动态方差Gamma模型中的期权定价

2不同时间段的真实密度和风险中性密度之间的比较。这两种分布都是通过傅里叶逆变换得到的。为了验证我们的期权定价递归半分析方法的正确性，我们将得出的价格与通过风险中性模型的模拟得出的蒙特卡罗价格进行比较，以确定不同到期日和不同货币水平下的价格。参数（）++=Γ+-=hvhnzhafvzvry）1,0（~1，~|（25）为005.0-=,1001.0=，3=a，05.0=αβ和。15.0=我们可以看到，通过傅里叶逆变换（FT）获得的价格通常接近蒙特卡洛价格，在所有考虑的情况下，属于根据Boyle（1977）方法计算的95%置信区间。结果如下表所示：0.15610.15800.15340.15571.10.17340.17520.17050.17291.050.19260.19440.18950.19191m 30.21390.21560.21050.21300.950.23730.23900.23370.23630.90.12010.12130.11780.11951.10.13750.13880.13510.13691.050.15730.15470.15671m20.17970.18100.17700.17900.950.20480.20620.20190.20410.90.07360.07390.07170.07281.10.09050.09090.08860.08981.050.11080.11140.10890.11021m 10.13500.13570.13300.13440.950.16320.16400.16110.16260.9FT（95%）UB（95%）LBMCStrikeTTab。1.蒙特卡罗和DVG模型中半解析价格的比较在前面的章节中，我们看到，我们的模型基于基础特征函数的递归计算，为期权定价提供了一个有效的半解析程序，例如赫斯顿和南迪模型。

本节的目的是从历史的角度，与基于创新的HN模型相比，评估VGINovations的相关性。历史估计中的主要问题是VG创新没有简单的分析密度；我们非常感谢一位匿名裁判，他给了我们一个关键建议，即通过积分的高斯-拉盖尔求积来近似VG密度（其中）（Sg是伽马密度。这个数值过程实际上运行得很好，使我们能够获得相当稳定的历史估计；从更统计的角度来看，我们可以说VG创新是由有限的正态混合近似的。我们对不断增加的复杂模型的历史估计进行了比较研究：Heston和Nandi在动态模型中没有不对称性在方差中，Heston和Nandi，VG在方差动态中没有不对称性，并且具有对称创新，VG具有对称创新和不对称方差动态，VG。

用我们的符号，HN模型可以写成：考虑的模型是：具有=γ和正常创新（MOD1）的模型（HN），具有正常创新（MOD2）的模型（HN），具有=γ和标准化对称VG创新（MOD3）的模型（HN），具有标准化对称VG创新（MOD4）的模型（HN），具有标准化VG创新（MOD5）的模型（HN）。（）DSSYSSGYF---=)（经验）（26）+-+=++=...)（Diizvvry（27）通过比较估计结果，我们能够分别评估方差动态中的不对称性（由于参数γ）和创新分布中的不对称性（由于其标准化VG分布代替标准正态分布）的相关性。正如一位匿名仲裁人所建议的，将标准化VGINovations参数化的最简单方法是选择-=-= :,kba==：，k-= ;    我们称之为a），（kSVGα分布。此外，很容易检查，如果）~, 然后（）-+-++=-=13） （，）3（）（kkkykurtkkyskewt通过积分的高斯-拉盖尔求积建立可能性，其中横坐标x是拉盖尔多项式的根）（xl和权重sw可以简单地计算为=n）（（exp）/（exp）（（xhwduhedukuykueudssysseskyf）∑∫∫∫=---Γ==---Γ=σ******************87；我们故意将金融危机期间出现的异常市场状况包括在内。SPX对数曲线已由彭博社计算的股息收益率修正，无风险利率已从彭博社的C079曲线中提取。

估算结果如下表所示：3296503211,01logL02）-（4,35E 57,74（0,02）0,89（0,03）08106）-（1,97E 05-1,22E06）-（4,62E 05-2,39E13）-（5,51E 16-2,20E06）-（3,00E 05-1,31E（1,86）2,09（1,72）1,20MOD2MOD1γβαλ选项卡。（4，89E 01-2（4，89E 01-4，6（6）0 0 0 0 0 0（0，17）1，84E 13001（1，8 E 13001）1，（1，84E 13001）1，1，86E 1（0，17）31（0，17）1（0，17）12404）1，31（0（0，17）12404）12（1，17）12404（1，17）12404）（1（1，17）12404）（1，26E 26E 26E 26E 26E 26E 26E 26E 26E26E26565605605（5）（5）（5）（5）（5）（5）（9，26E 26E 26E 277，7，7（9，7，7，7，7，（9（7）（95（0（9，7）（0，7）（0（0，7）（0（0，7）（0，7）（0，7）（0，7）（0（0，7）（0，7）（0，7）（0，903）-（1,23E 5,19（1,76）5,84MOD5MOD4MOD3αγβαλkTab。3所考虑的3个估计参数第一个表指的是正常创新，而第二个表指的是SVG创新。对于所有的模型，我们都发现潜在的风险溢价为正，当从正常到VG创新时，估计误差大大降低。参数α和α通常非常接近，在某些情况下，它们的%95渐近置信区间实际上包含一个可能的值。参数β总是与模拟方差动态中不对称性的参数γ显著不同。参数3,1kof MOD3和Mod4的对称SVG创新对应于1,5）(因此，Ykurthus表示条件尾比高斯尾重，但不是特别重。在一般情况下，我们得到5,0）(-伊斯库，65,3岁）(伊库尔特。为了评估从MOD1移动到MOD5时最大对数似然值的相对改善，我们进行了标准似然比检验；结果见下表06-5.09E80,20MOD5/MOD438-9.14E00165MOD4/MOD258-1.01E05261MOD3/MOD139-4.51E98170MOD2/MOD1valuestatistic LR pTab。

