多维空间变量降维的一种方法

幸运的是，正如[4]中提到的，在Vasicek模型、Ho-Lee模型或Hull-White模型下，零息债券的价格遵循几何布朗运动，而累积的短期利率是零息债券价格的确定函数。因此，我们将期权视为z-ero息票债券衍生品，就像在[4]中一样，然后应用我们的定理。问题：持有“欧洲换外国货币”期权的人有权将汇率固定为履约汇率。找到这个选项的合理价格。我们用r（t）表示本币短期汇率，r（t）表示外币短期汇率，F（t）表示本币/外币汇率，K表示本币/外币履约汇率，t表示到期日。在此符号下，我们的欧洲看涨外汇期权的到期付款由[F（T）给出-K] +。假设：所有讨论都是在风险中性测度Q（国内鞅测度）下进行的。

下面，a，a，b，所有的正常数，σ，σ，σ是线性独立的常数向量和{Wt；0≤ T≤ T}=Wt，Wt，Wt; 0≤ T≤ T满足以下条件的isa标准三维维纳过程：E（dWit）=0，V ar（dWit）=dt，Cov（dWit，dWjt）=0（I6=j），1≤ i、 j≤ 3.1）国内外短期利率遵循Vasicek模型：dri=（bi）- 汇率F（t）遵循Garman-Kohlhagen模型[2]：dF（t）=F（t）（r（t）- r（t）dt+F（t）σ·dW（t）。3）本币期权的价格V是国内短期利率、国外短期利率和外汇汇率的确定函数V=C（r，r，F，t）和假设∈ C2,1（D×[0，T）），D=(-∞, ∞) × (-∞, ∞) ×(0, ∞).零息债券的价格动态：用p（T，r；T）表示到期日为T的国内零息债券的价格（以本国货币表示），用p（T，r；T）表示到期日为T的国外零息债券的价格（以外币表示）。那么零息债券的价格pi（t，ri；t）满足以下等式[5]：圆周率t+|σi|圆周率ri+（bi）- 艾里- λi |σi |）圆周率里- ripi=0，pi（T，ri；T）=1。这里λ=0是国内市场风险的价格（在国内鞅测度下），λ6=0是国外市场风险的价格（在国内鞅测度下），σ|表示向量σ的长度。其解用pi（t，ri；t）=Ai（t，t）e表示-Bi（t，t）ri，圆周率ri=-Bi（t，t）pi，Bi（t，t）=ai1.- E-ai（T）-（t）,因此，极限ri（t）是pi=pi（t，ri，t）的确定函数：ri=ri（t，pi）=-Bi（t）（lnpi）- Ai（t））=-Bi（t）lnpi+Ai（t）Bi（t）。

（17） 如[4]所示，零息票债券价格的动态遵循几何布朗运动：事实上是DPI=圆周率t+|σi|圆周率里dt+圆周率里德里=圆周率t+|σi|圆周率ri+（bi）- airi）圆周率里dt+圆周率riσi·dW（t）=rpi+λi |σi|圆周率里dt+圆周率riσi·dW（t）=（ri- λi |σi | Bi（t））pidt+piBi（t）σi·dW（t）。因此我们得到dpi=αi（t）pidt+pi∑i（t）·dW（t），i=1,2，∑i（t）=-Bi（t）σi.（18）PDE模型及其求解：现在我们可以解决定价问题了。用pi=pi（t；t）表示。由于pi（T，T）=1，那么我们的期权价格可以改写为vt=max（fp- Kp，0）。（19） 根据假设3）以及r（t）=r（t，p）和r（t）=r（t，p）的事实，t时期权的国内价格可以重写为零息票债券价格的函数V=V（p，p，F，t）。通过-对冲，将投资组合∏构造为∏=V- P- pF-F.（以本国货币表示）多维Black-Scholes空间变量的降维方法··11该投资组合包括一个选项，国内零息债券的股份，外国零息债券和外币单位。Choo-se, , 使得∏在（t，t+dt）中是无风险的，即d∏=r∏dt。这相当于以下等式dV-数据处理-d（pF）-dF-rdtF=r（t，p）（V）-P-pF-F）dt。

