有限期内具有停止的最优投资

为了证明（5.3），我们定义了（y，t）=u（y，t- δ） 对于小δ>0。从（4.5）中，我们知道w（x，t）满足明尼苏达州- tw-嗯yyw+rw，w-1.-γγγγ-1.- Kyo=0，y>0，δ<t<t，w（Kγ- 1，t）=γKγ，δ<t<t，w（y，t）=u（y，t）- δ) ≥1.-γγγγ-1+Ky，0<y<Kγ- 1.（5.4）将比较原理应用于关于终值的变分不等式（4.5）和（5.4）（见Friedman（1982）），我们得到（y，t）≤ w（y，t）=u（y，t- δ） ，y>0，δ<t<t屠≤ 0和（5.3）成立。基于（5.2），我们定义了自由边界H（t）：=minnyu（y，t）=1- γγγγ-1+Kyo，0≤ 定理5.2自由边界函数h（t）是单调递减的（图2），h（t）：=limt→T-h（t）=rKa1-γ- r1-γγγ- 1.（5.5）此外，h（t）∈ C[0，T]∩ C∞[0，T）.证明：首先，从（5.3）开始，h（T）是单调递减的。表示φ（y）：=1- γγγγ-1+Ky.在埃利，-t~n-嗯yy~n+r~n=-a1- γ+r1- γγγγ-1+rKy≥ 0，soh（t）≥rKa1-γ- r1-γγγ- 1, 0 ≤ 因此，h（t）≥rKa1-γ- r1-γγγ- 1.为了证明（5.5），我们假设（T）>rKa1-γ- r1-γγγ- 1、（5.6）那就不难了tu（y，T）>0，表示h（T）<y<rKa1-γ- r1-γγγ- 1，这与（5.3）相矛盾。因此，期望的结果（5.5）成立。最后，o f h（t）的pro∈ C[0，T]∩ C∞[0，T）与Friedman（1975）的结果相似。这里，我们省略了细节。图2。y=h（t），ψ（y）=1-γγγγ-1+KytTyγKγERyu=~n（y）CRyu>~n（y）定理5.3适用于任何（y，t）∈ Qy，我们有yyu（y，t）>0。（5.7）证明：如果（y，t）∈ 呃，那么u=1-γγγγ-1+Ky.因此，yyu=1- γyγ-1.-1> 0，（y，t）∈ 嗯。If（y，t）∈ 那就哭吧- 屠-嗯yyu+ru=0（y，t）∈ 哭泣（5.8）关于产量的差异（5.8）- t(yyu）-嗯yy(yyu）- 嗯y(yyu）+（r- （a）(yyu）=0，（y，t）∈ 哭泣

（5.9）注意yyu（y，t）>0，t=t或y=h（t）。应用最小原理，我们得到yyu=1- γyγ-1.-1> 0，（y，t）∈ 哭泣备注：从（3.6）开始，我们有xxV<0，这意味着V严格凹于原始问题（2.6）在自由边界上的自由边界y=h（t）u（y，t）=1- γγγγ-1+Ky，y=h（t），（6.1）yu（y，t）=-γ-1+K，y=h（t）。（6.2）从对偶变换（3.2）和（3.5）可知x=-于（y，t）。（6.3）用x=g（t）表示（2.6）的自由边界。应用（6.2）和（6.3）yieldsg（t）=-yu（h（t），t）=h（t）γ-1.- K.（6.4）此外，g′（t）=γ- 1h（t）γ-1.-1h′（t）>0，（6.5）g（t）=h（t）γ-1.- K=rKa1-γ- r1-γγ- K、 （根据第（5.5）款）。（6.6）因此，我们有以下定理。定理6.1问题（2.6）的自由边界x=g（t）是单调递增的（图3），g（t）由（6.6）确定。此外，g（t）∈ C[0，T]∩ C∞[0，T）。图3。x=g（t）tTxCRxV>γ（x+K）γERxV=γ（x+K）γ财务含义：在时间t时，如果x>g（t），管理者应继续按照（2.5）进行投资，而如果x<g（t），投资者应停止投资。7结论性评论我们探索了一类在金融投资中混合了最优停止的最优投资问题。提出了相应的HJB方程，它是一个完全非线性方程的自由边界问题。通过对偶变换，我们得到了一个在复杂约束条件下具有线性方程的自由边界问题。关键的一步是简化这个复杂的约束条件。通过这种方式，我们研究了自由边界的性质和投资者的最优策略。参考文献[1]Bensousan，A.和Lions，J.L.（1984）：脉冲控制和拟变分不等式。GauthierVillars。[2] 卡彭特，J.N.（2000）：期权补偿会增加管理风险偏好吗？《金融杂志》，第50卷，2311-2331页。[3] Ceci，C.和Bassan，B。

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