马尔可夫体制转换下的最优混合红利策略

我们让g（x）=x- K、 K代表固定成本。请注意，与Cadenilaset al.[5]和Wei et al.[14]不同的是，他们考虑了固定成本K和比例成本K，即g（x）=kx- K.在本文中，我们只考虑固定成本，事实上，我们将在下文中看到，考虑比例成本只不过是更繁琐的分类和计算。我们的基本方法和验证可以通过更简单的模型充分说明。现在我们想要找到一个函数ν（x，i），i∈ J作为值函数的候选者，并验证候选者满足定理3.3的条件。对于此类函数ν（x，i），definebi:=inf十、≥ 0:ν（x，i）=Mν（x，i），i∈ J. （4.1）我们猜想ν（x，i），i∈ J满足QVI为连续可微函数，且在区间[0，Bi]函数ν′（x，i），i∈ J是凸的。在加法中，我们假设ν（0，i）=0，i∈ J.注：我们稍后将证明这些猜想是满足的。显然，关于ν′（x，i），i的凸性假设∈ J意味着方程ν′（x，i）=1，i∈ J、 （4.2）在[0，Bi]上有两个最根。实际上，下面的命题告诉我们，E.q.（4.2）在区间[0，Bi]中只存在一个根∈ J由（4.1）定义。ν（x，i），i∈ J是连续不同的iablefunction和ν′（x，i），i∈ J在[0，Bi]上是凸的，则只存在一个根Bi∈ [0，Bi），我∈ 方程ν′（x，i）=1，i∈ J.此外，如果QVI的解决方案是唯一的，那么对于x≥ Bi:ν（x，i）=ν（Bi，i）+x- bi+K证明。这个定理的证明类似于Cadenilas等人[5]中的定理3.2，所以我们这里不再重复。从上面的分析中我们知道，在定理4.1的假设下，连续区域由Ci=[0，Bi]给出，当盈余超过Bi水平时，将支付股息，使盈余跳到Bi∈ [0，Bi）。

具体来说，当x∈ Ci=[0，Bi）我们有maxu∈[0，L]Li（u）ν（x，i）+u= 0，（4.3）即σ（i）ν′（x，i）+u（i）ν′（x，i）- Δν（x，i）+maxu∈[0，L]U1.- ν′（x，i）= -NXj=1λi，jν（x，j）。（4.4）因此，如果v′（Xt，t）≤ 1，σ（i）ν′（x，i）+u（i）ν′（x，i）- Δν（x，i）+L1.- ν′（x，i）= -如果v′（Xt，t），则NXj=1λi，jν（x，j），（4.5）≥ 1，σ（i）ν′（x，i）+u（i）ν′（x，i）- Δν（x，i）=-NXj=1λi，jν（x，j）。（4.6）当x∈ ∑i=[Bi，∞), 我们有ν（x，i）=ν（bi，i）+x- bi+K.（4.7）注：在这种情况下，ν′（x，i）=1。通过简单的分析，我们可以看出，在上述假设下，ν′（0，i）≥ 0，我∈ 开玩笑。实际上我们有ν′（Bi，i）=1，i∈ J和一些bi∈ [0，Bi），ν′（Bi，i）=1，i∈ J、 然后结合ν（x，i）的凸性，i∈ J、 我们知道ν′（0，i）<1是不可能的。因此，必须考虑两种情况：情况1:ν′（0，i）>1，i∈ J.在这种情况下，区间[0，∞) 可分为三部分：[0，bi]，[bi，bi]，[bi，∞).（1） 当x∈ [0，bi），ν′（x，i）>1.E.q.（4.6）给出了以下微分方程：σ（i）ν′（x，i）+u（i）ν′（x，i）- Δν（x，i）=-NXj=1λi，jν（x，j）。（4.8）（2）当x∈ [bi，bi），ν′（x，i）≤ 1.E.q.（4.5）给出了以下微分方程：σ（i）ν′（x，i）+u（i）ν′（x，i）- Δν（x，i）+L1.- ν′（x，i）= -NXj=1λi，jν（x，j）。（4.9）（3）当x∈ [Bi，∞)ν（x，i）=ν（bi，i）+x- bi+K.（4.10）情况2：ν′（0，i）=1，i∈ J.在这种情况下，区间[0，∞) 可分为两部分：[0，Bi]，[Bi，∞).（1） 当x∈ [x，Bi′）≤ 1 E.q.（4.5）给出了以下微分方程：σ（i）ν′（x，i）+u（i）ν′（x，i）- Δν（x，i）+L1.- ν′（x，i）= -NXj=1λi，jν（x，j）。（4.11）（2）当x∈ [Bi，∞)ν（x，i）=ν（bi，i）+x- bi+K=x- K、 （4.12）因为ν（bi，i）=ν（0，i）=0。为简单起见，我们在本节剩余部分假设经济在两种制度之间发生变化，即J={1，2}。

