具有随机初始定律的竞赛中的赌博

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英文标题：
《Gambling in contests with random initial law》
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作者：
Han Feng, David Hobson
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper studies a variant of the contest model introduced in Seel and Strack [J. Econom. Theory 148 (2013) 2033-2048]. In the Seel-Strack contest, each agent or contestant privately observes a Brownian motion, absorbed at zero, and chooses when to stop it. The winner of the contest is the agent who stops at the highest value. The model assumes that all the processes start from a common value $x_0>0$ and the symmetric Nash equilibrium is for each agent to utilise a stopping rule which yields a randomised value for the stopped process. In the two-player contest, this randomised value has a uniform distribution on $[0,2x_0]$. In this paper, we consider a variant of the problem whereby the starting values of the Brownian motions are independent, nonnegative random variables that have a common law $\\mu$. We consider a two-player contest and prove the existence and uniqueness of a symmetric Nash equilibrium for the problem. The solution is that each agent should aim for the target law $\\nu$, where $\\nu$ is greater than or equal to $\\mu$ in convex order; $\\nu$ has an atom at zero of the same size as any atom of $\\mu$ at zero, and otherwise is atom free; on $(0,\\infty)$ $\\nu$ has a decreasing density; and the density of $\\nu$ only decreases at points where the convex order constraint is binding.
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中文摘要：
本文研究了Seel和Strack[J.Economo.Theory 148（2013）2033-2048]中引入的竞赛模型的一个变体。在Seel Strack竞赛中，每个代理人或参赛者都会私下观察一个布朗运动，全神贯注于零，并选择何时停止它。比赛的获胜者是停在最高值的经纪人。该模型假设所有过程都从一个公共值$x_0>0$开始，对称纳什均衡用于每个代理使用一个停止规则，该规则为停止的过程生成一个随机值。在双人比赛中，该随机值在$[0,2x_0]$上具有均匀分布。在本文中，我们考虑了一个问题的变体，即布朗运动的起始值是独立的、非负的随机变量，具有一个共同定律$\\mu$。我们考虑了一个两人竞争问题，证明了该问题对称纳什均衡的存在唯一性。解决方案是，每个代理都应该以目标法则$\\nu$为目标，其中$\\nu$以凸顺序大于或等于$\\mu$$\\nu$的零原子大小与$\\mu$的零原子大小相同，否则是无原子的；在$（0、\\infty）$\\nu$上，密度降低；而$\\nu$的密度仅在凸序约束绑定的点处减小。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：Applications Differential distribution Quantitative Probability

《应用概率年鉴2016》，第26卷，第1期，186-215DOI:10.1214/14-AAP1088c数理统计研究所，2016年，具有随机初始定律的竞赛中的赌博由韩峰和戴维·霍布森沃里克大学。本文研究了引入inSeel和Strack的竞赛模型的一种变体[J.经济学理论148（2013）2033–2048]。在Thesel–Strack竞赛中，每个代理人或参赛者都会私下观察aBrownian运动，全神贯注于零，并选择何时停止。比赛的获胜者是停在最高值的经纪人。该模型假设所有p进程从一个公共值X>0开始，对称纳什均衡用于每个代理使用一个停止规则，该规则为停止的进程生成一个随机值。在双人比赛中，该随机值具有均匀分布[0,2x]。在本文中，我们考虑一个问题的变体，即布朗运动的起始值是独立的、非负的、具有共同规律的随机变量。我们考虑了一个两人竞赛，证明了该问题的对称性方程的存在唯一性。解决方案是，每个代理都应该以目标定律ν为目标，其中ν在凸顺序上大于或等于u；ν在零处有一个原子与在零处的任何u原子大小相同，否则是无原子的；在（0，∞) ν具有降低的密度；而ν的密度只在凸序约束有约束力的点处减小。1.导言。Seel和Strack（2013）引入了一个竞赛模型，其中每个代理选择一个停止规则来停止私人观察的随机过程。以最高值停止进程的选手将赢得aprize。

