具有扭曲风险测度和保费的最优再保险策略

这意味着每个失真风险或溢价在一组共单调随机变量上是线性的；特别地，它在下列容许解空间上是线性的a={f（X）| f∈ C} 。如果我们表示函数f7→ a∧（X）- f（X））+a∧（f（X））乘以Γ（f），那么我们有ΓnXi=1γifi=nXi=1γiΓ（fi），（15）式中γi≥ 0，nPi=1γi=1和fi∈ C、 对于i=1。。，n、 众所周知，如果函数f是Lipschitz连续的，它几乎处处可微，并且它的导数本质上是以它的L ipschitz常数为界的。因此，函数f可以写成其导数的积分。因此，C可以表示为asC=f:R+→ R+f（x）=^xh（t）dt，0≤ H≤ 1..我们引入了边际补偿函数的空间s asD=nh:R+→ R+0≤ H≤ 1o。定义2。对于任何赔偿功能∈ C、 相关的边际补偿是一个函数h∈ D使得f（x）=^xh（t）dt，x≥ 0.边际赔偿函数的解释如下：如果f（x）='xh（t）dt是一个对照，那么在每个值x=x时，整体损失值的边际变化δ将导致δh（x）大小的割让风险的边际变化。我们将在下文中看到，在我们的框架中，最优契约的边际变化为0或δ，即h=0或1.4最优解。在本节中，我们将注意力限制在满足以下规则性条件的一系列失真风险度量和溢价上→∞∧i（X）∧ n） =λi（X），i=1,2。（16） 引入ψx和h*如下ψ（t）：=（a）- （a）- （a∏（t）- a∏（t）），（17）和k*（t）=0ψ（t）>01ψ（t）<0k（t），否则，（18）其中k可以是ψX=0上0和1之间的任何函数。在这里，我们陈述我们的主要研究结果。如果∧和∧满足（16），一般优化问题（13）的解由f（x）='xk给出*（VaRt（X））dt，其中k*由（18）和（17）给出。

最小时的值也由∧（X）给出-^∞Ψ-X（t）dt。（19） 备注3。看到k是非常重要的*只取决于市场偏好和溢价，因此，它是普遍的。我们还可以看到总风险和市场偏好的作用是如何分离的。证据因为f（x）和x-f（x）a都是非递减的，而且由于VaRtcommutewith单调函数，我们得到∧（x）- f（X））+a∧（f（X））=a^VaRt（X）- f（X））d∏（t）+a^VaRt（f（X））d∏（t）=a^（VaRα（X）- f（VaRt（X））d∏（t）+a^f（VaRt（X））d∏（t）。（20） 使用我们已经介绍的C的成员的表示，在D的成员中，存在h∈ D使得f（x）='xh（t）dt。因此，wehavea∧（X- f（X））+a∧（f（X））=a^VaRt（X）d∏（t）-a^VaRt（X）h（s）dsd∏（t）+a^VaRt（X）h（s）dsd∏（t）。（21）首先，我们假设Xis有界。根据富比尼定理，（21）给定∧（X）- f（X））+a∧（f（X））=a∧（X）+^∞a^FX（t）d∏（s）- a^FX（t）d∏（s）！h（t）dt=a∧（X）+^∞（a∏（1）- π（FX（s）））- a（π（1）- π（FX（s）））h（s）ds=a^VaRs（X）d∏（s）+∞ψ（FX（s））h（s）ds，（22），在最后一行中，我们使用∏（1）=∏（1）=1这一事实。很明显，以下是*将最小化（22）小时*（s）=0ψ（FX（s））>01ψ（FX（s））<0h（s），否则，其中h可以是ψ（FX（s））=0上0和1之间的任何函数。既然我们可以自由选择h的值*在ψ=0时，我们可以将其等于0或1。最小值也等于∧（X）-^∞Ψ-（t） dt。通过变量t=FX（s）的简单变化，我们得到有界X的结果。现在让我们一般假设Xis没有界。很明显，在每个点t，{i∏o 外汇∧n（t）}n=1,2，。。。，i=1，2相对于n不增加。另一方面，f或任何t，存在n，如果n>n，那么FX∧n（t）=FX（t）。因此，对于nyt，我们有∏i（FX∧n（t））↓ πi（FX（t）），i=1,2。现在通过单调收敛定理，我们得到了这个极限→∞∞^∏i（FX）∧n（t））h（t）dt=∞^∏i（FX（t））h（t）dt，i=1，2，对于任何函数h∈ D

