动态方差Gamma模型中的期权定价

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英文标题：
《Option Pricing in a Dynamic Variance-Gamma Model》
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作者：
Lorenzo Mercuri and Fabio Bellini
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We present a discrete time stochastic volatility model in which the conditional distribution of the logreturns is a Variance-Gamma, that is a normal variance-mean mixture with Gamma mixing density. We assume that the Gamma mixing density is time varying and follows an affine Garch model, trying to capture persistence of volatility shocks and also higher order conditional dynamics in a parsimonious way. We select an equivalent martingale measure by means of the conditional Esscher transform as in Buhlmann et al. (1996) and show that this change of measure leads to a similar dynamics of the mixing distribution. The model admits a recursive procedure for the computation of the characteristic function of the terminal logprice, thus allowing semianalytical pricing as in Heston and Nandi (2000). From an empirical point of view, we check the ability of this model to calibrate SPX option data and we compare it with the Heston and Nandi (2000) model and with the Christoffersen, Heston and Jacobs (2006) model, that is based on Inverse Gaussian innovations. Moreover, we provide a detailed comparison with several variants of the Heston and Nandi model that shows the superiority of the Variance-Gamma innovations also from the point of view of historical MLE estimation.
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中文摘要：
我们提出了一个离散时间随机波动率模型，其中对数收益率的条件分布是方差Gamma，即具有Gamma混合密度的正态方差均值混合。我们假设伽马混合密度是时变的，并遵循仿射Garch模型，试图以一种节省的方式捕捉波动冲击的持续性和高阶条件动力学。我们通过条件Esscher变换选择了一个等价的鞅测度，如Buhlmann等人（1996）所述，并表明这种测度的变化导致了混合分布的类似动力学。该模型允许使用递归程序计算终端对数价格的特征函数，从而允许使用Heston和Nandi（2000）中的半解析定价。从经验的角度来看，我们检查了该模型校准SPX期权数据的能力，并将其与Heston和Nandi（2000）模型以及基于逆高斯创新的Christoffersen、Heston和Jacobs（2006）模型进行了比较。此外，我们还与Heston和Nandi模型的几种变体进行了详细比较，从历史最大似然估计的角度也显示了方差伽马创新的优越性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Option_Pricing_in_a_Dynamic_Variance-Gamma_Model.pdf (152.69 KB)

2022-5-6 06:27:02 上传

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关键词：gamma 期权定价 MA模型 GAM distribution

Lorenzo MercuriFabio Bellini我们提出了一个离散时间随机波动率模型，其中对数收益的条件分布是方差Gamma，即具有Gamma混合密度的正态方差均值混合。我们假设伽马混合密度是时变的，并遵循仿射Garchmodel，试图以节省的方式捕捉波动冲击的持续性和高阶条件动力学。我们通过条件Esscher变换选择了一个等价的鞅测度，如Buhlmann等人（1996）所述，并表明这种测度的变化导致了混合分布的相似动力学。该模型允许使用递归程序计算终端对数价格的特征函数，从而允许使用Heston和Nandi（2000）中的半解析定价。从经验角度来看，我们检查了该模型校准SPXoption数据的能力，并将其与Heston和Nandi（2000）模型以及基于逆高斯更新的Christoffersen、Heston和Jacobs（2006）模型进行了比较。此外，我们还与Heston和Nandi模型的几种变体进行了详细的比较，从历史最大似然估计的角度显示了方差伽马创新的优越性。关键词：方差伽马分布；Garch过程；仿射随机波动模型；半解析公式；Esscher transformJEL分类代码：C00；C63；C65；G12；G13一些实证研究记录了对长期收益正态性假设的重大偏离。事实上，在意大利米兰比科卡大学的Metodi Quantitativi分部观察到了偏度、峰度、序列相关性和时变波动性。

电子邮件：洛伦佐。mercuri@unimib.itDipartimento意大利米兰比科卡大学计量学院。电子邮件：法比奥。bellini@unimib.itfinancial时间序列。由于这个原因，在离散和不连续的时间内研究了不同的模型。在连续时间内，Lévy过程似乎是布朗运动的自然推广。事实上，Lévy过程展示了正确的连续样本路径，具有平稳和独立增量。此外，通过特征函数可以很容易地识别边际分布（例如，参见Schoutens（2003）和其中的参考文献）。然而，Lévy过程通常表示一个不完全市场，因此我们需要选择一个等价的鞅测度。标准方法基于埃舍尔变换或最小熵鞅测度（参见Hubalek和Sgarra（2006）对这些测度的调查和比较）。另一种捕捉偏离常态的方法是基于随机时间的概念，这是克拉克（1973）在《金融学》中提出的。一个新的过程，即从属过程，可以通过使用一个独立的随机时变过程（称为从属过程，通常是递增的Lévy过程）从原始随机过程中获得。结果过程的分布与混合分布密切相关。特别是，如果我们考虑时变布朗运动，时间一的分布是正态方差-均值混合分布。

