多尺度非高斯随机金融模型的收敛性

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英文标题：
《Convergence in Multiscale Financial Models with Non-Gaussian Stochastic
  Volatility》
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作者：
Martino Bardi, Annalisa Cesaroni, Andrea Scotti
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We consider stochastic control systems affected by a fast mean reverting volatility $Y(t)$ driven by a pure jump L\\\'evy process. Motivated by a large literature on financial models, we assume that $Y(t)$ evolves at a faster time scale $\\frac{t}{\\varepsilon}$ than the assets, and we study the asymptotics as $\\varepsilon\\to 0$. This is a singular perturbation problem that we study mostly by PDE methods within the theory of viscosity solutions.
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中文摘要：
我们考虑随机控制系统受快速均值回复波动率$Y（t）$的影响，该波动率由纯跳跃L趵evy过程驱动。受大量金融模型文献的启发，我们假设$Y（t）$的时间尺度$\\frac{t}{\\varepsilon}$比资产的时间尺度$\\frac{t}{\\varepsilon}$发展得更快，我们研究了$\\varepsilon\\到0$的渐近性。这是一个奇异摄动问题，我们主要用粘性解理论中的偏微分方程方法来研究。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Convergence_in_Multiscale_Financial_Models_with_Non-Gaussian_Stochastic_Volatility.pdf (297.46 KB)

2022-5-6 06:20:34 上传

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关键词：金融模型 随机金融 Perturbation Applications Differential

具有非高斯随机波动率的多尺度金融模型的收敛性。+马蒂诺·巴迪*, 安娜莉莎·塞萨罗尼*, 安德里亚·斯科蒂*摘要我们考虑随机控制系统受快速均值回复波动率Y（t）的影响，该波动率Y（t）由pu-re跳跃L’evy过程驱动。基于大量关于财务模型的文献，我们假设Y（t）在时间尺度t/t上的演化速度快于资产，并且我们研究了作为→ 这是一个奇异摄动问题，我们主要在粘性解理论中用偏微分方法研究。关键词：单扰动，随机波动，跳跃过程，粘性解，H-amilton-Jacobi-Bellman方程，投资组合优化。1引言我们考虑IRn+1（dX（s）=f（X（s），Yε（s）中的受控随机微分系统-), u（s））ds+σ（X（s），Yε（s-), u（s））dW（s）dYε（s）=-εYε（s）-)ds+dZεs（1） 和s≥ t和初始数据X（t）=X∈ IRn，Yε（t）=Y∈ IR。函数u（·）是给定紧集u中的控制值，ε>0是一个小参数，W是标准的r维布朗运动，Z是一维纯跳跃L′evi过程，与W无关。我们将形式[ec（t）]的支付功能与该系统联系起来-T）g（X（T））|X（T）=X，Yε（T）=Y]，0≤ T≤ T、 c在哪里≥ 0和g:IRn→ IR是一个具有二次增长的连续函数，我们希望在容许控制函数u（·）中使其最大化。该最优控制问题的值函数定义为asVε（t，x，y）：=supu（·）E[ec（t-T）g（X（T））]。（2） 我们对极限ε的分析感兴趣→ 系统（1）和值函数（2）给出的控制问题的0。我们的主要动机来自具有随机波动性的金融模型。例如，在这种模型中，x（s）代表n项资产的对数价格，或一个投资组合的财富。

在矩阵σ中收集的资产的波动性受到另一个过程Y的影响，该过程通常由另一个布朗运动驱动，与驱动股价的布朗运动负相关。Fouque、Papanicolaou和Sircar在书[14]中指出，金融市场中观察到的波动性的突变行为可以通过引入更快的时间尺度来描述均值回复差异过程。沿着这些路线发现了一些结果，主要是针对*意大利帕多瓦大学Matematica分校，途经意大利帕多瓦市Tri este 6335121号(bardi@math.unipd.it,acesar@math.unipd.it安德里亚。scotti@studenti.unipd.it).+部分受基金会CaRiPaRo项目“非线性偏微分方程：模型、分析和控制理论问题”和欧洲项目Marie Curie ITN“SADCO-确定性控制器设计的灵敏度分析”的支持。没有控制的问题，例如[15,16,17]中的问题，另请参见其中的参考s。前两位作者的论文[4,5]介绍了粘性方法，以证明涉及控制变量的模型奇异摄动的收敛性，因此与完全非线性的Milton-Jaco-bi-Bellman方程有关。[4]中的主要例子是经典的Merton’s portfoliooptimization问题，其波动性取决于遍历扩散过程。另一方面，Barndor ff-Nielsen和Shephard[8]的研究表明，由纯跳跃过程驱动的Ornstein-Uhlenbeck型过程比微分更适合于波动性模型。几位作者研究了非高斯回复随机波动率在同一时间尺度上演变的金融问题，如价格：默顿问题[9]和[24,21,20]中的各种期权定价问题。

