相对于现实来说非常简单。实际上，对于所考虑的两个时间序列，他们只需逐日预测指数Fj+1在给定日期的向上（‘看涨’）或向下（‘看跌’）运动，分别为2018年10月6日2:19当代物理学论文CP-最终当代物理学7图3。FTSE-MIB全股票指数系列的结果，分为越来越多的同等规模的交易窗口（3、9、18、30），模拟不同的时间尺度。从上到下，我们报告了时间序列的波动性、三种策略在所有窗口中的获胜百分比以及相应的标准差。最后两个量是每个窗口内10次不同的运行（事件）的平均值。很明显，与其他策略相比，随机策略在获胜方面的平均表现相似，但波动较小。有关更多详细信息，请参阅文本。对于Fjone前一天的收盘价：如果预测是正确的，我们会说他们赢了，否则他们输了。在这方面，我们假设他们完全了解指数的过去历史，但不拥有任何其他信息，也不能从市场或其他交易者那里施加或接收任何影响。

在游戏结束时，我们只会比较所有交易者获胜的百分比，这当然取决于他们采用的投资策略。三种可能的策略，每一种都由给定的交易者选择，如下所示：1）随机（RND）策略这是最简单的一种，因为相应的交易者在第j天对第二天的j+1进行“看涨”（指数上升）或“看跌”（指数下降）预测，动量（MOM）策略这是一种基于所谓的“动量”M（j）的技术策略，即Fjan值和Fj值之间的差异-吉咪，在哪JM是给定的交易间隔（以天为单位）。那么，ifM（j）=Fj- Fj-jM>0，交易者预测第二天收盘指数将上升（即预测Fj+1- Fj>0），反之亦然。在下面的模拟中，我们考虑jM=7天，因为这是动量指标最常用的时间滞后之一。见参考。[73].3）相对强度指数（RSI）策略这也是一种技术策略，但它基于一个更复杂的指标，称为“RSI”，它是衡量股票最近交易强度的指标。其定义为：RSI（j）=100-100/[1+RS（j）]，2018年10月6日2:19当代物理学论文CP-最终8 Taylor&Francis和I.T.顾问图4。标准普尔500指数系列的结果，分为越来越多的同等大小的交易窗口（3、9、18、30），模拟不同的时间尺度。从上到下，我们报告了时间序列的波动性、三种策略在所有窗口中的获胜百分比以及相应的标准差。最后两个量是每个窗口内10次不同的运行（事件）的平均值。

如图3所示，随机策略表现出良好的平均性能和较小的波动。有关更多详细信息，请参阅文本。其中RS（j，jRSI）是上一个季度出现的正回报和负回报之和之间的比率一旦计算了RSI指数，即在j日之前的一个给定时间窗内的所有天数，遵循RSI策略的交易者根据市场趋势的可能逆转做出预测，这是由原始序列和新的RSI序列之间的所谓“差异”所揭示的。在我们的简化模型中，这种差异的存在转化为差异Fj+1符号预测的变化- Fj，取决于前几天的“看涨”或“看跌”趋势。在下面的模拟中，我们选择jRSI=TRSI=14天，因为——同样地——这个值是基于inRSI的实际交易中最常用的值之一。见参考文献[73]。为了测试之前策略的性能，我们将两个时间序列（FTSE MIB和S&P 500）中的每一个都划分为一系列大小相等的Nw交易窗口，从j=0到j=T（以天为单位），并评估每个窗口内三个交易者的平均赢率（以及相应的标准偏差）。这一程序似乎是可取的，因为正如我们在图1中所看到的，所考虑的金融系列的波动性都会显著地影响，而且，正如前一小节所示，短期相关性的存在可能会在不同的时间尺度上导致不同策略的不同行为。在图3和图4中，我们展示了FTSE MIB andS&P 500系列的模拟结果。

对于四个增加的Nw值，分别等于3、9、18和30个窗口（对应于从大约5年到大约6个月的时间段），我们报告（i）每个窗口内计算的回报的波动性，（ii）winsOctober 6，2018 2:19当代物理论文CP-Final当代物理9图5的平均百分比。在Nw=30的情况下，报告了所考虑的两个市场在每个时间窗口内不同策略的获胜百分比（10个不同事件的平均值）。可见，这三种策略（自上而下：RND、MOM和RSI）的表现在一个时间窗口内可能与其他策略有很大不同，但平均而言，在整个系列中，这些差异往往会消失，并恢复到前几张图中所示的50%的常见结果。有关更多详细信息，请参阅文本。三名交易员中的一名在所有交易窗口进行了计算，以及（iii）相应的标准差。在10次不同的模拟运行中，进一步平均数量（ii）和（iii）。两个时间序列的结果得出了相同的结论：一方面，三种策略在获胜百分比方面的长期平均表现具有可比性，仅限于50%左右的窄带，另一方面，随机策略的稳定性似乎总是高于技术策略的稳定性。这些全局特征源自三个交易者的当地时间行为，在Nw=30的情况下，通过绘制他们在每个窗口内的获胜百分比，可以更好地理解这一点，如两个时间序列的图5所示。