文献中考虑的一些情况包括方差伽马（见Madan和Seneta（1990））、正态逆高斯分布（见Barndorff-Nielsen（1995））以及双曲线和广义双曲线分布（见Barndorff-Nielsen（1977））。就离散时间模型而言，主要有随机波动率模型和类GARCH模型。在随机波动率模型中，收益率的分布是由模型的结构间接指定的，实际上存在一个随机变量V，使得对数收益率的条件分布V已知（通常为正态）。这种假设通常是在连续时间内做出的，波动率也遵循扩散过程。这种方法的主要缺点是，随机波动率是一个不可观察的过程，这会导致估计困难。类Garch模型明确地模拟了给定过去观察到的收益率和波动率的条件方差。对于期权定价，仿射Garch模型代表了一个合适的类别，因为它们产生了基于傅里叶逆变换的期权价格封闭式公式（参见Heston和Nandi（2000）关于正常创新，Christoffersen等人（2006）关于高斯逆创新，Bellini和Mercuri（2007年）代表Gamma创新，Mercuri（2008年）代表稳定创新）。本文提出了一个新的离散时间随机波动率模型，其中对数收益服从条件方差伽马分布。正如我们已经提到的，方差伽马（VGhenceforth）分布属于正态方差-均值混合，对应于阿加玛混合密度。

在静态单期框架中，VG分布显示出良好的能力，能够重现财务日志收益分布的程式化事实（例如，见Madan and Seneta（1987））。后来，这些作者考虑了VG过程（Madan和Seneta（1990）），即带有VG增量的阿尔维过程，并将其应用于期权定价。我们的想法是试图通过时变伽马混合密度来捕捉时变条件分布。为了实现这一目标，我们将使用带有伽马创新的simpleaffine Garch模型对条件方差进行分布，以捕捉高水平波动和波动冲击的持续性。此外，与通常的Garch模型相比，我们还能够在一个相对简单的模型中捕获高阶矩的时间动态。为了选择鞅测度，我们将使用Buhlmann（1996）提出的条件Esscher变换，并广泛应用于具有非正态创新的类Garch模型（见Siu等人（2004））。这种方法的主要优点是，在改变测量值后，对数收益的条件分布仍然是VG，由此产生的混合密度动态与历史测量值下的动态相似。该模型的另一个优点是，它允许使用递归程序来确定到期时对数价格的特征函数，因此可以根据Heston（1993）和Carr Madan（1999）中的逆傅里叶变换进行半解析期权定价。此外，该模型将贝利尼和默库里（2007）提出的VG离散时间模型和仿射Garch-Gamma模型作为特例。在第二节中，我们回顾了正态方差均值分布的一些经典结果，重点讨论了方差伽马分布。

在第三节中，我们介绍了我们的模型，并遵循Heston和Nandi（2000）提出的方法，我们得到了特征函数的递推过程，我们实现了具有伽马创新的仿射Garch模型和特殊情况下的方差伽马模型。在第4节中，我们应用了引入的条件埃舍尔变换，并通过傅里叶逆变换获得了期权价格的封闭式公式（见Heston 1993）。在第5节中，我们通过与Heston和Nandi模型的详细比较，也从历史估计的角度展示了方差伽马创新的优越性。我们承认一位匿名裁判的重要贡献，他提出了用高斯-拉盖尔求积近似方差伽马创新密度的想法，这在实践中非常有效。在第6节中，根据欧洲期权onS&P500的738日收盘价对拟议模型进行了校准，并与Heston和Nandi（2000）模型以及Christoffersen、Hestonand Jacobs（2006）模型进行了比较，结果令人鼓舞。在本节中，我们回顾了Madan和Seneta（1990）在inFinance中介绍的方差伽马分布的基本性质。它属于Barndorff-Nielsen等人提出的正态方差均值混合。

（1982），定义为∈uu,,σ∈[)+∞,0，Z（）1，0~1是一个独立于Z的非负随机变量。尽管这种参数化是标准的，便于应用，但并非所有参数都是可识别的；克服这个问题的一个简单方法是施加=σ或[]1=VE。σ∑u∑u=ustYcxgYVY（）nn=naa=dsssyssgyf---=+∞σa=σb=μa=σb+=aYkurt13）（.不同参数值的密度形状如下图所示：baYEu+=][（））（bbaYVarσu+=（））（σ∑∑∑∑∑∑∑∑∑babYskew++=（5）（）图1u和不同参数值的VG密度u，，和σ。因为如果），（带暗示）（例如，参见Muller等人（2002年）)，从前面的注释中，我们可以看到方差伽马族在凸序中相对于参数是单调的，这在图1（左上）中也很明显。如Madan和Seneta所示，VG分布似乎表现出很好的拟合历史对数回报的能力，并且在期权定价中也越来越流行；例如，VGP定价模型甚至可以在彭博数据提供系统中实现（例如，参见Carr etal.（2007）及其参考文献）。在本节中，我们提出了amodel。其基本思想是通过允许其形状参数以递归方式变化，使Gamma mixingdistributionVtime依赖于时间；因此，我们假设，我们将建立一个条件波动遵循伽玛创新的类似于琼脂的过程。递归方程的目的是捕捉高波动期的某种程度的持续性，与通常的Garch（1,1）模型完全相同。