本文的创新之处在于将多重随机波动与跳跃结合起来。特别是，我们将[4]中得到的资产定价和默顿问题的收敛结果推广到了这种情况。为了总结本文的书目介绍，我们参考了文献[28]中关于列维过程的理论，以及[11]中关于它们在财务上的应用。我们还要提到，最近的论文[23]讨论了一个多尺度模型，其假设在某种意义上与我们的假设相反：波动性是一种差异，慢变量X由跳跃过程s驱动。我们现在更详细地描述了我们的结果。根据动态规划参数[25,31]，值函数Vε在（2）中是积分微分Hamilton-Jacobi-Bellman方程的粘性解- Vεt+H（x，y，DxVε，DxVε）-εy·DyVε（3）-εZ+∞（Vε（t，x，z+y）- Vε（t，x，y）- DyVε（t，x，y）·z1 | z|≤1） dν（z）+cVε=0in（0，T）×IRn×IR，终端数据Vε（T，x，y）=g（x），其中eν是与过程z相关的L′evy度量，H是与随机控制问题相关的标准哈密顿量，参见第4节中的精确定义（28）。让ε→ （3）中的0是一个奇异摄动问题，我们用积分微分方程粘性解理论的方法来处理它。我们的主要结果，见Theo rem 6.1，是Vε作为ε的一致收敛性的证明→ 0至有效PDE的唯一粘度溶液V（t，x）- Vt+ZIRH（x，y，DxV，DxV）du（y）+cV=0（4）in（0，T）×IRn，终端数据V（T，x）=g（x），其中u是过程yε的唯一不变度量（与ε无关，见命题3.7），H是哈密顿量（3）。解决奇异扰动问题的第二步是将效应方程（4）解释为极限效应控制问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程。

这可以通过[6]中的一般放松程序来实现（备注6.3）。然而，对于我们的两个主要模型，即资产定价和默顿优化问题，可以给出有效系统的简单而明确的表示，见第7节。特别是在极限ε→ 0资产定价问题转化为具有恒定波动率的新资产定价σ：=ZIRσ（y）u（dy），其中u是过程yε的不变度量，而投资组合优化则收敛于具有恒定波动率的默顿问题，由σ（y）的调和平均数给出，即σ：=ZIRσ（y）u（dy）-1，它小于√σ。我们的结果的证明依赖于几种工具，其中我们提到了Kulik[22]证明的快速过程Y的指数随机性，积分微分方程的粘性解的一些性质[29,25,7,10]，以及Evans为周期均匀化[13]引入的扰动测试函数方法，并在[1,2]中推广到奇异扰动。为了使这种方法适应无界快速变量y的当前设置，我们通过与过程s y相关联的李雅普诺夫函数适当地修改了扰动测试函数（这也是对[4,5]的改进）。我们的方法足够灵活，可以处理更一般的问题，例如积分支付和慢变量X，这也取决于跳跃过程（在数据更严格的增长条件下）。此外，可以假设快速变量Y是矢量的，取决于跳跃和扩散过程的组合，前提是生成过程是统一的，且其生成器满足强最大值原理。

