军事联盟、战争和国际贸易网络

要么我可以切断它违反[S3]的链接，要么≥ 2.在那些有联系的国家中，我是最强的，而派系最多是成对的）。如果我切断了与盟友j的联系，一定有某个国家k没有任何联系可以击败我。然而，通过加入ik，他们将击败j（因为j不比我强，当k是唯一的k时，我将被k击败），违反[S3]。我们现在专门研究关于CN案件的剩余证据的同等强度。索赔2。不存在最大度小于3的非空CN战争稳定网络。权利要求2的证明：给定权利要求1，考虑最大度为2的网络g。首先，考虑γ≥ 2考虑到最大的集团规模为3和γ≥ 2，那么一个拥有2级学位的i级国家可以切断其一个联系，而不易受到CN攻击（其剩余盟友不能是任何规模超过2级的集团的一部分），任何规模为3级的集团都无法击败i级国家及其剩余盟友。因此，如果最高学位为2，则没有国家拥有2级学位，这是一个矛盾。所以，考虑γ<2的情况，考虑一个国家i和链接ij∈ g和ik∈ g、 不可能是jk∈ g，否则jk可以击败i，违反[S1]。类似地，如果jk/∈ 然后，通过添加链接jk将击败i[S2]。所以，我们又得出了一个矛盾。因此，最大度数必须至少为三。索赔3。考虑最大程度的i和一些ij∈ g、 存在C∈ C（g）- ij）这样的γ<M（C）M（i）∪ （倪（g）- ij）∩ Cc））（5）以及每一个这样的C∩ Ni（g）- ij）6= 而我/∈ C和j/∈ C.权利要求3的证据：我们从[S3]中知道存在C∈ C（g）- j）使得γ<M（C）M（i∪ （倪（g）- ij）∩ Cc）。假设有些这样的C有C∩ Ni（g）- ij）=. 这意味着| C |>γdi，并且由于γ≥ 1和dii最大，这意味着| C |=di+1。

然而，这是一个矛盾，因为除了一个C成员之外，其他所有成员都可以击败剩下的一个成员（这个成员必须拥有学位，因此只与C的其他成员有联系）。鉴于|C |=di+1>γdiand di≥ 1.因此，任何C∈ C∈ C（g）- 满足必须满足∩ Ni（g）- ij）6=. 事实是我/∈ C是定义，而j/∈ C表示否则我们将违反[S1]（因为在ij存在的情况下，C将在网络g中击败i）。索赔4。考虑最大程度的i和一些ij∈ g、 考虑一下C∈ C（g）- ij）这样的γ<M（C）M（i）∪ （倪（g）- ij）∩ Cc）。下面是C Ni（g）和| C |=dγdi1+γe和|C |>γdi1+γ。此外，对于任何C∈ C（g）与i/∈ C、 |（C）∩ Ni（g））|≤ dγdi1+γe.权利要求4的证明：设x=|C∩ Ni（g）|，设y=|C∩ Ni（g）c |是与i无关的c的成员数。然后γ<M（c）M（i）∪（倪（g）-ij）∩Cc）表示x+y>γ（1+di- 1.- x） =γ（di）- x） 。（6） 让k∈ C∩ Ni（g）（通过权利要求3）。[S1]意味着C的其余成员无法击败K，因此：x+y- 1.≤ γ（dk+1）- （x+y）- 1)).事实上，dk≤ di（i是最大度）和上述两个不等式意味着γ（di- 十）- 1<γ（di+2）- 十、- y） ，或γ（y）- 2) < 1. 考虑到γ≥ 1和y是一个整数，γ（y- 2） <1意味着y≤ 2.现在，让我们来论证y=0。相反，假设y=2（类似的参数将显示y=6=1）。让我们来看一下C中的国家∩ Ni（g）c.考虑网络g+ik和c=（c\\{k}）的集团∪ {i} ，注意| C |=|C |。用y=2，x=C，乘以（6）- 我们知道| C |>γ（di- （|C|- 2)). 但是，因为我有最大degreeNote，这意味着γdi1+γ不能是整数。和| C |=|C |，由此得出|C |>γ（dk- |C |+2）。然而，这与[S2]相矛盾，因为i和KC可以形成联系，由此产生的集团CDEFK。

