具有随机初始定律的竞赛中的赌博

设X是一个布朗运动，其初始定律为χ。然后存在一个停止时间τ和Xτ~当且仅当Pχ（x）≤P（x） 为了所有的x≥ 0.证明。自（Xt）∧H） t≥0是一个非负超鞅，由Jensen不等式的条件形式E[（x-Xτ）+F]≥（十）-E[Xτ| F]）+≥（十）-十） +然后pτ（X）=E[（X-Xτ）+]=E[E[（X-Xτ）+F]]≥E[（x）-十） +]=Pχ（X）。相反，罗斯特（1971）的研究结果也证明了这一点。定义2.1。给定u∈M、 我们这么说∈ 如果ν（R+）=u（R+）和Pν（x），M是弱容许的（关于u）≥Pu（x）表示所有x≥0.如果ν是弱容许的，且ν=u，我们说ν是强容许的（关于u）。关于随机初始定律7的争论请注意，如果ν是弱可容许的，那么必然是ν（{0}）≥ u（{0}）和ν≤ u乘以（1）。如果ν是强容许的，那么ucxν。这些定义的动机是，如果X是X的布朗运动~ u ∈ P和ifν∈ P对于μ是弱容许的，因此存在τ≤ H:=inf{u>0:Xu=0}这样Xτ~ ν、 如果ν是强可容许的，则存在τ，使得Xτ~ ν和（Xt）∧τ） t≥0是一致可积的。定义2.2。具有νi的弱容许测度对（ν，ν）∈ P形成一个纳什均衡，如果，对于每个i∈ {1，2}，假设另一个代理j=3-我使用了一个停止规则τjsuch，即Xjτj~νj，则任何停止规则τ都等于Xiτi~νiis最佳。如果（ν，ν）形成纳什均衡，那么均衡是对称的。纳什均衡可以描述如下。

让我们来看看Viχ，如果玩家1使用了一个停止规则，该规则使Xτ变为Slawχ，而玩家2使用了一个产生定律的停止规则，则表示游戏对玩家i的价值 对于Xτ。接下来是Vχ，=Z[0，∞)χ（dx）{F（十）-) + θ（F）（十）- F（十）-))},Vχ，=Z[0，∞)（dx）{Fχ（x）-) + θ（Fχ（x）-Fχ（x）-))}.如果Vσ，ν=supπVπ，ν和Vσ，ν=supπVσ，π，则（σ，ν）是一个纳什均衡，其中，上界是在弱容许测度集上取的。对称纳什均衡是一个弱容许测度ν，使得Vν，ν=supπVπ，ν和Vν，ν=supπVν，π，其中上确界也是弱容许测度π的上确界。注意，由于Vχ，= 五、,χ这个定义可以简化为一个对称的纳什均衡是一个弱容许测度，因此Vν，ν=supπVπ，ν，从中可以看出，supπVν，π=supπVπ，ν=Vν，ν=Vν，ν和ν对于玩家2也是最优的。本文研究了对称纳什均衡的存在唯一性。纳什均衡是对称的，这似乎很自然，因为竞争是对称的，因为每个主体都观察到一个从同一定律开始的鞅过程。然后，关于重新排列质量的简单论点可以用来证明，两个代理将质量放置在同一个正点x上永远不是最优的，而且任何对称纳什均衡都必须是强容许的。理论的证明。1在附录中。定理2.1。假设（ν，ν）是纳什等式。那么ν是强容许的，Fν（x）在（0）上是连续的，∞) Fν（0）=Fu（0）。8 H.冯和D.霍布森3。主要结果和例子。在这一节中，我们描述了关于竞赛对称纳什均衡存在唯一性的主要结果，并给出了例子。定义3.1。假设∈ M