最后一个要求是对我们方法适用性的限制：如果在过程Z上进行测试，其L’evy测量值为νhassupp（ν） [0, +∞) 它迫使我们假设|≤1 | z |ν（dz）=+∞,而相反的情况则被处理，例如[9]。另一方面，分数拉普拉斯函数产生的所有过程Z都符合我们的假设。论文的结构如下。第2节描述了最优控制问题的基本假设。第3节专门讨论了波动过程Y及其性质的假设，特别是指数遍历性和ge发电机的强极大值原理和Liouville性质。第4节描述了与Vε相关的部分积分微分HJB方程。在第5节中，我们研究了允许确定极限偏微分方程有效哈密顿量的单元问题。第六节是收敛定理的陈述和证明。第七章我们将先验理论应用于财务模型。2.关于控制系统的假设我们考虑受控随机微分方程（dX（s）=f（X（s），Yε（s-), u（s））ds+σ（X（s），Yε（s-), u（s）dW（s）X（t）=X∈ IRndYε（s）=-εYε（s）-)ds+dZεsYε（t）∈ IR（5），其中ε>0是一个小参数，W（t）=（W（t），Wr（t））是r维布朗运动，Z（t）是纯跳跃L`evy过程。此外，我们假设W和Z是独立的。我们假设系数f:IRn×IR×U的标准条件→ IRn，σ：IRn×IR×U→Mn，r，其中Mn，r表示n×r矩阵的集合。特别地，我们假设f，σ是连续函数，Lipschitz连续于（x，y）一致w.r.t.u∈ U、 当U是紧集且f（x，·，U），σ（x，·，U）对每个（x，U）都有界时。

我们说时间间隔[0，T]上的过程u（·）是一个可容许的控制函数，如果它取u中的值，并且对于由W（·）和Z（·）生成的过滤是渐进可测量的，我们设置u:={u（·）可容许的控制函数}。我们不会对σ做任何n-简并y假设。对于非线性模型，我们假设X速度的第i分量在X=0时消失，即X=0==> fi（x，y，u）=0，σij（x，y，u）=0，j=1，r、 y∈ IR，u∈ 我们设置+：={x∈ IRn:xi>0表示每i=1，n} 。注意，在前面的假设下，那么集合IRn+×IR在随机过程（5）下是不变的。这意味着如果初始数据满足xi≥ 对于某些i，则为e（5）满足Xi（s）的非常解≥ 几乎可以肯定的是，每一个s都是0≥ t、 为了简单起见，我们认为r是一个支付函数，它只取决于系统在固定终端时间t>0时的位置。效用函数g:IRn+→ IR是一个连续函数K>0，使得| g（x）|≤ K（1+| x |）每x∈ IRn+（7），贴现系数为c≥ 因此，最优控制问题的值函数是vε（t，x，y）：=supu∈UE[ec（t-T）g（X（T））|X（T）=X，Yε（T）=Y]，（8）和（X（·），Yε（·））满足（5）控制u。对于本文提出的财务模型的应用，这种支付选择是非常普遍的，但我们可以很容易地在支付中包含一个跟踪某些运行成本或收益的整体术语。3快速子系统我们考虑（5）中的过程Y，ε=λ>0。Y是一个由L′evy过程Z驱动的Ornstein-Uhlenbeck非高斯过程，即dYλ（s）=-λYλ（s）-)ds+dZ（λs），（9），其中λ>0是平均回复率。我们假设过程Z是一个无漂移的纯跳跃L’evy过程，即L’evy Ito分解具有空连续部分的L’evy过程，并选择其cadlag（RCLL）版本。

我们参考专著[28]对列维工艺进行了总体介绍。过程ss Yλ（s），初始基准Yλ（0）=Y∈ IR，可以显式写成asYλ（s）=ye-λs+Zseλ（u）-s） dZ（λu）。我们将过程Z（s）与其L′evy度量ν相关联。直观地说，L’evy测量值描述了长度为1的时间间隔内某个高度的预期跳跃次数，即ν（B）=e（#s）∈ [0,1]，Z（s）-Z（s）-) 6=0，Z（s）- Z（s）-) ∈ B} ）。L’evy度量在原点没有质量，而在o rigin（即小跳跃）周围可能会出现不规则性（即大量跳跃）。此外，远离原点的质量是有界的（也就是说，只能发生有限数量的大跳跃）。特别是满足以下可积条件（见[28]）：Z | Z |<1 | Z |ν（dz）+Z |Z|≥1ν（dz）<∞. （10） 我们将考虑具有有限活性的L`evy过程，即，使得ν（IR）=+∞. 在这种情况下，几乎所有过程Z的路径在每个紧凑间隔上都有一定数量的跳跃。该过程的最小生成元Yλ（见[28]，第31.5条）由λI给出，其中I定义为以下l（Y，[f]）=-f′（y）·y+Z+∞（f（z+y）- f（y）- f′（y）z1z≤1） dν（z）。（11） 3.1关于L’evy过程的假设除了可积性条件（10）之外，我们还需要假设关于测度ν的其他条件。第一种是一种非常标准的非简并条件（见[7]）。特别地，我们假设测度在0处是奇异的，我们引入了一个参数p∈ （0，2）刻画测度在0处的奇异性。假设1。存在C>0，p∈ （0，2）使得每0<δ≤ 1Z | z|≤δ| z |ν（dz）≥ Cδ2-p、 （12）备注3.1。表示（12）的等效方法如下：存在r∈ （0，2）使得δ-rZ | z|≤δ| z |ν（dz）→ + ∞ asδ→ 0+. （13） 事实上，如果（12）成立，那么（13）满足r∈ (0, 2 - p） 。反之，如果（13）成立，则（12）为p∈ (0, 2 - r） 。备注3.2。