利用这个事实，我们的连续性假设（16）和fis非递减，我们有∧i（f（X））=limn→∞∧i（f（X）∧ f（n））=limn→∞∧i（f（X）∧ n） ）=limn→∞^∞（i（1）- πi（FX）∧n（t）））h（t）dt=^∞（i（1）- πi（FX（t）））h（t）dt，对于i=1,2。这只会导致ina∧（f（X））+a∧（X）- f（X））=a∧（X）+^∞（a∏（1）- π（FX（t）））- a（π（1）- π（FX（t*****）h（t）dt其余的证明遵循（21）之后的相同行。5推论和示例在本节中，我们使用我们在最后几节中发展的理论来寻找特定情况下的最优解。然而，在此之前，我们考虑了进一步的假设。首先，我们假设累积分布函数fx和畸变函数∏严格递增；例如，当Xis是一个在时间t具有指数索赔的复合泊松过程的值，π是期望值或Wang\'s emium。另一方面，当ρ是相对安全下限时，我们假设a=1和a=1+ρ。在文献中，当使用VaRα或CVaRα时，假设α（1+ρ）≤ 1.假设α总是一个非常接近1的数字（通常是α）∈ [0.9,0.99]），这意味着ρ必须小，精确地说，小于1-αα. 在下文中，我们假设一个不同的假设，即ρ1+ρ<π（α）。注意，如果ρ足够小，这个假设总是成立的。让d*还有*是两个实数，比如FX（d*) =ρ1+ρ和∏（FX（a*)) =ρ1+ρ=FX（d*) 让L=F-1X（α）- A.*.推论1。如果我们让∧=VaRα，那么割让公司的最优解是一个止损合同，如xr所述=0 X≤ A.*十、- 洛杉矶*< X<a*+ 洛杉矶*十、≥ A.*+ L.证据。我们知道，因为∧=VaRα，所以∏（t）=1[α，1]（t）。因此，ψ（t）=ρ - （1+ρ）π（FX（t））t<F-1X（α）ρ+1- （1+ρ）π（FX（t））t≥ F-1X（α），上面定义ψ的第二行显然是非负的。如果ρ，则第一行为非负-（1+ρ）π（FX（t））≥ 0和t<F-1X（α）。

假设ρ1+ρ=FX（a*)),这相当于说t<a*t<F-1X（α）；或者在sumt<minA.*, F-1X（α）.另一方面，由于假设∏（FX（a*)) =ρ1+ρ<π（α），然后a*<F-1X（α）。这意味着*= 闵A.*, F-1X（α）. 因此，ψ在区间是非正的A.*, F-1X（α）= （a）*, A.*+ 五十） 。因此，h*被赋予灰烬*（t）=1A*< t<a*+ L0否则。通过积分h/t，f*（十）=0 x≤ A.*十、- A.*A.*< x<a*+ LL x≥ A.*+ L.备注4。特别地，如果π是扩张的，那么*= D*, 我们的结果与文献中已有的结果一致。推论2。如果 = CVaRα和∏是凸的，那么最优策略是一个描述为xr的停止损失策略=0 X≤ A.*十、- A.*A.*< X<a*+ L*LX≥ A.*+ L*,我在哪里*是一个大于L.证明的数字。在这种情况下∏（x）=x-α1-因此，ψ（t）=（ρ- （1+ρ）∏（FX（t））FX（t）<αρ+FX（t）-α1-α- （1+ρ）π（FX（t））FX（t）≥ α.发现h的结构*, 我们必须知道ψ是非负的。分析结果与推论1非常相似，只是我们需要找出定义ψ的第二线何时为非负。首先，观察FX（t）=α时，定义ψ的第二行变成ρ- （1+ρ）π（α），通过假设fx（d*) < π（α），生成ψ（F）-1(α)) < 0. 这表明在区域{t:FX（t）≥α} ，ψ可以是负的（与前面的推论不同）。由于∏是凸的，定义ψ的第二条线是FX（t）的凸函数，在FX（t）=1时为零。因为我们已经证明了ψ在FX（t）=α时为负，所以我们推断存在一个解B*到ρ+FX（t）-α1-α- （1+ρ）π（FX（t））=0，严格大于F-1X（α）=a*+ 五十、 使得ψ在b之间是非负的*和1。因此，h（t）=1A*< FX（t）<b*否则为0。这表明，与分出公司的风险度量为VaRα的情况类似，CVaRα的最佳再保险再次是止损，但具有更大的责任*= B*- A.*.备注5。

