多维空间变量降维的一种方法

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英文标题：
《A Method of Reducing Dimension of Space Variables in Multi-dimensional
  Black-Scholes Equations》
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作者：
Hyong-chol O, Yong-hwa Ro, Ning Wan
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We study a method of reducing space dimension in multi-dimensional Black-Scholes partial differential equations as well as in multi-dimensional parabolic equations. We prove that a multiplicative transformation of space variables in the Black-Scholes partial differential equation reserves the form of Black-Scholes partial differential equation and reduces the space dimension. We show that this transformation can reduce the number of sources of risks by two or more in some cases by giving remarks and several examples of financial pricing problems. We also present that the invariance of the form of Black-Scholes equations is based on the invariance of the form of parabolic equation under a change of variables with the linear combination of variables.
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中文摘要：
研究了多维Black-Scholes偏微分方程和多维抛物型方程的降维方法。证明了Black-Scholes偏微分方程中空间变量的乘法变换保留了Black-Scholes偏微分方程的形式，并降低了空间维数。我们通过评论和几个金融定价问题的例子来说明，在某些情况下，这种转变可以将风险源的数量减少两个或更多。我们还证明了Black-Scholes方程形式的不变性是基于抛物型方程形式在变量变化和变量线性组合情况下的不变性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> A_Method_of_Reducing_Dimension_of_Space_Variables_in_Multi-dimensional_Black-Sch.pdf (185.04 KB)

2022-5-6 07:38:59 上传

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关键词：Differential Quantitative Applications Dimensional QUANTITATIV

多维Black-Scholes方程中空间变量降维的一种方法中国上海同济大学韩国应用数学系金日成大学数学系Yong chol O，Yong hwa RoNing Wan 1,2电子邮件：ohyongchol@yahoo.com,leewunghun@yahoo.com,blumping@etang.comAbstract我们研究了多维Black-Scholes偏微分方程和多维抛物方程的降维方法。证明了Black-Scholes偏微分方程中空间变量的乘法变换保留了Black-Scholes偏微分方程的形式，降低了空间维数。我们证明，在某些情况下，通过发表评论和几个财务定价问题的例子，这种转变可以将风险源的数量减少两个或更多。我们还证明了Black-Scholes方程形式的变化是基于抛物方程形式在变量变化和变量线性组合下的不变性。布莱克-斯科尔斯方程；多维；降维；选择；外汇执行价；篮子期权；外汇期权；零息债券衍生品。2010年数学学科分类35K15，91B24。1简介多资产期权价格满足多维Black-Scholes偏微分方程[3]。众所周知，在多资产期权定价中，计价单位的变化提供了非常重要的计算简化。见[1]。但使用numerairechange技术，我们可以将风险源的数量减少一个。见[4]。另一方面，在金融衍生品的一些定价问题中，我们可以看到一些变量的转换将风险源的数量减少了两个或更多。

例如，在[6]中，他们将欧洲ancall外币期权的风险从3个减少到1个。他们的主要方法是将数字的变化和两个变量的乘法转换结合起来。此外，在[3]中，Jiang L.S在一次尝试定价一篮子期权时，在不使用任何数值变化的情况下，将n个基本集合的几何平均数的结果从n个风险减少到1个。这些工作[3,6]使我们确信，多维Black-Scholes偏微分方程的空间维数必须存在另一种通用变换（除了数值的变化），并为我们提供了本文的线索。根据[3,6]中关于外币期权定价（美元期权定价）的结果，我们认为两个变量的乘法变换将保留Black-Scholes偏微分方程的形式。这种变换可以降低空间变量的维数，而且，如果某些条件成立，这种变换可以重复应用，因此在这种情况下，我们可以将风险源的2 Hyong chol O、Yong hwa Ro、Ning Wan数减少两个或更多。蒋[3]的结果使我们发现了更普遍的转变。本文证明了多维Black-Scholes偏微分方程的形式在变量乘法变换下的不变性，并给出了用这种变换降低多维Black-Scholes偏微分方程空间维数的例子。根据我们的研究，在金融衍生品定价中，降低维度的可能性取决于到期支付函数结构。本文的其余部分包括以下内容。

