有限期内具有停止的最优投资

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英文标题：
《Optimal Investment with Stopping in Finite Horizon》
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作者：
Xiongfei Jian and Xun Li and Fahuai Yi
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper, we investigate dynamic optimization problems featuring both stochastic control and optimal stopping in a finite time horizon. The paper aims to develop new methodologies, which are significantly different from those of mixed dynamic optimal control and stopping problems in the existing literature, to study a manager\'s decision. We formulate our model to a free boundary problem of a fully nonlinear equation. Furthermore, by means of a dual transformation for the above problem, we convert the above problem to a new free boundary problem of a linear equation. Finally, we apply the theoretical results to challenging, yet practically relevant and important, risk-sensitive problems in wealth management to obtain the properties of the optimal strategy and the right time to achieve a certain level over a finite time investment horizon.
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中文摘要：
在本文中，我们研究在有限时间范围内同时具有随机控制和最优停止的动态优化问题。本文旨在开发新的方法来研究管理者的决策，这与现有文献中的混合动态最优控制和停止问题有很大不同。我们将我们的模型表述为一个完全非线性方程的自由边界问题。此外，通过对上述问题的对偶变换，我们将上述问题转化为一个新的线性方程自由边界问题。最后，我们将理论结果应用于富有挑战性、但实际相关且重要的财富管理风险敏感问题，以获得最优策略的性质以及在有限时间投资期限内达到一定水平的正确时间。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Optimal_Investment_with_Stopping_in_Finite_Horizon.pdf (199.42 KB)

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关键词：Optimization Quantitative Programming QUANTITATIV significant

有限期内具有停止的最优投资*熊菲佳娜，荀立斌，法怀易+华南师范大学数学学院，中国广州，香港理工大学应用数学系，香港。本文研究了具有随机控制和最优停站特性的动态优化问题。本文旨在开发新的方法来研究管理者的决策，这与现有文献中的混合动态最优控制和停止问题的方法有很大不同。我们将我们的模型表述为一个完全非线性方程的自由边界问题。此外，通过对上述问题的对偶变换，我们将上述问题转化为一个新的线性方程自由边界问题。最后，我们将理论结果应用于富有挑战性、但实际相关且重要的财富管理风险敏感问题，以获得最佳策略的性能，以及在有限的投资期限内达到一定水平的正确时间。关键词：最优投资；最优停车；二元转化；自由边界理学硕士（201 0）：35R35；91B28；93E20。1简介最优止损问题是一种优化问题的变体，允许投资者在到期日之前或到期日自由止损，以最大限度地提高其收益。该问题已在实践中得到实施，并在科学、工程、经济学，尤其是金融学等学术领域得到了研究。例如，美式定价是一个传统的最优停止时间问题，其中停止时间与随时间产生的信息相适应。基本动力系统通常由随机微分方程（SDE）描述。

因此，关于最优停止的研究主要集中在底层动力系统本身。然而，在金融投资领域，投资者经常会做出投资决策，即投资者停止投资风险资产，以便在有限的投资期限内最大限度地利用其财富。这些最优停止问题取决于潜在的动力系统以及投资者的优化决策（控制）。这自然会导致一个混合的结果*该项目得到了中国国家自然科学基金会（编号11271143和11371155）、中国大学博士项目特别研究基金（20124407110001和20114407120008）以及香港本科生研究资助委员会521610和519913的支持。+通讯作者。fhyi@scnu.edu.cn.电话：86-20-85216655-8214。传真：86-20-8521131。最优控制和停止问题，Ceci Bassan（2004）是这一研究领域的典型代表之一。在这类模型的一般公式中，控制是混合的，由控制和停止时间组成。曾于2008年和2008年研究过李雅明（2008年），2008年研究过周雅明（2008年），2008年研究过李雅明（2008年），2008年研究过周雅明（2008年），2008年研究过李雅明（2008年），2008年研究过李雅明（2008年），2008年研究过周雅明（2008年），2008年研究过周雅明（2008年），2008年研究过周雅明（2008年），2008年研究过李雅明（2008年）和周雅松（2006年）。在金融领域，对于pricingAmerican风格的期权，已经广泛研究了寻找最佳停止时间点，这使得期权持有人能够在到期之前或到期时行使期权。适用的典型例子包括但不限于张邦勇（2009年）、达亚尼克·卡拉扎斯（2003年）和鲁申多夫·乌鲁索夫（2008年）中的例子。