（为了证明y6=1，假设C中的任何国家都不等于k。）接下来，使用（6）和y=0，x（1+γ）>γdiorx>γdi1+γ。考虑到γ≥ 1和x是一个整数，这意味着x=|C |≥ dγdi1+γe.（7）要查看索赔的最后一部分，让z=|（C）∩Ni（g）\\{i}|。由[S1]（C未击败i）：z≤ |C|≤ γ（di+1）- z） 还有索兹≤γ（di+1）1+γ，假设z是一个整数，这意味着z=|（C）∩ Ni（g）\\{i}|≤ dγdi1+γe.如权利要求所述。然后，权利要求的第二部分源自权利要求的最后部分和（7）。索赔5。考虑最大度的i和ij∈ g、 一定是ni（g）\\{j}6=Nj（g）\\{i}。权利要求5的证据：考虑最大程度的i和一些ij∈ g、 根据权利要求3，存在C∈ C（g）- j）使得γ<M（C）M（i∪ （倪（g）- ij）∩ Cc））（8）以及每一个这样的C∩ Ni（g）- ij）6= 而我/∈ C和j/∈ C.根据权利要求4，C Ni（g）- ij）。如果Ni（g）\\{j}=Nj（g）\\{i}，那么C∪ {j} 也是一个集团。但是| C∪ {j} |>|C |，我们违反了权利要求4的最后一部分。索赔6。不存在非空的CN战争稳定网络（当≥ 1.权利要求的证明6：让我达到最大程度。为了满足[S3]，对于每个j∈ Ni（g）存在Cj∈ C（g）使得γ<M（Cj）M（i∪ （倪（g）- ij）∩ （Ccj））。此外，根据权利要求3，可以认为每个CJ位于C（g）中- ij）。根据权利要求4，每一个这样的Cj都是这样的Cj Ni（g）和| Cj |=dγdi1+γe>di。此外，根据权利要求4，每个j∈ Ni（g），∪Cj3jCj6=Ni（g）。这是因为i是最大度的，否则这意味着Nj（g）\\{i}=Ni\\{j}，这与权利要求5相矛盾。因此，为Ni（g）中的每个j寻找这样的集合cj就成了下面的组合数学问题：创建一个集合M={1，2，…，di}的子集{C，C，…，CS}，使得：1。Cs，|Cs |=x>d，2。J∈ MCSJ/∈ Cs，3。J∈ M∪Cs3jCs6=M，和4。

6.D 我是这样的{k，j} DCs使得{k，j} Csand | D |>x.4源于权利要求4，否则D将是一个比x=Dγdi1+γe大的集团。我们现在证明，这样的子集集合是不可能的。为了做到这一点，我们从设定开始，看看当我们考虑每一个额外的C时，会有什么影响，最终导致一个矛盾。为了便于参考，我们介绍了三个新的集合系列：{Ws}Ss=1、{Ys}Ss=1和{Zs}Ss=1。Ws是M的元素集合，这些元素至少在集合C，Cs（即Ws=∪si=1Cs）。i是M的元素集，这些元素是C，Cs（即Ys=∩si=1Cs）。这些元素中没有一个是，Cs（即Zs=M\\Ws）。现在让我们完成证明。注意，如果满足1-4的子集{C，…，CS}存在，那么YS= 从第2点开始，因为M的每个元素都有一些不包含的CST。还要注意的是，每增加一个Cs，Ws（弱）就变大，而YSANDZ（弱）就变小。为了完成证明，我们证明| Ys-1\\Ys|≤ |Zs-1\\Zs |和|Y |>|Z |。这些加在一起意味着YS6=, 这就是矛盾。我们从Y=W=C开始。因此，|Y |=|W |=x>di- x=|Z |因为x>di。那么，让我们展示一下| Ys-1\\Ys|≤ |Zs-1\\Zs |。在随后每次添加Cs时，所有Cs∩ Y-1=Ys-1或Cs∩ Y-1美元-1.在第一种情况下，结果直接由定义Ys+1=Y和0得出≤ |Zs-1\\Zs |。因此，考虑第二种情况。在第二种情况下，我们证明| Ys-1| - |Y-1.∩ Cs|≤ |Zs-1\\Zs |。让A=Ys-1\\y是j∈ ∩s-1i=1Cibut j/∈ 反恐精英。我们证明| Cs∩ Zs-1| ≥ |A |-也就是说，Cs包含的元素不在任何Cs，s<s中，至少与不在每个Cs，s<s但不在Cs中的元素一样多（这建立了我们的结果，因为| Cs∩ Zs-1 |=| Zs-1\\Zs |）。要明白这一点，假设这不是真的。