结合以上分析，我们有三种可能的情况：两种情况下的ν′（0，i）>1∈ Jν′（0，i）=1和ν′（0，3）- i） =1代表s ome i∈ {1, 2};对于这两个i，ν′（0，i）=1∈ J.在下面，我们需要一个引理，引自[13]。引理4。2.对我来说∈ J、 考虑实函数φi（z）=-σiz- μiz+（λi+δ），其中μiis是μi的函数。由于σ、σ、λ和λ是正的，方程φ（z）φ（z）=λλ有四个实根，使得z<z<0<z<z。根据我们关于ν′（x，i）的猜想∈ {1，2}，存在两个阈值bi<bi，i∈ {1，2}使得ν′（bi，i）=ν′（bi，i）=1，i∈ {1 , 2}. 我们应该注意到Bian和Bi的关系∈ {1，2}，取决于模型中参数之间的关系。在这里，我们只考虑两种情况：b≤ b<b≤ b<b<b<b<b，也就是说，我们讨论了参数满足一定关系的优化问题≤ b<b≤ b<b<b<b。对于b≤ b<b≤ B、 B<B<B<B，B≤ b<b≤ b波段≤ b<b≤ B、 他们可以用类似的方法治疗。4.1 b.的情况≤ b<b≤ 在这一小节中，我们假设b≤ b<b≤ B.考虑到ν′（0，i）之间的关系∈ {1,2}和1，我们有三种情况，对于i=1,2，ν′（0，i）>1；ν′（0，i）=1和ν′（0，3）-i） >1对于一些i∈ {1, 2}; 对于这两个i=1，2，和ν′（0，i）=1。案例1：ν′（0，1）>1和ν′（0，2）>1。根据以上讨论，我们需要考虑五种可能性：x∈ [0，b）；x∈ [b，b]；x∈ [b，b]；x∈ [B，B）和x∈ [B]，∞).当x∈ [0，b），我们有ν′（x，1）>1和ν′（x，2）>1，E.q.（4.6）给出了以下微分方程组：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）=λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（1）ν′（x，2）- Δν（x，2）=λν（x，2）- λν（x，1），（4.13），其中λ=-λ, λ= -λ. 考虑（4.13）的特征方程，φ（˙α）φ（˙α）=λλ，其中φi（˙α）=-σi˙α- ui˙α+（λi+δ），i∈ {1, 2}.

引理4.2证明了φ（˙α）φ（˙α）=λλ有四个实根：˙α<˙α<0<˙α<˙α。然后方程（4.13）的解是ν（x，1）=˙Ae˙αx+˙Ae˙αx+˙Ae˙αx+˙Ae˙αx，ν（x，2）=˙Be˙αx+˙Be˙αx+˙Be˙αx，（4.14）其中对于每个j=1，2，3，4，˙Bj=φx+˙。（4.15）当x∈ [b，b），我们有ν′（x，1）≤ 1和ν′（x，2）>1，E.q.（4.6），（4.5）给出了下列微分方程组：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）+L1.- ν′（x，1）= λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（1）ν′（x，2）- Δν（x，2）=λν（x，2）- λν（x，1）。（4.16）考虑（4.16）的特征方程，φ（eα）φ（eα）=λλ，其中φ（eα）=-σeα-(u-五十） eα+（λ+δ），φ（eα）=-σeα- ueα+（λ+δ）。引理4.2证明了φ（α）φ（α）=λλ有四个实根：eα<eα<0<eα<eα。然后方程（4.16）的解是ν（x，1）=eAeeα（x-b） +eAeeα（x）-b） +eAeeα（x）-b） +eAeeα（x）-b） +F，ν（x，2）=eBeeα（x-b） +eBeeα（x）-b） +eBeeα（x）-b） +eBeeα（x）-b） +F，（4.17），其中Fi:=（λ+（2）-i） δ）L（λi+δ）（λ+δ）- λλ，i=1,2，对于j=1,2,3,4，eBj=φ（eαj）λeAj=λφ（eαj）eAj。（4.18）当x∈ [b，b），我们有ν′（x，1）<1和ν′（x，2）≤ 1.E.q.（4.5）给出了以下微分方程组：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）+L1.- ν′（x，1）= λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）+L1.- ν′（x，2）= λν（x，2）- λν（x，1）。（4.19）考虑（4.19）的特征方程，φ（^α）φ（^α）=λλ，当eφi（^α）=-σi^α-（i）- 五十） α+（λi+δ），i=1,2。引理4.2证明了φ（α）φ（α）=λλ有四个实数：α<α<0<α<α。然后方程（4.19）的解是ν（x，1）=^Ae^α（x-B） +^Ae^α（x）-B） +^Ae^α（x）-B） +^Ae^α（x）-B） +Lδ，ν（x，2）=^Be^α（x-B） +^Be^α（x）-B） +^Be^α（x）-B） +^Be^α（x）-B） +Lδ，（4.20）对于j=1,2,3,4，^Bj=φ（^αj）λ^Aj=λφ（^αj）^Aj。（4.21）当x∈ [B，B），我们有ν′（x，1）=1和ν′（x，2）<1。