让我们*u M是满足以下条件的度量值的集合：（i）ν（R+）=u（R+），Fν（0）=Fu（0），Fν在（0）上是连续的，∞),ν=u，和Cν（x）≥Cu（x）表示所有x≥0;（ii）Fν（x）在[0]上是凹的，∞);（iii）如果某个区间J上的Cν（x）>Cu（x）[0, ∞) 那么Fν（x）是线性onJ。本文的两个主要结果是一个刻画对称纳什均衡的定理，以及一个证明对称纳什均衡存在且唯一的定理。定理3.1。如果u∈ P、 然后（ν）*, ν*) 是问题的对称纳什均衡当且仅当ν*∈ A.*u.定理3.2。对于u∈ M，| A*u| = 1. 特别是，如果∈ P则该问题存在唯一的对称纳什均衡。在证明理论3之前。1和3.2中，我们给出了一些例子。例3.1。还记得吗x=U[0，2x]，其中U代表连续均匀分布。假设∈ P满足Cu≤ Cu. 那就很容易看出这一点u∈ A.*u，因此(u, u）是问题的唯一对称纳什均衡。在u=δ的情况下，这是Seel和Strack（2013）的结果。例3.2。假设∈ P是无原子的，也许除了原子零。设置bu=sup{x:Fu（x）<1}。如果Fu在[0，bu]上是凹的，则∈ A.*u和（u，u）是问题的唯一对称纳什均衡。如果Fu在[0，bu]上是凸的，且Fu（0）=0，则可以验证Cu≤ Cu（详细证明见命题5.1），因此(u, u）是问题的唯一对称纳什均衡。示例3.3（Beta发行版）。假设u是β分布子[0,1]，形状参数α=2和β=3，即u=β（2,3）。然后，u的平均值为2/5，Cu（x）=（x-2x+2x-x+）1{x≤1} ，和fu（x）=最小{3x-8x+6x，1}。那么Fu（x）在（0，）和（1）上是凸的，或者等效地，密度Fu=F′u在[0,1/3]上增加，并且在[1/3,1]上与随机初始定律9的减少相竞争。

因此，u本身不是候选纳什均衡。相反，我们希望找到一个对称的纳什均衡，其恒定密度fν（x）=2con[0，c]，且fν（x）=fu（x）在[c，1]上，其中c和c常数有待确定。由于ν具有恒定的密度2con[0，c]，因此cν（x）=cx-在这个时间间隔内x+。此外，Cu（C）=Cν（C）=cc-c+和c′u（c）=c′ν（c）=2cc-1.解方程组，我们得到c=√10+140，c=10-√. 对于c的选择，cit遵循∈ A.*u. 因此，（ν，ν）是这个问题唯一的对称性平衡。例3.4（原子测量）。假设u=δ1-ε+δ1+ε，其中ε∈(0,1). 然后cu（x）=（1-x） ·1x∈[0,1-ε)+(1 + ε -x） ·1x∈[1-ε,1+ε).假设ε∈（0,1/2）。然后是Cu≤C, 哪里= U[0,2]，然后(, )是问题的唯一对称纳什均衡。现在假设ε∈(1/2,1). 定义函数C byC（x）=x-8(1 -ε） （十）-1)8(1 - ε） ·1x∈[0,2(1-ε） ）+x-8εx+16ε8（3ε-1） ·1x∈[2(1-ε） ，4ε），并由Cν（x）=C（x）给出。然后呢∈ A.*u. 因此，如果ε∈(1/2, 1).4. 效率。定理3反向蕴涵的证明。1.我们证明如果∈ P和ν∈ A.*u那么（ν，ν）是一个对称的纳什均衡。如果（ν，ν）是对称纳什均衡，那么∈ A.*u在附录中给出。给定u∈ P、 定义度量的类别Awu={ν∈M、 关于u}和Asu={ν∈ M、 ν关于u}的强容许性。还记得A的定义吗*uin（3.1）。利用定理2的性质。1.我们发现对称纳什均衡与测度ν一致*∈ 作为u，其性质为∈ Awu，Vν*,ν*≥Vν，ν*. 从那时起，理论再次证明了这一点。1我们有*在（0，∞), 对于一个对称的纳什均衡，我们必须对任何ν都有它∈ AwuZ（0，∞)Fν*（x） ν*（dx）+θFν*（0）Fν*(0)(2)≥Z（0，∞)Fν*（x） ν（dx）+θFν*（0）Fν（0）。10 H.冯和D。