也就是说，假设| Cs∩ Zs-1 |<|A |。然后，我们将设置D=（Cs\\Zs）-1) ∪ 一个大小至少为x+1且与4相矛盾的。要确保大小至少为x+1，请注意，假设CSA有x个成员；通过排除Cs与Zs之间的冲突-1.我们最多排除| A |- 1 Cs的成员，并在A的| A |元素中添加。要确保D满足4的条件，请注意任意一对元素k，j这两个元素都将满足{k，j}∈ C.同样，Cs\\Zs中的任意一对元素k，jboth-1将满足{k，j}∈ 反恐精英。最后，任意一对元素k，j和k∈ A、 j∈ （Cs\\Zs）-1） \\A将满足{k，j}∈ Cs对于一些s<s，因为k在所有这样的Cs中∈ Cs\\Zs-1. Ws-1，j至少在一个这样的Cs中。因此，我们找到了一组至少为tx+1的大小，满足第4点的限制。这一矛盾确立了满足组合数学问题的不可能性，从而证明了这一主张。因此，我们证明了当γ≥ 1.定理的最后一部分，即如果γ<2，则不存在CN-war稳定网络，这是因为如果γ<2，则空网络无法满足[S2]（但如果γ满足它）≥ 2） ，正如已经确定的那样。定理3的证明：我们应用命题1。很明显，任何被破坏的网络*规则是成对稳定的。因此，我们只需要表明，没有任何国家是脆弱的，而且在增加任何联系后，这一点仍然是正确的。在本文的第一部分，我们还需要证明，不管δE（·）对于至少一些d，这都是正确的*常规网络。

对于命题的第二部分，我们需要证明在给定的E（·）假设下这是正确的，但对于任何d*常规网络。首先，请注意，没有一个国家i容易受到任何不包括其任何邻国的联盟C的攻击（即使这来自于添加一个不涉及任何邻国的链接），因为根据定理γ的任何一部分≥D*+1d*-1> d*+二维*+1.因此，我们只需要验证至少涉及一个邻居的联盟的脆弱性，并且可能涉及添加链接。因此，考虑一个国家i和一个至少有一个邻国参与的联盟C。根据该定理的第一部分，联盟的最大强度（包括添加链接）为d*+ 2（如果该中心不是我的邻居之一），那么辩护联盟将至少涉及d*- k成员，或者中心是我的邻居之一，在这种情况下，力量最多是d*+ 1.辩护至少涉及d*- K- 1名成员。吉文瑟特γ≥D*+1d*-K-1，可以得出γ≥D*+二维*-k、 所以我在这两种情况下都不脆弱。根据定理的第二部分，如果C中i的任何一个邻居仍然只有YD*链接，然后是sinceE（d*)≤ f（d）*) - f（d）*- 1) - c、 而进攻联盟必须至少涉及两个国家（考虑到γ和我至少要自卫），那么这个国家将不愿意继续攻击i，因为它将失去联系。因此，联盟C中的所有i的邻居必须获得联系。

这意味着联合最多涉及i的两个邻居，但之后≥D*+1d*-1.≥D*+二维*, 进攻联盟无法击败i及其剩余的邻国，无论它是否涉及ofi的一个或两个邻国。9附录：联盟网络快照：1815至2000图5：联盟网络，1815年，红色代表多边联盟，灰色代表双边联盟，绿色代表双方图6：联盟网络，1855年，红色代表多边联盟，灰色代表双边联盟，绿色代表双方图7：联盟网络，1910年，红色代表多边联盟，灰色代表双边联盟，绿色代表双方图8：联盟网络，1940年，红色代表多边联盟，灰色代表双边联盟，绿色代表双方图9：联盟网络，1960年，红色代表多边联盟，灰色代表双边联盟，绿色代表双方图10：联盟网络，2000年，红色代表多边联盟，灰色代表双边联盟，绿色代表双方图11：稳定的联盟网络图12：国家1及其联盟的特写，用于在线发布-补充材料：CN脆弱性下的稳定性为了说明脚注30中的观点，图11显示了γ<1 CN脆弱性时的战争稳定配置。图12是图11的一个子图，重点关注国家1、其邻国以及所涉及的派系（注意，12个国家中的每个国家在更大的网络中都有3个其他邻国，每对国家一个来自1-2-3-4派系，另一个来自1-5-9-13派系，共用一个邻居）。网络是同构的，因此国家1完全代表了所有国家面临的问题。可以很容易地验证，如果≥.