特别是，如果π是期望值，我们有b*= F-1Xα+(1-α)ρ1-(1-α)(1+ρ).例1。让我们再次考虑割让问题。假设分出风险度量为CVaRα，再保险公司的风险保费为（7）中给出的王氏保费。我们再次确定了相对安全负荷。人们可以通过以下公式找到ψ：ψ（t）：=ρ+外汇（t）- α1 - α[α，1]（FX（t））- (1 + ρ)1.- Φ(Φ-1(1 - FX（t））+β）.在图1和图2中，我们描述了ψo F-1x和k=h**o F-分别为1X，用于不同的场景。我们可以看到，在所有情况下，我们都有一个政策h*与止损保单相关。从图1中可以看出，如果β很小，那么保单就更可能成为一个退化保单，将整个风险转移给保险公司，以应对所有级别的风险规避。另一方面，通过使用固定β查看图2，可以看到风险厌恶程度越高，保留水平越高。即使t水平α=0.99，也可以看出保单是退化保单，所有风险都转移到再保险公司。0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1-0.500.5α=0.9β=3β=3.6β=4.2Zero0。9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1-0.500.5α=0.95β=3β=3.6β=4.2Zero0。9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1-5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.0.0.0.0.970.0 0.970.0.0 0.0 0.950.950.950.950.955 0.0.0.5.0.0.0.0.0.0 0.0.0 0.0 0.0 0.0.0 0 0.0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.950.955 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0.0 0 0 0 0.0 0 0.0.9 9 9 9 9 9 9 9 0.995 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.995 0 0 0 0 0 0 0 0 0.995 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.995 0 0 0 0 0 0 0.995 10 10 10 0.99图2：边际补偿函数k*, 对于参数β=3.6和ρ=0.5。例2。

让我们考虑一下，当α<β时，分出公司使用VaRα，再保险公司使用VaRβ。ψ（t）=ρFX（t）<αρ+1α≤ FX（t）<β0 FX（t）≥ β.这表明f（x）=0，因此，分出公司不应将其风险的任何部分转移给再保险公司。在相反的方向上，如果α>β，再保险公司也是如此，这意味着再保险公司必须承担全部风险。参考Acerbi，C.（2002年）。风险的光谱度量：主观风险厌恶的连贯表示。《银行与金融杂志》26（7），1505-1518。阿罗，K.J.（1963年12月）。不确定性与医疗保险的福利经济学。《美国经济评论》LIII（5）。Balb\'as，A.，J.Garrido和S.Mayoral（2009年）。失真风险度量的属性。应用概率中的方法和计算11（3），385–399。Bernard，C.和W.Tian（2009）。尾部风险度量下的最优再保险安排。《风险与保险杂志》76（3），709–725。Borch，K.（1960）。试图确定止损再保险的最佳金额。第16届国际精算师大会的交易记录I（3），597–610。蔡，J.和谭K.S.（2007）。在VaR和CTE风险度量下，止损再保险的最优自留额。阿斯汀·布尔。37 (1), 93–112.蔡，J.，谭K.S.，翁C.和张Y（2008）。VAR和CTE风险度量下的最优再保险。我喜欢数学。经济。43 (1), 185–196.张，K。，宋国强、任志刚和容世华（2014年）。一般不变风险测度下的最优再保险。斯堪的纳维亚精算杂志20 14（1），72-91。张克强（2010）。重新审视最优再保险——一种几何方法。阿斯蒂布尔。40 ( 1), 221–239.迟永永和陈国新（2013）。一般保费原则下的最优再保险。保险：数学与经济学52（2），180-189。Cont，R.，R.Deguest和G.Scandolo（2010）。

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