HOBSONFixν*∈ A.*u并假设ν∈ M假设λ、γ和ζ是常数，η是（0，∞), 假设λ和ζ是非负的。定义ν*（ν；λ，γ，ζ，η）=Z（0，∞)Fν*（x） ν（dx）+θFν*（0）Fν（0）+λu -Z（0，∞)xν（dx）+ γ1.-Z（0，∞)ν（dx）- Fν（0）+ ζ（Fν（0）-Fu（0））+Z（0，∞)（Pν（z）-Pu（z））η（dz）（3）=z（0，∞)Fν*（十）-λx-γ+Z（x，∞)（z）-x） η（dz）ν（dx）+θFν*(0) -γ+ζ+Z（0，∞)zη（dz）Fν（0）+λu+γ-Z（0，∞)Pu（z）η（dz）-ζFu（0），（4）我们使用z（0，∞)Pν（z）η（dz）=z（0，∞)η（dz）zν（{0}）+z（0，z）（z）-x） ν（dx）= Fν（0）Z（0，∞)zη（dz）+z（0，∞)ν（dx）Z（x，∞)（z）-x） η（dz）。等价地，我们有z（0，∞)Fν*（x） ν（dx）+θFν*（0）Fν（0）=Lν*(ν; λ, γ, ζ, η) -λ(u -ν) -γ(1 -ν（R+）- ζ（Fν（0）-Fu（0））-Z（0，∞)（Pν（z）-Pu（z））η（dz）。现在假设ν∈ 啊。那么既然λ≥ 0, ζ ≥ 0和η（dz）≥ 0和自ν∈ Awu表示ν（R+）=u（R+）=1，Fν（0）≥ Fu（0）和Pν（z）≥ Pu（z）Z≥ 0，我们发现（0，∞)Fν*（x） ν（dx）+θFν*（0）Fν（0）≤Lν*(ν; λ, γ, ζ, η).（5） 此外，如果η是这样的，则η（J）=0对于pν的每个区间J*（z） >J上的Pu（z），然后*具有单位质量和平均u和sinceFν*（0）=Fu（0），Z（0，∞)Fν*（x） ν*（dx）+θFν*（0）Fν*（0）=Lν*(ν*; λ, γ, ζ, η).（6） 定义b*= sup{x:Fν*（x） <1}所以b*≤ ∞. 自Fν*是连续的和凹的，它是绝对连续的，这意味着存在一个函数fν*这样Fν*（x） =Rxfν*（y） dy+Fν*(0). 通过Fν的凹度*,fν*是单调的，我们可以认为它是连续的。然后fν*（x） =R（x，b）*]ψ（dz），其中度量ψ由ψ（（z，z]）=fν给出*（z）-fν*（z） 对于任意z<z，设λ*= 0, γ*= 1, ζ*= (1 - θ） Fν*（0）和η*= ψ. 然后r（0，∞)zη*（dz）=1- Fν*(0). 自从ν*∈ A.*u如果η*在x的每个邻域上放置质量，然后Pν*（x） =Pu（x）。定义[0，∞) 由Γ（x）=λ*x+γ*-R（x，∞)（z）- x） η*（dz）。然后，对于任意x>0，Γ（x）=1-Z（x，∞)ψ（dz）Zzxdy=1-Z∞xdy fν*（y） =Fν*（x） 。观察θFν*(0) - γ*+ ζ*+R（0，∞)zη*（dz）=0。

因此，通过（5）和（4），对于∈Awν，Z（0，∞)Fν*（x） ν（dx）+θFν*（0）Fν（0）（7）≤λ*u + γ*-Z（0，∞)Pu（z）η*（dz）-ζ*Fu（0），并乘以（6）和（4），Z（0，∞)Fν*（x） ν*（dx）+θFν*（0）Fν*(0)(8)= λ*u + γ*-Z（0，∞)Pu（z）η*（dz）-ζ*Fu（0）。0（注，∞)Pu（z）η*（dz）=R（0，b）*]Pν*（z） ψ（dz）=R（0，b）*]fν*（z） Fν*（z） dz=（1）-Fν*（0））/2<1，因此（7）和（8）的右侧定义明确且为正。