每个代理的目标不是最大化预期停止值，而是最大化其停止值在所有参赛者的停止值集合中最高的概率。Seel–Strack竞赛是代理人之间竞赛的一种风格化模式，代理人之间的竞争旨在赢得单一奖项。例如某些互联网赌场游戏（如果参赛者下注固定金额，则2014年5月收到；2014年11月修订。AMS 2000科目分类。小学60G40；中学60J65，91A05。关键词和短语。赌博比赛，纳什均衡，斯科罗霍德嵌入，Seel–Strack问题。这是数理统计研究所在应用公共关系年鉴上发表的原始文章的电子版。）《可能性》，2016年，第26卷，第1期，第186-215页。这本再版在页码和印刷细节上与原版不同。2 H.FENG和D.Hobson独立使用名义资金，并在比赛结束时将奖金授予名义财富最高的选手），基金经理之间的竞争（每位经理的目标是超越所有其他经理，以便在下一个时间段获得更多资金进行投资）和公司CEO之间的竞争（从相对而言，只有最成功的CEO才会在大公司担任高管职位）；更多细节和示例见Seel和Strack（2013）。

这些竞赛的关键特点是，从效率角度来看，成本并不取决于策略的灵活性，代理人不会从参赛作品的价值中获得奖励，而只会从参赛作品的相对价值或排名顺序中获得奖励。Seel和Strack（2013）的建模假设包括参赛者无法同时观察对手的实现和停止时间，以及私下观察到的随机过程是零吸收漂移布朗运动的独立实现。正如Feng和Hobson（2015）所说，这种设置可以推广到允许独立实现任何非负的、时间均匀的扩散过程，因为尺度和时间的变化将问题减少到布朗运动的鞅情形而不漂移。从今往后，我们将集中讨论零吸收的无漂移布朗运动。我们将关注两人的情况。Seel和Strack（2013）研究了对称情况，其中所有过程都从同一个严格正常数开始。在本文中，我们将讨论Seel–Strack问题对随机初值的扩展，由此布朗运动的起始值独立于（通常已知的）分布u，其中u是R+上的任何可积概率测度。这可能与赌场赌徒（他们在结束头寸前必须参与最少数量的交易）、具有不同初始投资组合的基金经理（竞争代理不知道这些投资组合）或在实力不同的公司担任职务的新上任CEO有关。Seel-Strack竞赛模型的一个非常吸引人的特点是，它有一个明确的对称纳什均衡，正如Seel和Strack（2013）所构建的那样。

停止规则与进入内容测试的目标法则一致，在平衡状态下，玩家使用随机策略，因此玩家应该停止的水平是随机的。此外，代理应该停止的一组值形成了一个区间，这个区间是有界的。在两人博弈的情况下，目标法则是均匀分布的（因此，如果两个代理的初始财富都是x，那么目标法则在[0，2x]上的密度为1/2x）；参见例3。下文1。我们的结果将Steel和Strack（2013）的结果推广到布朗运动的初始值独立于普通初始定律的情况。在赛尔-斯特拉克竞赛中，停止规则与目标法则一致，在随机初始法则3均衡的测试中，玩家使用随机策略，因此玩家应该停止的水平是随机的。然而，现在，代理应该停止的一组值形成了一个区间，这个区间可以是无限的（如果初始定律有无限的支持）。由于终端定律是通过停止非负鞅而获得的，因此很明显，任何可达到的终端定律的平均值都等于或小于初始定律的平均值，并且很自然地期望最优终端定律具有可能的最高平均值，或者我们等价地期望，对于最优停止规则，终端定律的平均值应该等于初始定律的平均值。那么候选终端法则就是那些凸序大于或等于初始法则的法则。事实上，我们证明了最优律具有双重性质，即目标律的密度在减小，并且密度仅在通过分布势表示的凸序约束具有约束力的水平上减小（零原子可能与初始律相同除外）。