在数学金融领域，选择最佳停止时间点通常与一系列差异的自由边界问题有关（见Fleming Soner（2006）和Peskir Shiryaev（2006））。然而，在许多应用领域，尤其是在更广泛的投资问题中，人们经常会遇到更多的一般控制扩散过程。在实际金融市场中，当投资者希望在给定的投资期限内选择尽可能少的时间来停止投资组合选择，以最大限度地提高他们的收益时，情况就更加复杂了（见萨缪尔森（1965年）、卡拉扎斯·库（1998年）、卡拉扎斯·苏德思（1999年）、卡拉扎斯·王（2000年）、卡拉扎斯·奥科内（2002年）、塞西·巴桑（2004年）、亨德森（2007年），李州（2006）和李武（2008、2009）。本文的最初动机来自我们最近关于选择一个最佳点的研究，在这个最佳点上，投资者可以投资和/或出售其所有风险资产（见Choi Guo-Kwak（2004）和Henderson Hobson（2008））。目标是找到一个优化过程和停止时间，以满足某些投资标准，例如，在到期前或到期前预期效用值的最大值。这是金融投资领域的一个典型问题。然而，在处理此类优化问题时存在一些根本性的困难。首先，我们的投资问题不同于经典的美式期权，它涉及整个时间范围内的优化过程。其次，它涉及流动性和波动性方面的por tfolio，因此，包括多维金融资产在内的问题比金融资产中解决的问题更现实（见Capenter（2000））。因此，很难使用在研究美式期权的框架内开发的现有方法，从分析或数值上解决这些问题。

在我们的模型中，相应的HJB方程被表述为一个完全非线性方程的变分不等式。我们对该问题进行对偶变换，得到一个新的线性方程自由边界问题。针对这个新的自由边界问题，我们建立了自由边界的性质和原问题的最优策略。论文的其余部分组织如下。第二节介绍了该模型的数学表达式，并给出了相应的HJB方程。在第3节中，对偶变换将完全非线性偏微分方程的自由边界问题转化为线性方程的新自由边界问题，但具有复杂的约束（3.15）。在第4节中，我们进一步简化了（3.15）中的约束条件，得到了一个具有简化条件（4.5）的新自由边界问题。此外，我们还证明了问题（4.5）的解必须是问题（3.15）的解。第五节致力于研究问题的自由边界（4.5）。在第6节中，我们回到原始问题（2.6）来证明它的自由边界是递减的和可微的。Moreover预告了它的财务意义。第7节总结全文。2模型公式2。1经理人的问题经理人在一个完整的、无套利的、连续时间的金融市场中进行定价，该市场由一个无风险资产组成，其瞬时利率为r和n，风险资产的价格由随机微分方程Ssi，tSi，t=（r+ui）dt+σ′idWjt控制，对于i=1，2，·n，（2.1），其中利率r，超额增值率ui和波动向量σi是常数，W是标准的n维布朗运动。

此外，协方差矩阵∑=σ′σ是强非退化的。管理者的交易策略是一个n维过程πt，其中πi是投资组合中第i个风险资产的持有量，t时间t。一个可接受的交易策略πt m u t可以根据{Ft}逐步测量，使得Xt≥ 注意，xt=π0，t+nPi=1πi，t，其中π0是投资于货币的金额。财富的价值根据xt=（rXt+u′πt）dt+π′tσdWt而变化。（2.2）此外，允许卖空。管理者控制初始值为x的资产。管理者的动态问题是选择一个允许的交易策略π和一个停止时间τ，以最大化其预期的可执行资产效用：V（x，t）=maxπ，τEE-r（τ）-t） U（Xτ+K）, （2.3）其中r>0是利息，K是正常数（例如固定工资），U（x）=γxγ，0<γ<1是效用函数。2.2 HJB方程应用动态规划原理，我们得到以下Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程明尼苏达州- 电视- 最大πh（π′∑π）xxV+u′π十六- rxxV+rV，V-γ（x+K）γo=0，x>0，0<t<t，V（0，t）=γKγ，0<t<t，V（x，t）=γ（x+K）γ，x>0。（2.4）假设V（x）严格递增且严格凹，即。，xV>0，xxV<0。注意π′∑π相对于π的梯度π（π′∑π）=2∑π，然后π*= -Σ-1uxV（x，t）xxV（x，t）。（2.5）因此（2.4）bec omes明尼苏达州- 电视+a(十五）二十五- rxxV+rV，V-γ（x+K）γo=0，x>0，0<t<t，V（0，t）=γKγ，0<t<t，V（x，t）=γ（x+K）γ，x>0，（2.6），其中a=u′∑-1u. 现在我们找到了自由基存在的条件。