此外，对于任何ν∈Awu，Z（0，∞)Fν*（x） ν（dx）+θFν*（0）Fν（0）≤Z（0，∞)Fν*（x） ν*（dx）+θFν*（0）Fν*(0).因此，（ν）*, ν*) 是问题的对称纳什均衡。12 H.FENG和D.Hobson备注4.1。用最优拉格朗日乘数的值代替，我们发现*,ν*=Z（0，∞)Fν*（x） ν*（dx）+θFν*（0）Fν*(0)= 1 -(1 -θ） Fν*（0）Fu（0）-(1 -Fν*(0))=+θ -Fu（0）。请注意，这是意料之中的，因为对于任何在（0）上没有原子的π定律，∞)我们通过对称性得到Vπ，π=（1）-π({0}))/2 + θπ({0}).5. 预备赛。在上一节中，我们描述了对称纳什均衡。在本节中，我们陈述并证明了一些辅助结果，这些结果将在后面的章节中用于证明存在性和唯一性。第一个结果是独立的利益。注意Fν*是[0]上的凹面函数，∞), 但我们在下面的定理中要用到的情况是凸分布函数。提议5.1。修好∈ (0, ∞). 设P（y） P是R+上的概率测度π的集合，平均值π=y∈ P、 回想一下，Fπ是π的分布函数，并将此定义扩展到(-∞, ∞). Letaπ=inf{u:Fπ（u）>0}≥ 0和bπ=sup{u:Fπ（u）<1}≤ ∞.（i） 设Pcx（y）={π∈P（y）：Fπ是凸的(-∞, bπ]}。那么，对于π∈ Pcx（y），π（{0}）=0。此外：（a）假设H是凸的；然后，supπ∈Pcx（y）Zπ（dz）H（Z）=Z2y2yH（v）dv；（b） 假设H是凹的；然后，supπ∈Pcx（y）Rπ（dz）H（z）=H（y）。（ii）设Pcv（y）={π∈P（y）：Fπ在[0]上是凹的，∞)}. 那么，f或π∈ Pcv（y），aπ=0。

此外：（a）假设his是凸的；然后，supπ∈Pcv（y）Rπ（dz）H（z）=H（0）+y limx↑∞H（x）x；（b） 假设H是凹的；然后是supπ∈Pcv（y）Zπ（dz）H（Z）=Z2y2yH（v）dv。（i）（a）和（ii）（b）中的上界由π获得~ U[0，2y]。（i）（b）i中的上确界是由π得到的~δy.（i）（b）和（ii）（a）中的上界是具有随机初始定律13的竞争，适用于R+上具有均值y的所有分布，而不仅仅是那些具有凸（或凹）分布函数的分布。备注5.1。该结果是完整的；我们将使用并证明的结果是（i）（a）。命题的证明。1.设U为U[0,1]随机变量。假设π∈ Pcx（y）设y有π定律。很明显，F=Fπ，在（aπ，bπ）上严格递增，F（aπ）=0。因此，反函数G，F-1存在于[0,1]上。由于G（U）分布为Y，E[H（Y）]=E[H（G（U））]=RH（G（U））du和rg（U）du=E[G（U）]=E[Y]=Y。很明显，G在[0,1]上是凹的，G（0）=aπ≥0.因为2yu-du=RG（u）du，那么G（u）=2yu和Y~ 2yU，或者存在一个唯一的*∈ （0，1）使得G（u）*) = 2yu*（见图1）。在后一种情况下，2yu≤G（u）≤ 2yu*为了你∈ [0，u*] 还有2yu*≤ G（u）≤ 2yu代表你∈ [u]*, 1]. 然后ifD，E[H（Y）]-我们有*（H（G（u））-H（2yu））du+Zu*（H（G（u））-H（2yu））du。让H′来-表示凸函数H的左导数，然后是H（u）-H（u）≤（u）-u） H′-（u） 对于任何uand u，设置u=2yu和u=G（u），并使用H′的事实-越来越多，D≤祖*（G（u）- 2yu）H′的-（G（u）du+Zu*（G（u）-2yu）H′的-（G（u））du≤H′-（2yu）*)Z（G（u）-2yu）du=0。图1。G（u）和2yu的比较。因为G是平均值为y的随机变量的CDF的倒数，所以G下的面积是y，然后是G下的面积和线l（u） =2yu是一样的。因此，如果G在[0,1]上是凹的（而不是穿过原点的直线），则存在唯一的交叉点u*关于G和线l.14 H.冯和D。