例如，如果国家1被2,3,4攻击，它将被5,9,13防御，因此将有3名攻击者和4名防御者（计算1），防御者将获胜≥. 如果1的邻居之外的任何其他派系攻击1，他们将面临7名捍卫者，因此也将失败。很容易检查网络是否稳定，以防添加新链接，因为添加新链接不会增加任何集团的规模，只会添加新的一对，而且在攻击任何国家时，两人都无法获胜。因此，[S2]很容易检查。因此，仍需检查[S3]。如果国家1放弃其一个链接，例如与国家2的链接，则如果γ<1，则该国将处于易受攻击状态（国家1可能会受到国家5、9和13的攻击，并且只有国家3和4的防御）。由于其他任何国家都可以提出类似的论点（因此[S3]对整个网络是满意的），如果γ∈ [，1），网络是稳定的。通过让国家成为更多独立派系的一部分，可以为更低的γs构建类似的例子。例如，让每个国家成为3个大小为4的独立派系的一部分（在图11的右侧和每个国家再添加一个派系）将导致γ的稳定网络∈ [，）。通过改变派系的大小和每个国家参与的派系的数量，即使是任意小的γs非空网络也可以找到足够大的n。命题2.考虑任何γ<1和均匀强度的情况，其中Mi=Mi、 存在一个足够大的网络，使得在网络脆弱性下存在一个非空的战争稳定网络，其中每个国家至少有一个联盟。命题2与定理2形成了有趣的对比。

凭借有效优势，CN脆弱性下存在稳定的网络，因为有效优势为各国提供了维持关系的激励，作为一种威慑，在有防御优势的情况下，它们可能会切断这种关系。命题2的证明：我们通过构建一个网络来证明，每个国家都是两个集团的成员，每个集团的规模为4，而我是两个集团中唯一的国家。此外，我们还让我有了一个新的邻居，他们之间没有任何联系，也没有联系到我所在的派系中的其他国家。所需的国家数量将为32a。从16个国家的网络开始，每个国家都有两个规模为4的集团。要构造它，请复制四份k（4个顶点上的完整网络）。在每一份k中，标注国家1至4。然后，将所有标记为1的国家相互连接，所有标记为2的国家相互连接，依此类推。为了构建最终的网络g，将该网络覆盖16个国家，任意将这些国家重新标记为“a”到“p”（第16个字母）。然后，在16个国家/地区创建网络的2a副本，将每个副本编号为1到2a。按（第一个网络中位置的编号，第二个网络中位置的字母）标记每个顶点。将有32a标签，从（1，a）到（32a，p）。现在，将每个国家与所有其他国家联系起来，这些国家在数量均等方面达成了更好的一致，但存在差异（例如，将（1，a）与（3，a）、（5，a）连接起来，等等；因此，同一字母的每个国家子集构成了一个a-正规网络，没有超过2个的派系。在这个最终的网络中，只有大小为4（在起始网络的副本中）和大小为2的派系。此外，向该网络添加任何链接都可以在most3上创建一个新的规模集团，涉及任何给定国家的邻国不超过2个。

由于每个国家都可能受到由三个邻国组成的集团的威胁，我们可以放心地忽略对任何国家在g+ij中都不易受伤害这一要求的限制。没有哪个国家是脆弱的，我们需要γ≥4+a（我可以被我所在的4号集团中的3个邻居攻击，我的另一个4号集团中的邻居以及其他邻居为我辩护）。为了防止我想要删除一个链接，我们需要γ<3+a。结合，我们需要γ∈ [4+a，3+a）。对于a=0，这个区间是[，1）。重新安排区间，我们需要γ∈ （1+a，+a），因此对于任何γ<1，我们可以取满足a<γ的最大值- 3.满足下限，然后满足上限。9.1 CN脆弱性下的异质军事实力尽管我们无法找到任何在以下情况下CN脆弱性下非空战争稳定网络的例子：≥ 1.假设结果普遍推广，似乎很难证明。定理2证明的复杂性表明它涉及逻辑。该证明的部分内容本质上是组合的，不能直接推广到不对称性。尽管如此，我们可以证明定理2中的CN结果是稳健的，因为它在一个开放的邻域中围绕着相等的军事力量，对任何（不相等的）军事力量都是稳健的。开放社区能否扩展到全套社区的问题仍然悬而未决。如果不存在任何m+m的正整数和mf，则γ具有相对于n的无联系性质≤ n和m=γm。这显然是一个通用属性，因为它直接适用于γ的所有无理水平，以及许多有理水平，以及一组完整的值。定理4。让n≥ 3.考虑γ，它满足与n和一些基本军事力量M相关的无联系性质。