在第二节中，我们证明了多维Black-Scholes偏微分方程在变量乘法变换下的形式不变性。在第3节中，我们举了一些例子，例如：行权价格与股票价格不同的期权定价、到期日支付为几何平均数的篮子期权定价、欧洲看涨期权定价。在第4节中，我们考虑了BlackScholes偏微分方程形式的不变性和抛物方程形式的不变性之间的关系。2 Black-Scholes方程形式的不变性Black-Scholes偏微分方程是金融数学中的主要模型之一。下列部分微分方程五、t+nXi，j=0aijSiSj五、硅Sj+nXi=0（r- (七)Si五、硅- rV=0，（1）被称为无风险利率r的（n+1）维Black-Scholes方程。这里r>0是无风险利率，位于股息率为qi（i=1，··，n）的第i个标的资产，A=[aij]ni，j=0a非负定义（n+1）×（n+1）矩阵和V（S，S，·，Sn，t）从标的资产S，··，Snat time t.方程（1）解的存在性和表示如[3]所述。下面的定理是我们的主要结果。定理1在z=SαSα，zi=Si，i=2，···，n的变换下，（2）将方程（1）转化为一个无风险的n维Black-Scholes方程。换句话说，方程（1）的解为v（S，S，·，Sn，t）=U（z，·，zn，t）。（3） 其中U（z，·，zn，t）是以下无风险率r的n维Black-Scholes方程的解：Ut+nXi，j=1’aijzizjU子zj+nXi=1（r- “气”字U子- rU=0。

（4） 在多维Black-Scholes···3 Here’aij中，空间变量的降维方法如下：=aα+aα+aα+aα+aα，i=j=1，a0jα+a1jα，i=1，j=2，·n，ai0α+ai1α，i=2，·n，j=1，aij，i，j=2，·n，qk=R-Pi=0R- 气-好的αi-π，j=0aijαiαj，k=1，qk，k=2，···，n.（5）证明如果我们在（1）中用u对zi（i=1，···，n）的竞争重写V对Si（i=0，··，n）的导数，那么我们有五、SS=αUzz，五、SS=αUzz，五、西西=U子，i=2，··，n，五、SS=αUzz+α（α）- 1)Uzz，五、SS=αUzz+α（α）- 1)Uzz，五、sSSS=ααUzz+αUzz，五、sSjSSj=αUZzjzzj，j=2，·n五、sSjSSj=αUZzjzzj，j=2，·n五、硅SjSiSj=U子如果我们将（1）中的二阶竞争项展开为nXi，j=0bij=Xi，j=0bij+Xi=0nXj=2bij+nXi=2Xj=0bij+nXi，j=2bij，并将上述导数代入这里，那么我们可以很容易地得到（4）和（5）。然后，n维矩阵A=[\'aij]ni，j=1明显对称且非负。事实上，4 Hyong chol O，Yong hwa Ro，Ning Wan表示任何ξ=（ξ，···，ξn）⊥∈ Rn（超级ipt）⊥ ” 表示转置），我们有ξ⊥\'Aξ=nXi，j=1\'aijξiξj=\'Aξ+nXj=2\'a1jξj+nXi=2\'ai1ξiξ+nXi，j=2\'aijξiξj=Xi，j=0aijαiαjξ+nXj=2Xi=0aijαi！ξξj+nXi=2Xj=0aijαjξiξ+nXi，j=2aijξiξj=Xi，j=0aij（αiξ）（αjξ）+Xi=0nXj=2aij（αiξ）ξj+nXi=2Xj=0aijξi（αjξ）+nXi，j=2aijξiξj⊥∈ Rn+1，然后从A的非负性出发，我们得到ξ⊥\'Aξ=η⊥Aη≥ 0，这就完成了定理1的证明。（QED）如果我们反复应用转换（2），那么我们可以得到以下推论1。推论1让k∈ {1,2，·n}。在反式构象zk=Sα·Sαkk，zi=Si，i=k+1，·n。