我们有两个主要结果：首先，我们证明了具有这些性质的任何分布都具有问题的对称纳什均衡特征（定理3.1）；第二，我们证明了对于任何初始定律，都有一个具有这些性质的目标定律（定理3.2），因此这个问题有一个唯一的对称灰平衡。Seel–Strack竞赛是经济学文献中最近增加的一项内容，尚未得到大量研究。然而，正如Seel和Strack（2013）所强调的，他们的竞赛模式与所有付费拍卖（参见，例如Baye、Kovenock和de Vries（1996）]、争夺战[Hendricks、Weiss和Wilson（1988）]和无声计时游戏[Parkand Smith（2008）]之间有着密切的联系。事实上，在初始财富固定（等于1/n）的n个可交换代理人的设置中，Seel–Strack竞争的解决方案与成本等于tobid规模的全付费拍卖中的n个代理人的解决方案相同。在这两种情况下，代理人都会随机化他们的策略，以便将不确定性引入他们参与竞赛/拍卖的价值中。这使得对手更难（而且在均衡状态下，不可能）利用对进入分布的了解。如果在双人Seel–Strack比赛中，一名经纪人选择了一个分数质量的条目（初始财富x），那么对手可以一直玩到他的财富为x+ε或破产；从而以概率x/（x+ε）赢得比赛。由于ε可以任意选择，对手可以选择一种策略，其获胜概率任意接近于一，因此第一个玩家的策略不可能是最优的。与Seel–Strack竞赛相比，全价拍卖得到了大量研究。全薪拍卖被用作技术竞争、政治授权和工作晋升（附带福利）的模式。

研究了allpay拍卖的几个推广。有时，在这些拍卖中，一个或多个代理人有一个领先者[Konrad（2002）]，可能来自前总统，4 H.FENG和D.HOBSONor是竞选中的现任者。在最近的工作中，Seel（2014）研究了随机起头的全薪拍卖，这是本文研究问题的直接模拟。Seel在一个不对称的两人全付费拍卖中发现了纳什均衡，其中一人有一个随机起始点，该思想可以推广到两人都有随机起始点的对称情况。相对于Seel（2014）关于随机起始的所有支付拍卖的主要结果，我们发现，具有随机初始定律的Seel–Strackcontest中的对称纳什均衡更微妙。在具有随机起始点的对称双玩家付费拍卖中，总出价的目标律具有{0，1}的密度取值。特别是，在支持分配方面可能存在差距。相比之下，在具有随机初始定律的对称两人Seel–Strack竞赛中，我们发现目标定律的支持没有漏洞，密度单调递减。这表明，Seel–Strack竞赛和全薪拍卖的联系可能不如仅从基本案例来看的那样紧密。在没有起始点/具有点质量初始定律的情况下，两种设置中的纳什均衡是相同的，但这不会将这两个问题合并起来。

即使在标准设置中，我们也了解到，在两人Seel–Strack竞赛中，导致最优的均匀分布的基本属性是其密度递减，而在全薪拍卖中，均匀分布的密度取{0，1}的值。Seel和Strack（2013）解决了他们的问题，提出了问题的候选值函数，然后验证该候选值是每个代理在最优停止规则下的鞅。我们使用拉格朗日方法以不同的方式解决这个问题。我们的求解方法使我们能够很容易地描述与候选平衡相对应的目标定律，但需要一些努力来证明存在具有这些特性的度量，并且对于给定的初始定律，该度量是唯一的。本文的结构如下。在第二部分，我们将介绍竞赛的数学模型。我们将看到纳什均衡是由一对概率测度确定的。在第三节中，我们陈述了唯一对称纳什均衡的主要定理，并给出了一些例子。第4节给出了特征化定理的证明。第5节中的一些初步结果可能具有独立的意义，第6节包括在起始随机变量仅取有限个不同值的情况下对称纳什均衡的显式构造，然后将存在性结果扩展到一般度量。平衡的唯一性在第7节中得到了证实。根据随机初始定律52进行比赛。模型。考虑两个代理之间的竞争。