简单计算表明su（x+K）=γ（x+K）γ，xU（x+K）=（x+K）γ- 1.xxU（x+K）=-(1 - γ） （x+K）γ- 2.它允许-tU（x+K）+a(徐（x+K））xxU（x+K）- rx徐（x+K）+如（x+K）=-a1- γ（x+K）γ- rx（x+K）γ- 1+rγ（x+K）γ≥ 0.消除γ（x+K）γ- 1收益率-aγ2（1）- γ） （x+K）- rγx+r（x+K）≥ 0，即。，aγ2（1）- γ)- r+rγ十、≤-aγ2（1）- γ） +rK.（2.7）Ifaγ2（1）- γ)- R≤ -rγ，（2.8）那么（2.7）对任何x>0都成立，问题（2.6）的解就是U（x+K）。Ifaγ2（1）- γ)- R≥ 0，（2.9）那么（2.7）对于任何x>0都是不可能的。因此，在这种情况下，问题（2.6）的解决方案是令人满意的-电视+a(十五）二十五- rxxV+rV=0，x>0，0<t<t，V（0，t）=γKγ，0<t<t，十五(+∞, t） =0，0<t<t，V（x，t）=γ（x+K）γ，x>0。（2.10）我们将上述结果总结为以下定理。定理2.1在以下情况下，问题（2.6）有平凡的解。（1） 如果（2.8）成立，问题（2.6）的解是U（x+K）。（2） 如果（2.9）成立，问题（2.10）的解决方案也是问题（2.6）的解决方案。回顾（2.8）和（2.9），在下文中，我们始终假设：- rγ<aγ2（1- γ)- r<0。（2.11）在（2.11）中，存在自由边界。3双重变换定义V（x，t）的双重变换（见Pham（2009））V（y，t）：=maxx>0（V（x，t）- xy），0≤ Y≤ y、 （3.1）如果xV（·，t）是严格递减的，这相当于V（·，t）的严格凹性（我们将在第7节中说明这一事实），那么（3.1）中的最大值将在一个点x=I（y，t），（3.2）处达到，这是y=xV（x，t）。（3.3）使用坐标变换（3.2）yieldsv（y，t）=[V（x，t）- 十、xV（x，t）]x=I（y，t）=V（I（y，t），t）- 易（y，t）。

（3.4）关于y和t的区别，我们得到yv（y，t）=xV（I（y，t），t）易（y，t）- Y易（y，t）- I（y，t）=-I（y，t），（3.5）yyv（y，t）=-yI（y，t）=-xxV（I（y，t），t），（3.6）电视（y，t）=电视（I（y，t），t+xV（I（y，t），t）tI（y，t）- YtI（y，t）=电视（I（y，t），t）。（3.7）将（3.5）代入（3.4），我们有v（I（y，t），t）=v（y，t）- Yyv（y，t）。（3.8）通过变换（3.2）和（3.3）-（3.8），在（2.6）中的HJB方程变得更简单- 电视-嗯yyv+rv，v- Y伊夫-γ（K）- yv）γo=0,0<y<y，0<t<t.（3.9）现在我们推导v（y，t）的终端条件。注意v（x，T）=γ（x+K）γ，（3.10）soxV（x，T）=（x+K）γ- 1，即[xV（x，T）]γ-1=x+K，它跟在yγ后面-1.- K=x=I（y，T）=-yv（y，T），（3.11）和（3.8），我们有V（y，T）=V（I（y，T），T）+yyv（y，T）=γ-1+yK- γ-1.=1.- γγγγ-1+Ky.（3.12）接下来，我们确定y的上界yf。事实上，V（x，t）=γ（x+K）γ在x=0附近，所以上界是y=xV（0，t）=Kγ- 1.（3.13）此外，我们需要确定v（y，t）的值。通过（3.8），我们也有V（y，t）=V（0，t）+y·0=γKγ。（3.14）结合（3.9）和（3.12）-（3.14），我们得到明尼苏达州- 电视-嗯v+yyv- Y伊夫-γ（K）- yv）γo=0,0<y<Kγ- 1,0<t<t，v（Kγ）- 1，t）=γKγ，0<t<t，v（y，t）=1-γγγγ-1+Ky，0<y<Kγ- 1.（3.15）在（3.15）中，方程是线性抛物线方程，但约束条件v- Y伊夫-γ（K）- yv）γ≥ 0（3.16）非常复杂。在下一节中，我们将简化此条件。注：（3.15）中的方程在边界y=0上退化。根据Fichera的Theorem（见Oleinik Radkevie（1973）），我们不能把边界条件放在y=0.4上，以简化复杂的约束条件。注意，在{（x，t）|V（x，t）=γ（x+K）γ}域中，我们xV（x，t）=（x+K）γ- 1，如果V（x，t）=γ（x+K）γ。（4.1）通过y坐标，y=（K- yv）γ- 1，如果v- Yyv=γ（K- yv）γ。