（6） 将方程（1）转化为（n+1）- k） -多维布莱克-斯科尔斯方程。考虑（n+1）维Black-Scholes方程（1）的一个终端条件v（S，S，·Sn，T）=P（S，S，·Sn）（7）。然后从定理1，我们得到如下推论2。推论2假设存在一个n维函数F，使得p（S，S，S，·Sn）=F（Sα，Sα，S，·Sn）。（8） 然后通过改变（2）和（3）给出的变量，将（1）和（7）给出的终值问题转化为（4）和u（z，·zn，T）=F（z，·zn）给出的n维Black-Scholes方程的终值问题。（9） 注1如[4]所示，如果到期支付函数P（S，S，··，Sn）的变量具有同质性：P（As，As，··，aSn）=aP（S，S，··，Sn），a>0，多维Black-Scholes空间变量降维的一种方法··5然后通过改变数值Eu=VS，zi=SiS，i=1，··n，（10）将（1）和（7）给出的（n+1）维终值问题转化为无风险率为0的n维Black-Scholes方程的终值问题。新的转换到期支付函数F由F（z，·zn），P（1，z，·zn）给出。然后，新的到期支付函数F不再具有其变量的同质性。例如p（S，S，S）=max（S，S，S）具有同质性，但其新变换的二维函数f（z，z）=max（1，z，z）没有同质性。因此，改变数字只能将风险源的数量减少一个，不可能重复使用。注2在推论2中，如果新的到期支付F与（8）中的P具有相同的性质，那么我们可以重复使用转换（2）。

例如，ifP（S，S，S）=max（SSS- K、 0）我们应用变换z=S·S，那么新的到期支付F也由F（z，z）=max（zz）给出- K、 因此它也是z·zand的函数，我们可以再次使用变换（2），然后我们得到一维函数G（x）=max（x）- K、 0）。注3我们认为，在多维Black-Scholes方程中，降维原理是基于其在变换（6）和数值变化（10）下的不变性。因此，在多维Black-Scholes方程衍生的金融衍生品定价问题中，降维的可能性取决于到期支付函数的结构。如果衍生工具的价格模型可以导出BlackScholes方程，并且它的预期收益是一组风险源变量的函数，例如（6），而且，如果组变量的新到期收益函数具有同质性，那么使用（6）和（10），我们可以将问题的维数减少两个或更多。3例3。1具有外币执行价的期权本例在[1]中用期望法研究，在[4]中用偏微分方程法研究。有关财务背景的详细信息，请参考[1,4]。这里我们只提到等式（2）给出的转换n的使用。6 Hyong chol O，Yong hwa Ro，Ning Wan问题：标的股票以英镑交易，期权行使价格以美元为单位。在t=0时，当执行价格以英镑计算时，期权是货币期权（也就是说，执行价格与标的股票价格相同[3,5]）。这个价格换算成美元，t=0。在期权有效期内，这样计算的美元履约价格保持不变。在到期日t=t时，期权持有人可以支付固定美元的trike价格购买标的股票。

找到这个选项的合理价格。数学模型用S（t）表示股票价格（以英镑为单位），R表示英国现货市场的短期汇率，R表示美元的短期汇率，X（t）美元/英镑汇率（然后Y（t）=X（t）-1英镑/美元汇率），KD指以美元表示的履约价格，Kp（t）指以英镑表示的履约价格。假设1）股票价格S（t）满足几何布朗运动：dS（t）=αSS（t）dt+σSS（t）dWS（t）（客观度量）。2）Rp和Rd是确定性常数。3） 美元/英镑汇率X（t）满足Garman-Kohlhagen模型[2]：dX（t）=αXX（t）dt+σXX（t）dWX（t）（客观度量）。这里，WS（t）和WX（t）是标量维纳过程，并且具有以下关系：dWS（t）·dWX（t）=ρdt，|ρ|<1。履约价格说明：Kp（0）=S（0），Kd=Kp（0）·X（0）=S（0）·X（0）≡常数美元的履约价格是不变的，但英镑的履约价格因汇率的变化而随机变化：Kp（t）=Kd·X（t）-1=S（0）·X（0）·X（t）-1.关于到期支付的解释：到期时期权的美元价格为Fd=max（S（T）·X（T）- Kd，0）。然后，期权到期时的英镑价格isFp=max（S（T）-Kp（T），0）=最大值（S（T）-S（0）·Y（0）-1·Y（T），0）。现在我们推导了以美元为单位的期权定价的PDE模型。设Vd=V（S，X，t）为期权的美元价格。通过-对冲，构造一个投资组合∏为∏=V- SX- X.（该投资组合的美元价格包括一项期权，股票和股票的股份英国镑。）选择, 使得∏在（t，t+dt）中是无风险的，即d∏=rd∏dt。多维Black-Scholes中空间变量降维的一种方法···7然后我们可以很容易地导出以下PDE定价模型[4]：五、t+σSS五、S+2ρσSσXSX五、sX+σXX五、十、+（rp）- ρσSσX）S五、S+（rd）- rp）X五、十、- rdV=0，（11）V（S，X，T）=最大（S·X）- Kd，0）。