在这里，我们看到，在一个小的时间尺度上，一个给定的策略可能比其他策略表现得更好或更差（可能只是偶然，正如塔勒布[74]所建议的那样），但这三个策略的全球表现（已在之前的图中呈现，此处用虚线表示）非常相似，接近50%。在同一个图中，我们还可以更好地看到，随机策略在平均值附近的波动如何始终小于其他策略，这意味着，从单个交易者的角度来看，随机策略的风险低于标准交易策略。但是，如果我们现在设想将随机策略的应用扩展到一个更大的互动交易者社区，投资金融市场，会发生什么？这将在下一节中讨论。4.随机策略对金融市场稳定性的宏观影响众所周知，金融市场经常经历极端事件，如“泡沫”和“崩溃”，这是由于正反馈效应导致价格突然下跌或上涨，而在正常市场环境下，负反馈机制导致价格均衡[75,76]。正反馈动态与大量投资密切相关，因为人类倾向于遵循他人的决定和行为（所谓的“羊群效应”），尤其是在不清楚什么是正确的情况下[77]。事实上，这种情况在2018年10月6日2:19《当代物理学》论文CP-Final 10 Taylor&Francis and I.T.ConsultantFigure 6中是典型的。这是一个小世界2D网络的例子，其中N=400名交易员，规模较小，但与我们在数值模拟中使用的网络类似（我们考虑N=1600名经纪人）。

不同的颜色表示在模拟开始时不同代理拥有的信息的不同值。有关更多详细信息，请参阅文本。市场，尤其是在动荡时期。值得注意的是，在这种情况下，泡沫和破裂可能达到任何大小，其概率分布遵循幂律行为[1,58,78–84]。在本节中，我们表明，假设代理之间的信息级联[85]是金融雪崩的潜在机制，通过在给定的投资金融市场的技术交易者网络上实施的自组织临界（SOC）模型，有可能获得气泡和崩溃的幂律分布。此外，我们还表明，通过引入一定比例的采用随机投资策略的交易者，有可能在一定程度上减少这些雪崩的最大规模。我们的模型受到了许多物理、生物和社会系统中观察到的SOC现象[86]的启发，特别是被提出用于研究地震动力学[81,89]的Olami Feder Christensen（OFC）模型[87,88]。在我们的实施过程中，我们通过在金融市场中观察到的大量投资来识别theOFC地震，因此我们将我们的模型称为“金融地震”（FQ）模型。4.1. 小世界2D晶格上的FQ模型让我们考虑一个小世界（SW）的无向交互交易者（代理）Ai网络（i=1，2，…，N），通过重新布线程序（重新布线概率p=0.02）从规则2D晶格（具有开放边界条件）获得，该程序将短距离链接转换为长距离链接[90]，从而保持网络的聚类特性及其平均度，即每个节点最近邻的平均数量（见图6）。在下文中，我们考虑总共N=1600个代理，平均度数<k>=4。

如前一节所述，每个代理人都可以使用特定的交易策略在特定的市场进行投资。同样，交易员可能会下注，试图猜测富时美联储或标准普尔500指数的每日看涨或看跌行为。然而，相互作用的存在确实给旧的投资机制带来了一些更新，现在必须能够考虑2018年10月6日2:19当代物理学论文CP-Final当代物理学11图7。（a） 投资于给定股票市场的西南交易者网络的“金融地震”时间序列示例（下图）。正面的级联（“气泡”）和负面的雪崩（“崩溃”）都是可见的。（b-e）小世界网络中单个金融地震的时间演化：从单个活跃交易者（b）开始，羊群激活的雪崩（白色）迅速到达网络的不同部分（c-d-e），这得益于远程连接的存在。有关更多详细信息，请参阅文本。放牧影响的可能性。为此，我们设想，在每个模拟时间t，所有代理都有一定数量的关于所考虑市场的信息Ii（t）。最初，在t=0时，它假设区间（0，Ith）中有一个随机值，其中Ith=1.0是所有交易者的任意阈值。当模拟开始时，即t>0时，信息可能会因以下两种机制而改变。-第一个变量是全局变量：由于外部公共信息来源，所有变量Ii（t）同时增加一个数量δIi，每个代理不同，并在区间[0，（i）内随机抽取- Imax（t））]，其中Imax（t）=max{Ii（t）}是时间t时代理信息的最大值。

如果，在给定的时间步t*, 信息Ik（t）*) 一个或多个代理{Ak}k=1，。。。，当超过阈值时，这些代理人变得“活跃”，并做出投资决定，即他们押注于给定金融指数Fj的行为，与Fj的前一天相比-1.-第二个是本地的，取决于网络的拓扑结构：当他们投资市场时，所有活跃的交易者{Ak}k=1，。。。，Kwill还根据以下受OFC地震模型中应力传播启发的羊群机制，与邻居分享他们的信息：Ik>Ith=>Ik→ 0号酒店→ Inn+αNnnIk（2）2018年10月6日2:19当代物理学论文CP-最终12 Taylor&Francis和I.T.顾问图8。FTSE MIB指数（顶部面板）和标准普尔500指数（底部面板）在小世界（SW）投资者群体中发生的羊群雪崩规模的绝对值分布，有无随机交易者。每条曲线累积了10个不同的事件。在没有随机交易者的情况下，即只有RSI交易者（圆圈），分布遵循明确的幂律行为。另一方面，随着随机交易者数量的增加，尤其是当百分比为5%（正方形）和10%（三角形）时，分布趋于指数分布。有关更多详细信息，请参阅文本。其中，“nn”表示代理的最近邻居集，nn表示她的直接邻居数。当然，邻居在收到这些过剩的本地信息后，超过了他们的阈值，也变得活跃起来，并将模仿Ak代理的投资进行投资。反过来，他们也会将自己的信息传递给邻居，从而激活一个积极的反馈过程，这可能会产生大量相同的投资，即。