4.对所考虑的5个模型进行似然比检验，结果表明，在所有情况下，考虑更复杂的模型（即方差变化和方差动态不对称）的改进都是显著的。本节的目的是研究动态VG模型重现市场期权价格的能力。我们将其校准性能与Heston和Nandi（2000）模型（HN）以及基于逆高斯创新的Christoffersen、Heston和Jacobs（2006）模型（CHJ）进行了比较。此外，为了强调时变混合分布的重要性，我们将DVG模型与两个子模型的拟合进行了比较，这两个子模型通过let==α、=β（常数参数VG模型）和let=σ（对应于仿射Garch伽马模型）获得。目前，我们采用的是一种纯粹的校准方法（例如Bakshi等人（1997年））。另一种方法可能是实施“混合”历史/校准程序，如Heston和Nandi（2000）或Christoffersen等人（2006）所述，但这可能会导致校准结果的评估更加困难；我们把它留给进一步的研究。Menn和Rachev（2009）最近讨论了“混合”历史/校准方法相对于纯历史MLE和纯校准NLS程序的相对优点。我们考虑在CBOE上引用的标准普尔500指数的欧洲期权。该数据集由2008年12月23日至2009年2月17日的738日收盘价组成。每一天，我们都有三种不同到期日的期权的平均价格，分别为2月、3月和4月。

金钱从975英镑到975英镑不等。0和025。1.对于所考虑的5个模型（DVG、HN、CHJ、VG、GG）中的每一个，我们每天校准相应的参数（在VG情况下，在DVG、HN和GG情况下，在CHJcase中）。对于VG案例，我们采用了Schoutens（2003）中的参数化。为了进行校准，我们采用了两种不同的标准：（美元）均方根误差（）-=CCnRMSE^$θ和均方根误差百分比，定义为（）^%-=CCCnRMSEθ，其中θ^是参数的向量。众所周知，损失函数的选择可能会影响估计参数和校准质量；对于我们分析的探索性特征，我们坚持使用两个最常见的损失函数，其他选择是隐含波动率的平方误差，或加权均方误差。很明显，theRMSE$标准隐含地赋予了价格较高的深仓期权更大的权重，而theRMSE%标准赋予了价格非常低的深仓期权更大的权重。有关这些问题的详细讨论，请参见Christoffersen等人（2004）。在Matlab环境下，通过在FfMinCon例程中实现的Newton-Raphson算法实现最小化。以下两个图中报告了校准模型的TheRMSE$和TheRMSE%：图3所考虑的5个模型的RMSE$比较图。4.对5个考虑模型的MSE%进行比较我们发现，对于涉及theRMSE$标准的，DVG模型在考虑期内的表现通常更好，而对于涉及theRMSE%的，DVG和HN模型的表现基本相同。

在下表中，我们报告了Dailymse$和Dailymse%.25.08%13.35%13.93%9.55%9.88%%11.765.486.187.504.81$GGVGHJHNDVGRMSETAB的平均值。5 DailryRMSE$和DailryRMSE%的平均值三参数VG模型的性能并不差，但它被DVGmodel系统性地击败了，因为它的concernsRMSE%。CHJ模型的性能似乎更差，但Christoffersen等人（2006年）已经指出了它的一些问题。为了探索拟合参数的稳定性，我们报告了用RMSE$：图5拟合的DVG和HN参数图。6 HN模型的估计参数从中我们可以看出，DVG模型似乎导致更稳定的估计。这些实证分析表明，DVG模型非常有前途，代表着对HN模型的改进，同时保持了相同程度的分析可处理性。前一节中的历史估计结果也表明，相对于HN模型的常规创新，VGINovations具有优越性。我们要感谢两位匿名推荐人的宝贵意见和建议。所有剩余错误均由作者负责。Abramowitz，M.，Stegun I.A.（1972年）。多佛出版的数学函数手册，包括公式、图表和数学表格。Bakshi，G.，Cao C.，Chen Z.（1997），《另类期权定价模型的实证表现》，金融杂志，522003-2049Barndorff Nielsen，O.E.（1977）。“粒子大小对数的指数递减分布”。《伦敦皇家学会会刊》，A 353，401-419。Barndorff Nielsen，O.E.（1995）“正态方差-均值混合和z分布”，《国际统计评论》，第50期，第145-159页。巴恩多夫·尼尔森，O.E.（1995）。

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