i探员∈ {1，2}私下观察布朗运动xi=（Xit）t的连续时间实现∈R+在零吸收，其中过程是独立的。Seel和Strack假设Xi=xf是一个不依赖于i的正实数~ u，其中u是一个非负随机变量的定律∈ (0, ∞). 假设（Xi）i=1,2的值独立于定律u。设Fit=σ（{Xis:s）≤ t} ）并设置Fi=（Fit）t≥agent i的策略是aFi停止时间τi。由于零是Xi的吸收，在不失去普遍性的情况下，我们可以将注意力限制在τi上≤Hi=inf{t≥ 0:Xit=0}。进程和停止时间τ都是代理i的私有信息。也就是说，另一个代理无法观察到进程和停止时间τ。停在最高值的代理将赢得一个奖项，我们将其归为一个奖项，而不会失去一般性。在平局中，两个代理停止在相等的最高值，我们假设他们每个人都赢θ，其中θ∈ [0，1）。因此，具有停止值Xiτi的玩家i接收payoff{Xiτi>X3-iτ3-i} +θ1{Xiτi=X3-iτ3-i} 。Seel和Strack（2013）观察到，由于对代理人的报酬仅取决于τivia Xiτi的分布，因此选择最佳停止时间τi的问题可以简化为找到Xiτior的最佳分布的问题，相当于一个最佳目标律。一旦我们找到了最优目标律νi，剩下的工作就是验证存在τisuch，即Xiτi~ νi.这是经典的Skorokhod嵌入问题[Skorokhod（1965）]，其解决方案是众所周知的[Ob l\'oj（2004）和Hobson（2011）的调查结果]。请注意，对于给定的目标律，嵌入问题通常有多个解，这些解中的任何一个都可以用来构造最优停止规则。

我们将用Xiτi的分布来确定一个解，而不是用停止规则本身，因此当我们讨论唯一平衡时，唯一性将指目标分布，而不是停止规则。现在，我们介绍一些将在本文中使用的符号。设M是R+=[0]上的可积测度集，∞) 设P是M的子集，由R+上的可积概率测度组成。设δx∈ P是x的单位质量，让十、∈ P是[0，2x]上的均匀分布（平均值为x）。对于 ∈ M、 让 =R∞十、（dx），并定义正确的连续分布函数F: [0, ∞) 7.→ [0, （R+）]F（x） =（[0，x]）。在续集中，我们偶尔会考虑F作为(-∞, ∞) 在这种情况下，我们设置F（x） =0表示x<0。定义看涨和卖出价格函数6 H.FENG和D.HOBSONC: [0, ∞) 7.→[0, ] 和P: [0, ∞) 7.→ [0, ∞) byC（x） =Z∞x（y）-十）（dy）=Z∞x(（R+）-F（y） ）D，P（x） =Zx（x）- y）（dy）=ZxF（y） 注意C（十）-P（x） =R∞Y（dy）-xR∞（dy）= -十、（R+）和ifχ∈M和if（R+）=χ（R+）然后是limx↑∞（P（十）-Pχ（x））=limx↑∞（P（十）- 十、（R+）- 利克斯↑∞（Pχ（x）-xχ（R+）（1）=χ-.那么χ小于或等于 按凸顺序（写χcx) 当且仅当χ（R+）=（R+，χ= 和Cχ（x）≤ C（x） 为了所有的x≥ 0.最后一个条件可以改写为Pχ（x）≤ P（x） 为了所有的x≥0.注意如果χcx, 然后Cχ（0）=C（0）和χ（{0}）=Fχ（0）=χ（R+）+C′χ（0+）≤（R++C′）（0+）=F(0) = ({0}).假设χ， ∈ P、 那么大家都知道[参见Chacon和Walsh（1976）]对于布朗运动X和X~ χ、 存在一个停止时间τ（Xt∧τ） t≥0是一致可积的，Xτ~ 如果且仅限于χcx. 在我们的背景下，我们不一定要坚持一致性，而是要让停止时间发生在X第一次击中零之前。引理2.1。假设χ， ∈ P