（20） 通过三维It^o公式，我们得到了=五、pdp+五、pdp+五、FdF+n五、t+h∑p五、p+|∑p五、p+|σ| F五、F+2∑∑pp五、Pp+2∑·σpF五、PF+2∑·σpF五、PFiodt，d（pF）=pdF+fdp+σ·pF-dt。如果我们把以上两个表达式代入（20），那么我们得到五、P- dp+五、P- Fdp+五、F- P- dF+n五、t+h∑p五、p+|∑p五、p+|σ| F五、F+2∑∑pp五、Pp+2∑·σpF五、PF+2∑·σpF五、P菲奥特-∑·σpF dt- r（t，p）dt·F=r（t，p）（V）- P- pF-F）dt。我们选择这里和以至于五、P- = 0,五、P- F=0，五、F- P- = 0，相当于，=五、P=F五、P=五、F-pF五、p、 然后我们有五、t+r（t，p）五、pp+[r（t，p）-∑（t）·σ]五、pp+[r（t，p）- r（t，p）]F五、F+h∑（t）| p五、p+|∑（t）| p五、p+|σ| F五、F+2∑（t）·∑（t）pp五、Pp（21）+2∑（t）·σpF五、PF+2∑（t）·σpF五、P菲- r（t，p）V=0.12 Hyong chol O，Yong hwa Ro，Ning Wan问题（2 1）和（19）是欧洲看涨外汇期权的定价模型，该期权被视为两个国家零息债券的衍生品。方程（2 1）的形式类似于Black-Scholes方程，但Firstorder导数项和未知函数本身的系数变化很大，这取决于空间变量。虽然我们的定理处理的是常数系数BlackScholes方程，但变量sz=p·Fdoes的变化效果很好。这种变量的变化构成了外国零息债券的价格和汇率对外国零息债券国内价格的影响。

通过变量的这种变化，由（21）和（19）给出的空间三维问题转化为以下空间二维问题：五、t+r（t，p）五、pp+r（t，p）五、zz+h∑（t）| p五、p+|∑（t）+σ| z五、z+2∑（t）·（t）+σ）pz五、P子- r（t，p）V=0，（22）VT=max（z）- Kp，0）。最初的到期支付函数（19）在其变量（p，p，F）上没有同质性，但问题（22）的到期支付函数在其新变量（z，p）上有同质性，因此根据[4]的定理1，我们可以使用numeraireU=Vp，y=zp（=pFp）的标准变化。这种变量的变化将外国零耦合债券的债券价格和国内价格转化为相对于零息票债券价格的相对价格，我们有以下无风险利率为0的一维Black-Scholes方程的终值问题：Ut+|∑（t）- ∑（t）- σ|Uyy=0，（23）U（y，T）=最大（y）- K、 0）。我们可以用[3]的标准方法简单地求解（23）。（23）isU（y，t）=yN（`d）的解- 千牛（`d）。这里的\'d=lnyK+σ（t，t）σ（t，t），\'d=\'d- σ（t，t），σ（t，t）=ZTt∑（u）-∑（u）- σ| du。考虑（18），我们得到σ（t，t）=ZTt | B（u，t）σ- B（u，T）σ+σ| du。多维Black-Scholes空间变量降维的一种方法···13返回到原始变量V，p（t，t），p（t，t），F，然后我们得到欧式看涨期权的价格：V（p，p，F，t）=p（t，r，t）fn（d）- Kp（t，r，t）N（d），（24），其中d=lnp（t，r（t），t）·F（t）p（t，r（t），t）·K+σ（t，t）σ（t，t），d=d- σ（t，t）。注：公式（24）与[6]中的定价公式一致。4.抛物方程形式的不变性事实上，Black-Scholes方程形式的不变性是基于抛物方程形式在变量变化和变量线性组合下的不变性。