多尺度非高斯随机金融模型的收敛性

，Wn）和Z是独立的，分别是标准的n维布朗运动和纯跳跃L’evy过程，L’e vy度量满足假设1、2、3。我们在这里考虑的问题是，一个非负的效用函数g给出的欧式期权的定价取决于到期时间T的基础Xiand。根据风险中性理论，为了确定无套利衍生品价格，我们必须使用等价的鞅测度Q，在该测度下，贴现股票价格为e-rtXi（t）是鞅，其中r是贷款或bor划船资金的内在利率。然而，我们假设[14]中的过程Z r在等价鞅测度Q下保持不变。因此，在风险中性概率Q下，系统（47）写道：dXi（t）=rXi（t）dt+√2Xi（t）σi（Yε（t））dWi，Q（t），i=1，n、 dYε（t）=-εYε（t）dt+dZ（tε）。（48）在这种情况下，欧洲合同没有公式vε（t，x，y）：=EQ[ec（t）给出的套利价格-T）g（X（T））| Xi（T）=Xi，Yε（T）=Y]，0≤ T≤ T（49），其中c>0，支付函数g满足（7）。与价格函数相关的（线性）HJB等式为-Vεt-Pni=1xiσi（y）Vεxixi- rx·DxVε-εL[y，Vε]+cVε=0 in（0，T）×IRn+×IR，Vε（T，x，y）=g（x）in in+×IR，（50），其中L如（11）所示。由于满足所有假设，收敛定理成立，价格Vε（t，x，y）局部一致收敛，如ε→ 对于极限方程的唯一粘度解V（t，x）-及物动词-Pni=1xiRIRσi（y）u（dy）Vεxixi- rx·DxV+cV=0in（0，T）×IRN+，V（T，x）=g（x），inIRN+。（51）那么V可以表示为V（t，x）：=EQ[ec（t-T）g（X（T））|X（T）=X]，0≤ T≤ T、 （52）其中x（T）满足平均有效系统dxi（T）=rXi（T）dt+√2σiXi（t）dWi，Q（t），（53）其（常数）波动率σi为第i个集合σi的所谓平均历史波动率：=ZIRσi（y）u（dy）.

（54）因此定价问题的极限为ε→ 0是有效系统的一个新定价问题（53）。备注7.1。在（47）中选择对角线矩阵σ只是为了不简化计算。正如在前面的章节和[4]中，我们可以将（47）中的术语σi（Yε（t））dWi（t）替换为n×r矩阵σ的σ（Yε（t））dW（t）的i-th分量，因此允许布朗运动中作用于不同资产价格的分量相互关联。在这种情况下，我们找到了一个有效矩阵σ，从而σσT=RIRσ（y）σT（y）u（dy）。7.2默顿投资组合优化问题7。2.1在快速振荡随机波动率的假设下，收敛结果考虑了金融领域的另一个经典问题，即默顿最优投资组合配置。我们考虑一个金融市场，由一个非风险资产S根据确定性方程D（t）=rS（t）dt（r>0）演化而成，以及n个风险资产Xi（t）根据随机系统演化而成（47）。我们用W表示投资者的财富。投资政策（将作为控制输入）由一个渐进可测量的过程u定义，该过程u取一个紧凑的集合u中的值，Ut代表t时投资于资产Xi（t）的财富比例。然后，财富过程根据以下系统演化：dW（t）=W（t）r+Pni=1（（αi）- r） ui（t））dt+√2W（t）PNi=1ui（t）σi（Yε（t））dW（t），dYε（t）=-εYε（t）dt+dZ（tε）（55），其中W（t）=W>0。默顿的问题在于选择一种策略u，该策略在某个时刻T使给定的效用函数g最大化。

特别是，这个问题不能用值函数vε（t，w，y）：=supu来描述。∈UE[g（W（T））|W（T）=W，Yε（T）=Y]。通常，金融应用中的效用函数是在HARA（双曲线溶质风险规避）函数g（w）=a（bw+c）γ类中选择的，其中a、b、c ar e常数和γ∈ （0，1）是一个给定的系数，称为相对风险溢价系数。与默顿值函数相关的HJB方程为- Vεt+HM（w，y，DwVε，DwwVε）-εL[y，Vε]=0，in（0，T）×IR+×IR，与终端条件Vε（T，w，y）=g（w）互补。积分微分算子（1/ε）L是过程Yε的单位生成器，L如（11）所示，而hm（w，Y，p，X）定义为asHM（w，Y，p，X）=min∈U-nXi=1uiσi（y）！wX-“r+nXi=1（αi- r） ui#wp.我们的主要定理在这种情况下应用了lso，并说明值函数Vε局部一致收敛于极限问题的唯一解-Vt+RIRHM（w，y，DwV，DwwV）u（dy）=0表示t∈ （0，T），w>0，V（T，w）=g（w）对于w>0，（56），其中u是与快速子系统相关联的不变分布。L’evy过程框架中的这种收敛结果在文献中是新的，并且扩展和补充了[4]中关于布朗运动驱动的快速波动过程的结果。备注7.2。如前一节备注7.1所示，我们可以允许作用于不同资产的no-ISE之间的相关性，如第[4]节所述。6.2.7.2.2有效的默顿问题接下来，我们想将（5.6）中的有效PDE解释为适当有效控制问题的HJB方程，比备注6.3中描述的一般方程更简单。为了简单起见，我们仅限于单一风险资产的情况，即n=1。