（12） 这里我们要提醒的是，S是代表股票价格的变量，X是代表美元/英镑汇率的变量，T是到期日，V是期权价格。方程（11）是一个二维B-Scholes方程，T-Payoff函数（12）不满足同质性，但它是组变量Z=SX的函数。（13） （这个变量的变化将以英镑表示的股票价格转换为美元价格。）因此，根据定理1的推论2，通过变换（13），我们的pr问题转化为以下一维问题：五、t+（σS+2ρσSσX+σX）z五、z+rdz五、Z- rdV=0，V（z，T）=最大值（z- Kd，0）。（14） 问题（14）可以被视为一个普通的英国美元看涨期权定价问题。根据标准的布莱克-斯科尔斯公式，V（z，t）=zN（d）- Kde-rd（T）-t） N（d），其中d=lnzKd+rd+σS，X（T）- t） σS，X√T- t、 d=d- σS，X√T- t、 σS，X=σS+2ρσSσX+σX。如果我们返回到原始变量（S，X），那么我们就得到了期权的美元价格：Vd（S，X，t）=SXN（d）-Kde-rd（T）-t） N（d），其中d=lnSXKd+rd+σS，X（T）- t） σS，X√T- t、 d=d- σS，X√T- t、 考虑Vp=Vd·X-1和Kd=S（0）·X（0），我们有选项的英镑价格：Vp（S，X，t）=SN（d）-SXXe-rd（T）-t） N（d），其中d=lnSXSX+rd+σS，X（T）- t） σS，X√T- t、 d=d- σS，X√T- t、 8洪哲欧、永华罗、宁宛3。2到期收益为几何平均数的篮子期权假设基础资产的价格为S、·Sm-1下列几何布朗运动与期权isV（S，··，Sm）的到期支付-1，T）=（Sα，··，Sαm-1米-1.- K） +（15）其中pαi=1，αi≥ 0

这种期权被称为一篮子期权，到期收益为m基础资产的几何平均值[3]。该方案的数学模型是m维Black-Scholes方程的终值问题（1）和（15），当n+1=m时，在变换Z=Sα·Sαm下-1米-1（16）我们有五、Si=αiz五、z、 i=0，··，m- 1，是的五、Si=αiz五、z+αiz五、Z- αiz五、z、 西丝五、硅Sj=αiαjz五、z+αiαjz五、z、 （i 6=j）。当n+1=m且考虑pαi=1时，如果我们将上述导数表达式代入方程（1），则五、t+M-1Xi，j=0aijαiαjz五、z+M-1Xi，j=0aijαiαj-M-1Xi=0aiiαiZ五、Z+R-M-1Xi=0qiαi！Z五、Z- rV=0表示^σ：=m-1Xi，j=0aijαiαj，^q:=m-1Xi=0齐+所有αi-^σ.然后我们得到了一维Black-Scholes方程（标准调用选项）的下列终值问题：五、t+^σz五、z+（r）- ^q）z五、Z- rV=0，V（z，T）=（z- K） +。如果我们使用标准的Black-Scholes公式，并返回到原始变量，那么我们就得到了一篮子期权的定价公式，其到期收益为几何测量值：V（S，··，Sm）-1，t=e- ^q（T）-t） Sα···Sαm-1米-1N（d）- 柯-r（T）-t） N（d），多维Black-Scholes··9中空间变量的降维方法，其中d=lnSα··Sαm-1米-1K+R- ^q+^σ（T）- t） ^σ√T- t、 d=d- ^σ√T- t、 3.3欧洲看涨期权的定价[6]在随机短期利率和随机汇率的一般条件下研究了该问题。他们将期权视为利率衍生品，因此他们推导的价格偏微分方程不是标准的多维Black-Scholes方程。因此，我们的结果不能直接应用于他们的方程。