在（12）中的常数p高于或低于临界值p=1的情况下，两者之间存在普遍差异。特别是如果p∈ （0，1），使用（13），可以证明为z | z|≤1|z|ν（dz）<+∞,然后Z的所有路径都有有限的变量。如果p∈ （1,2），另一边是Z | Z|≤1 | z |ν（dz）=+∞,几乎所有的Z路径都有有限的变化（se e[28，Thm.21.9]）。我们假设在单位处的可积性条件强于测度ν的（10）。假设2。存在q>0使得z | z |>1 | z | qν（dz）<+∞. （14） 可以证明（见[28，Thm.25.3]）在假设2下，过程Z（t）对每个t都有第n个矩，即E（|Zt|q）<∞.正如我们将在第3.2节中证明的，假设1,2足以证明（9）中定义的过程Yλ的唯一遍历性。然而，我们需要添加一个技术假设。因此，非退化假设（12）不足以保证关联算子L的强最大值原理的有效性（见备注3.10）。所以我们也假设如下。假设3。至少下列条件之一成立：i）第（14）项中的参数p满足p∈ （1，2），ii）IR可以由度量值ν的支持支持支持（ν）的翻译来覆盖，即IR=[n≥0supp（ν）+··+supp（ν）|{z}n. （15） 备注3.3。（15） 可以替换为t 0属于测量支持s upp（ν）拓扑内部的要求。满足前面假设的L’evy过程的主要例子是α稳定的L’evy过程，定义在整个空间上或限制在半空间内。我们记得，如果Z（t）t1/α=Z（1）对于所有t，Z（t）是一个α稳定的过程，在这个意义上，这两个过程具有相同的规律。例1。考虑α稳定的L′evy过程，其测度为ν（dz）=dz | z | 1+α，（16），其中α∈ (0, 2).

这个过程的生成器是分数拉普拉斯算子(-)α/2（见[7]）。假设1适用于p=α，假设2适用于q<α。最后，案例二（15）在假设3中成立。例2。考虑限制在半空间内的α-稳定L′evy过程，其测度为ν（dz）=1{z≥0}（z）dzz1+α。（17） 在这种情况下，假设3中的条件ii）（15）不再有效，因此我们假设α∈ （1,2）确保条件i）。备注3.4。我们注意到，假设3不能成立，如果Z是一个从属。隶属度是具有非递减样本路径的一维L'evy过程。很容易推断，一维L’evy过程是一个从属过程，当且仅当其相关测量满足ν((-∞, 0]）=0Z | z |ν（dz）+z+∞ν（dz）<+∞. （18） 这尤其意味着ν不能满足假设3（见备注3.2）。在（17）定义的具有关联L’evy测度的α稳定过程中，从属过程是具有α的过程∈ (0, 1 ). 一个值得注意的例子是逆高斯分布，对应于α=。它可以定义为Z（s）：=inf{t|W（t）>s}，其中W是r维布朗运动。（此外，请注意，如果Z是一个α稳定的从属函数，W是一个独立的布朗运动，那么W（Z（t））是指数2α的一个稳定对称L′evy过程。）我们将在备注3.10中解释为什么本文中给出的收敛性证明不适用于从属rs.3.2遍历性质。在本节中，我们证明了在之前关于L’evy过程Z的假设下，（9）中定义的过程是遍历的。为了证明过程的遍历性，需要检查两个主要特征：过程在某个大球外的重现性和过程在某个有界区域内的转移概率的正则性。