（4.2）推导yv来自（4.2）产量中的第一个等式yv=K- γ-1，（4.3）然后将（4.3）代入（3.16），我们有≥1.- γγγγ-1+Ky.（4.4）这是简化的约束条件。我们假设u（y，t）满足明尼苏达州- 屠-嗯yyu+ru，u-1.-γγγγ-1.- Kyo=0（y，t）∈ Qy，u（Kγ）- 1，t）=γKγ，0<t<t，u（y，t）=1-γγγγ-1+Ky，0<y<Kγ- 1，（4.5）式中qy=（0，Kγ- 1） ×（0，T）。此外，我们将域qyin分成两部分，表示（见图1）ERy=nu（y，t）=1- γγγγ-1+Kyo，运动区，（4.6）CRy=nu（y，t）>1- γγγγ-1+Kyo，继续注册。(4.7)图1。定理4.1问题（4.5）的解u（x，t）也是问题（3.15）的解。为了证明这个定理，我们首先展示了以下两个定理。任何（y，t）的引理4.1∈ Qy，我们有yu=K- γ-1，（y，t）∈ 埃里（4.8）于≤ K- γ-1，（y，t）∈ 哭泣（4.9）证明：方程式（4.8）直接遵循定义（4.6）。还有，在哭泣- 屠-嗯yyu+ru=0（y，t）∈ 哭泣（4.10）分化（4.10）到y产量- t(（于）-嗯yy(（于）- 嗯y(于）+r(yu）=0（y，t）∈ 哭泣（4.11）注意yu（y，T）=K- γ-1,0<y<Kγ- 1, (4.12)yu（y，t）=K- γ-1，（y，t）∈ （哭泣）∩ Qy，（4.13）在哪里（哭）是哭的基础。表示w=k- γ-1，我们进一步证明了w是pr问题（4.11）-（4.13）的上解yw=1- γyγ-1.-1=1 - γy2-γγ-1.yyw=-2.- γ(1 - γ） γ-1.-2和-tw-嗯yyw- 嗯yw+rw=a2- γ(1 - γ） γ-1.- a1- γyγ-1+r（K）- γ-1） =rK+aγ2（1）- γ)- Rγ-1> 0，（根据（2.11）中的第一个不等式）。所以w是（4.11）-（4.13）的上解。这意味着（4.9）成立。引理4.2函数yu+γ（K）- yu）γ随温度的增加而增加于若于≤ K- γ-1.证明：定义函数f（z）=yz+γ（K- z） γ，z≤ K- γ-1.Thenf′（z）=y- （K）- z） γ- 1.≥ 0if z≤ K- γ-1.

根据定理4.5的证明，-屠-嗯yyu+ru≥ 0，（y，t）∈ ERy，（4.14）u=1- γγγγ-1+Ky（y，t）∈ 嗯。（4.15）重写（4.15）asu=yK- γ-1.+γK- [K]- γ-1]γ、 （y，t）∈ 嗯。（4.16）应用（4.8）到（4.16），我们有u=yyu+γ（K）- yu）γ（y，t）∈ 嗯。（4.17）另一方面，从（4.5）开始，在哭泣中-屠-嗯yyu+ru=0（y，t）∈ 哭泣，（4.18）u≥1.- γγγγ-1+Ky（y，t）∈ 哭泣（4.19）我们重写（4.19）asu≥ YK- γ-1.+γK- [K]- γ-1]γ、 （y，t）∈ 哭泣（4.20）应用（4.9）和引理4.2，我们得到≥ Yyu+γ（K）- yu）γ（y，t）∈ 哭泣5问题（4.5）的自由边界表示w2,1p，loc（Qy）=nu（y，t）：u，于，yyu，屠∈ Lp（Q）， Q Qyo。定理5.1问题（4.5）有唯一的解u∈ W2,1p，位置（Qy）∩ （Qy\\{y=0}），和1- γγγγ-1+Ky≤ u（y，t）≤ eA（T）-（t）1.- γγγγ-1+Ky, (5.1)YU-1.- γγγγ-1.- 基尼≤ 0, (5.2)TU-1.- γγγγ-1.- 基尼≤ 0，（5.3），其中A=Aγ（1-γ).证明：根据W2,1p，loc（Qy）的存在唯一性∩ （Qy\\{y=0}），系统（4.5）的解可以用标准的惩罚方法证明（见Frie dman（1975））。这里，我们省略了细节。（5.1）中的第一个不等式直接来自（4.5），现在我们证明（5.1）中的第二个不等式。表示w（y，t）：=eA（t-（t）1.- γγγγ-1+Ky,其中A>0将在以后确定。我们首先证明了W（y，t）是问题（4.5）的上解。事实上-tW-嗯yyW+rW=AeA（T-（t）1.- γγγγ-1+Ky+ eA（T）-t） h-a1- γ+r1- γγγγ-1+rKyi≥ eA（T）-（t）A1- γγ-a1- γγγ-1=0ifA=aγ（1- γ).所以，W（y，t）是问题（4.5）的上解。因此，（5.1）中的第二个不等式成立。此外，等式（5.2）来自（4.8）和（4.9）。