霍布森瑟斯，E[H（Y）]≤ E[H（2yU）]=r2yyh（u）du。此外，很明显，这个界限是由Y得到的~ U[0，2y]。提议5.2。假设H是两次微分，H=H′是凹的。假设H（0）=0，H（0）>0，H′（0）≤0和h不是常数。然后，对于^w>0，使得H（^w）=0，我们有H（^w）+H（0）≤ 0，即| h（^w）|≥ h（0）。证据因为h不是常数，h是凹的，所以有一个解w=~w，比如h（w）=- h（0）。设δ=-2h（0）/~w是连接（0，h（0））到（~w）的线的斜率，-h（0））。然后，在（0，~w）上，h（w）≥ h（0）+δw和h（w）=Rwh（x）dx≥ h（0）w+δw/2，所以h（~w）≥ 然后，通过H的凹度，因为H（^w）=0，^w≥ ~w.因此，h（^w）≤ h（~w）=-h（0），结果如下。提议5.3。不管用什么标准来衡量∈ A.*u，如果Cν（x）=Cu（x）对于somex>0，那么Cu（·）在x和C′ν（x）=C′u（x）处是可微分的。证据假设∈ A.*u. 那么Cν在（0，∞) 和Cν≥Cu。自Cν（y）-Cu（y）≥ 0=Cν（x）-Cu（x）对于任何y<x，我们推导出C′ν（x）-) -C′u（x-) ≤类似地，我们有C′ν（x+）-C′u（x+）≥0.因此，C′u（x+）≤ C′ν（x+）=C′ν（x-) ≤ C′u（x-). 相反，Cu的凸性意味着C′u（x-) ≤ C′u（x+），因此C′u（x+）-) = C′u（x+），结果如下。提议5.4。修正任何度量∈ A.*u. 假设某个区间J=[J，J]上的Cν（x）=φ（x），其中0≤ j<j≤ ∞ 其中φ（·）是定义在(-∞, ∞) φ′大于0。然后j<∞ andCν（x）≤ [j]上的φ（x），∞).证据假设j=∞. 那么Cν在[j]上是二次的，∞) 具有严格的正二次系数。这意味着Cν并没有最终减少，这是一个矛盾。因此，j<∞. 由于C′ν在（0）上是连续且凹的，∞) 由于φ′是线性的，很明显Cν（x）≤[j]上的φ（x），∞). 6.纳什均衡的存在性。6.1. 原子初始测量。我们从初始律u是原子概率测度的情况开始。

我们将构造一个满足特定条件的put函数Q（x），然后通过ν定义一个度量((-∞, x] ）=Q′（x）。然后，就可以得出ν属于*u.关于随机初始定律15的争论我们陈述了测度χ情况下的定理，因为我们将在后续章节中需要更一般的结果。在X的情况下~u，其中u是一个纯原子概率测度，有许多原子，该理论给出了对称纳什均衡的存在性。定理6.1。假设χ∈ M由许多原子组成，即χ=PNj=1pjΔξj，其中0≤ ξ<ξ<··<ξ与pj>0 f或全部1≤ J≤然后*χ不是空的。证据如果χ是零的点质量，那么设置π（{0}）=χ（{0}）。然后π∈ A.*χ且施工已完成。否则，设置Q（r，y）=yFχ（0）+ry/2。然后存在一个唯一的r（rsay）值，比如q（r，y）≥ Pχ（y）Y≥0和q（r，y）=Pχ（y）对于某些y>0。