之前波动的冲击将在整个期限内传播到未来波动-α; 之前的高水平波动将在整个期限内传播到未来的波动-β.logreturns的完整模型变成了0，，，βα。正如我们在上一节末尾所说的，条件分布在通常的随机顺序中越大，在凸顺序中分布越分散。我们注意到，与通常的Garch模型相比，与连续时间随机波动率模型类似，这里有：波动率的随机复发（6）和对数收益率的随机冲击。我们的想法是尝试自行建立方差动态模型，（）++=Γ1,~|βαα(6)( )( )++=Γ++=... 1,0~1，~|βασλ（7），没有与过去对数收益平方成正比的耦合项，但具有与过去方差成正比的持续项。然后，该模型为logreturns生成条件VG分布，对于时变混合密度a+=a（9），我们有SimplyyVar=）（，与Garch模型完全相同。但与Garch模型相比，该模型的动力学特征不仅限于与时间相关的条件方差，还包括与时间相关的高阶矩。通过这种参数化，该模型依赖于六个参数，r，λ，σ，α，αβ。在下一节中，我们将看到鞅条件将yλ和σ之间的关系，将参数的数量减少到。显然，当αα和β恢复一个具有i.i.d.方差gamma logreturns的模型时，而在σ=的情况下，我们恢复一个仿射Garch gammamodel，该模型已在Bellini和Mercuri（2007）中研究过。我们现在递归地计算m.g.f。

在这里][·（）~n的形式为（）（）λσ（8）=∑YSS exp（）[]秒=а（10）秒，；，；exp+=hcTtBcTtASc~n（11），其中将递归计算数量（）ctta和（）cttb。假设等式（11）在时间+t处成立，通过条件期望的迭代法则，我们得到（），；1[exp，；1，；1，；1exp，；1，；1logexp+++++++++++**++++++==++++===TTTTT CTTTTTTTTZVCTTBCEHCTTBCTTBCTTACRSHCTBCTTTTATATSCECEECσαλβαа取方差伽马的m.g.f.表达式：（）（）（）（）（）（）（）（）（），；11,;1.1.1exp-+AHTCTTCCTTBCHCTTBCTTBCTTTTTTACRSC∑αλβαν，其中），；（cTtAand（）cTtB，；遵循带有终端条件的递归，我们可以检查在i.i.d.情况下）1,0（==βαα）显式解是，条件m.g.f.由其给出H的公共值，…；正如预期的那样，我们得到了对数返回的方差gammadistribution，其中混合伽马有一个形状因子（tTah）-.()()()( ) ( ) ( )+++--+=++++=,;日志，；1.1.1.σαλβαccttbcacttbcttbcttbcttacctta（12）（）==0,;0),;（cTTBcTTA（13）（）----=-=1日志，；，；σλccttacttbrttctta（14）（（）（））1expttahctccrttcsc-----=σλ~n（15）我们注意到，可以通过使用混合分布动力学的替代表征来构建类似的模型，基于逆高斯Garch模型（见Christoffersen等人（2006年）或调和稳定Garch模型（见Mercuri（2008）），同时基本上保留了相同的分析可处理性。所提出的模型一般不是鞅；为了将其用于期权定价，有必要找到一个等价的鞅测度。由于具有连续创新的离散时间模型的惯例，该模型是不完整的。

构造等价鞅测度的标准方法是通过Buhlmann等人（1996年）提出的条件Esscher变换，并在几篇论文中应用于Garch框架（参见Siu等人（2004年）的伽马创新案例）。日志返回的条件m.g.f.可以写为：（）（）[（）（）（）TahtTCCCRCYECM----==1expexpσλ测量值的条件埃舍尔变化是测量值∧的“局部”变化的产物（seeBuhlmann等人（1996））或Shiryaev等人（1999）。式中，t∧是对数返回的指数，其中，Esscher参数*tθ是通过求解条件Esscher方程（1）和a.s.0，其中，=λ得到的≥ΛΛ=-=ttttTtEdPdQ（16））[exp（）exp（1 kttttyey*-*=∧θθ（17）rtttteMM=+**)（）1（θ）θ（18）给出了不依赖于。然后给出的条件矩母函数可以写成，从中我们可以看到，创新的风险中性分布再次是方差伽马。在Q下，通过引入风险中性条件方差和+-=*σθλcmCcm-**--+---=+=1exp∑∑∑∑∑∑∑∑θ（20）（）t∑∧（）（）λ∑∑∑∑λ-=--=和（21）（）++=Γ+-=... 1,0~1，~|hVhdiiNZahFVZVVrYβα∑∑∑（22）（[]海瓦赫：λ∑+==（23）[]+==+=+=aaaλσβαλσαλσααλσα（24）模型变为：由四个参数0、、>βασ来识别。在下图中，我们将实数测度下的原木价格密度与埃舍尔鞅测度下的相应密度进行比较，得出参数值0=λ，1.0=σ，005.0-=λ、 1001.0=σ，3=a，05.0=α，12.0=α08.0=β，15.0=h。无花果