财富的方程式为W（t）=W（t）（r+（α）- r） u（t））dt+√2W（t）u（t）σ（Yε（t））dW（t），α>r，Vε的HJB方程为- Vεt- 马苏∈Unuσ（y）wVεww+[r+（α- r） u]wVεwo=εL[y，Vε]。（57）因此（56）中的有效PDE为- 及物动词- rwVw-齐尔马许∈Unuσ（y）wVww+（α）- r） uwVwou（dy）=0。（58）现在我们假设效用函数g随着g′的<0而增加和凹。然后，我们预计，在初始财富w中，随着Vww<0，s解V也在增加。在这种情况下，（57）和（58）中括号中的表达式是u中的凹抛物线la，如果哈密顿量的最大值在u的内部达到，则很容易计算，例如。，如果你很大。然后，至少在形式上，得到HM（w，y，p，X）=（α）- r） p4σ（y）x，有效PDE（58）变为- 及物动词- rwVw+ZRσ（y）u（dy）（α）- r） Vw4Vww=0。这是恒定波动率σ>0的默顿问题的HJB方程，其中财富动力学为W（t）=W（t）（r+（α）- r） u（t））dt+√2W（t）u（t）σdW（t），（59）当且仅当σ：=ZIRσ（y）u（dy）-. （60）因此，如果我们将其视为具有快速遍历随机波动性的模式l的近似值，那么这是在具有恒定波动性的默顿模型中使用的正确参数。我们可以解决有效的默顿问题。我们指出，默顿问题的有效波动率σ是和谐平均的长期波动率，它小于通常的平均历史波动率σ：=ZIRσ（y）u（dy）在非受控系统中，参见第7.1节。因此，在模型中使用正确的参数σ会导致价值函数的增加，即最优预期效用的增加。7.2.3 HARA效用的解决方案在某些情况下，有效方程（56）的柯西问题无法明确解决，这也为有效波动率的公式（60）提供了更严格的推导。

让我们把控制u（t）的内值作为约束：=[R，R]，带-R≤ R≤ 0<R，作为终端成本，HARA函数g（w）=awγγ，0<γ<1，a>0。由于终端条件现在是V（T，w）=awγ/γ，我们寻找形式V（T，w）=wγV（T）与V（T）的解≥ 0.通过将其插入柯西函数m中，我们得到˙v=-γhv，v（T）=a，h:=r+ZIRmaxu∈U(α -r） u+（γ）- 1） σ（y）uu（dy）。因此，解的唯一性为sv（t，w）=a表达式γ′h（t- t） 我们计算指数增长率h和geth=r+Z{y:2R（1）-γ） σ（y）<α-r}(α - r） r+（γ）- 1） Rσ（y）u（dy）+Z{y:2R（1）-γ） σ（y）≥α-r} （α）- r） 4（1）- γ） σ（y）u（dy）。如果集合{y:2R（1）的u-概率- γ） σ（y）≥ α - r} 为1，例如，对于控件上的大上界r。实际上我们得到了h=r+（α）- r） 4（1）- γ） ZIRσ（y）u（dy）。对于h的这个表达式，（61）给出的函数V与经典的默顿公式一致，该公式解决了常数波动率σ>0的问题（对于2R（1- γ)σ ≥ α - r） 当且仅当σ由（60）给出，即V（t，w）=a expnγr+（α）- r） 4（1）- γ)σ（T）- t） 哎哟。感谢Carlo Sgarra为我们指出了关于随机波动非高斯模型的文献，并感谢Tizia no Vargiolu对L’evy过程进行了全面讨论。这项研究的主要结果也发表在第三作者的硕士论文中，该论文于2014年2月发表。参考文献[1]O.Alvarez，M.Bardi:确定性与随机控制中奇异摄动的粘性解方法，暹罗J.控制与优化。40 (2001/02), 1159–118 8.[2] O.Alvarez，M.Bardi，退化抛物型偏微分方程的奇异摄动：一般收敛结果，Arch。机械比率。《肛门》17017-612003。[3] 巴迪先生，我。

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