设y=max{y>0:Q（r，y）=Pχ（y）}。这是命题5的结论之一。但这也是因为Q（r，·）是二次的，而Pχ（·）最终是线性的。那么必然存在P′χ（y）并且yQ（r，y）=P′χ（y）（参见命题5.3的证明）。注意这一点/∈ {ξ，ξ，…，ξN}因为P′χ在这些点上有一个扭结。设置ξ=0和ξN+1=∞ 让nbe使得ξn<y<ξn+1。如果n=n[equivalentlyP′χ（y）=PNj=1pj=χ（R+），则停止。否则，我们将以归纳的方式进行。让y=0。假设我们已经找到了0<y<y<··<yk<ξN（yi）/∈{ξ，ξ，…，ξN}1.≤ 我≤ k） [0，yk]上的Q（·），使得（i）Q是连续可微的，（ii）Q（yi）=Pχ（yi）和Q′（yi）=P′χ（yi）对于任何1≤i<k，（iii）Q（yk）=Pχ（yk）和Q′（yk）-) = P′χ（yk）和（iv）Q′在除点0、y、y、…、，ykand是分段常数且递减的。

特别地，Q在{（yi）上是二次的-1，yi）}1≤我≤kwith representationQ（y）=Qi（ri，y）代表y∈ [易-1，yi]qi（ri，y），Pχ（yi）-1） +（y）-易-1） P′χ（yi）-1） +ri（y）-易-1） ，以及（ri）1的位置≤我≤kis是一个严格的递减序列。设Qk+1（r，y）=Pχ（yk）+（y）- yk）P′χ（yk）+r（y）- yk）；然后存在一个唯一的r（rk+1序列），比如qk+1（rk+1，y）≥Pχ（y）Y≥ ykandQk+1（rk+1，y）=Pχ（y）对于某些y>yk。参见图2。由于所有y>yk的Qk（rk，y）>Pχ（y），很明显0<rk+1<rk。设置yk+1=max{y>yk:Qk+1（rk+1，y）=Pχ（y）}。然后P′χ（yk+1）16h.FENG和D.HOBSONFig。2.Q（y）的构造。分段线性曲线为Pχ（y）。函数Q（·，y）是y在[y]上的二次函数，∞) 使得Q（·，y）=Pχ（y）和yQ（·，y）=P′χ（y）。r的唯一值，使得Q（r，y）≥ Pχ（y）代表ally≥ yand Q（r，y）=Pχ（y）对于某些y>y。虚线是Q（r，y），r<r。存在，P′χ（yk+1）=yQk+1（rk+1，yk+1）和yk+1/∈ {ξ，ξ，…，ξN}因为Pχ在这些点的斜率有变化。在[yk，yk+1]上设置Q（y）=Qk+1（rk+1，y）。我们重复构造，直到并包括指数k=T-1其中yk+1>ξN.然后是yT-1<ξN<yT。最后，我们设置Q（y）=Pχ（y）=χ（R+）y-χ代表y≥ 嗯。对于y>0，设ρ（y）=Q′（y）。然后ρ几乎在所有地方都被定义，ρ（y）=rion（yi-1，yi）1≤我≤Tandρ（y）=0开（y），∞). 此外，ρ在减小，并且ρ仅在Pχ（y）=Q（y）的点处减小。设π为尺寸为Fχ（0）且密度为ρ（0）的原子的测量值，∞), 回想一下，yT>ξN，然后Fπ（0）=Fχ（0）；对任何人来说≥ y，Fπ（y）=P′π（yT）=P′χ（yT）=χ（R+）和π=R∞yπ（dy）=yTFπ（yT）- Pπ（yT）=yTFχ（yT）-Pχ（yT）=χ。此外，Pπ（y）=Q（y）≥ Pχ（y）。因此π∈ A.*χ.备注6.1。解决任何问题∈ {1,2，…，T}。设nk为ξnk<yk<ξnk+1。然后，在映射χ7中→ π、 χ的原子（ξ，ξ，…，ξnk）映射到[0，yk]，π（[0，yk]）=P′χ（yk）=Pnkj=1pj。