E.q.（4.5）、（4.7）给出以下微分方程组：ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K、 σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）+L1.- ν′（x，2）= λν（x，2）- λν（x，1），（4.22），其中ν（b，1）可通过E.q.（4.17）计算。考虑上面第二个方程的特征方程，φ（α）=σα+（u- 五十） α- (λ+ δ) = 0. 它有两个实根：α<α，那么常微分方程的解是：ν（x，2）=Beα（x）-B） +Beα（x-B） +U（x），其中U（x）=λλ+δx+λ+δ(u- 五十） λ+δ+L+λν（b，1）- B- K. 然后，E.q.（4.22）解决方案：ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K、 ν（x，2）=Beα（x）-B） +Beα（x-B） +U（x）。（4.23）当x∈ [B]，∞). 根据等式（4.7），我们得到ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K、 ν（x，2）=ν（b，2）+x- B- K、 （4.24）式中，可分别通过E.q.（4.17）和E.q.（4.20）计算出ν（b，1）和ν（b，2）。为了找到阈值b、b、b、b和系数A、A、A、A、A、eA、eA、eA、eA、eA、A、A、A、A、A、A、A、A、b、b、b、b。我们支持平滑的条件保持，并结合ν′（bi，i）=1或i=1、2，我们有以下方程：ν（0，1）=0，2）=0，ν（b+，1-, 1） ，ν（b+，2）=ν（b）-, 2） ν′（b+，1）=1，ν′（b）-, 1） =1，ν′（b+，2）=ν′（b-, 2） ，ν（b+，1）=ν（b）-, 1） ν（b+，2）=ν（b）-, 2） ，ν′（b+，1）=ν′（b-, 1） ，ν′（b+，2）=1，ν′（b）-, 2） =1ν（B+，1）=ν（B）-, 1） ，ν（B+，2）=ν（B）-, 2） ，ν′（B+，2）=ν′（B）-, 2） ，ν′（B）-, 1） =1ν（B+，2）=ν（B）-, 2） ，ν′（B）-, 2) = 1. （4.25）同时，系数˙B、˙B、˙B、˙B、eB、eB、eB、^B、^B、^B、^B可以通过方程（4.15）、（4.18）、（4.21）得到。请注意，我们假设ν′（0，1）>1和ν′（0，2）>1。当且仅当通过E.q.（4.14）系统发现的系数满足以下条件时，才满足该条件：˙A˙α+˙A˙α+˙A˙α+˙A˙α>1，˙A˙（˙α）α+˙A˙α+˙A˙α+˙A˙α>λ。（4.26）案例2：对于某些i∈ {1，2}ν′（0，i）=1，ν′（0，3）- i） >1。在不丧失一般性的情况下，我们假设i=1，我们得到了ν′（0，1）=1，ν′（0，2）>1。I=2的情况也有类似的处理。

在这个假设下，我们有b=0，我们需要考虑四种可能性：x∈ [0，b）；x∈ [b，b]；x∈ [B，B）和x∈ [B]，∞).当x∈ [0，b），ν′（x，1）≤ 1和ν′（x，2）>1，我们有以下微分方程系统：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）+L1.- ν′（x，1）= λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（1）ν′（x，2）- Δν（x，2）=λν（x，2）- λν（x，1）。（4.27）考虑（4.27）的特征方程，φ（θ）φ（θ）=λλ，其中φ和φ已在情况1中定义，通过类似的方式，我们知道E.q.（4.27）的解为ν（x，1）=Ceθx+Ceθx+Ceθx+Ceθx+F，ν（x，2）=Deθx+Deθx+Deθx+F，（4.28），其中Fi:=（λ+（2）-i） δ）L（λi+δ）（λ+δ）- λλ，i=1,2，对于j=1,2,3,4，Dj=φ（θj）λCj=λφ（θj）Cj，（4.29），其中θ<θ<0<θ<θ是特征根。当x∈ [b，b），ν′（x，1）<1和ν′（x，2）≤ 1.我们有以下微分方程系统：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）+L1.- ν′（x，1）= λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）+L1.- ν′（x，2）= λν（x，2）- λν（x，1）。（4.30）考虑（4.30）的特征方程，φ（eθ）φ（eθ）=λλ，其中φ和φ已在前一节中定义，通过类似的方式，我们知道e.q.（4.30）的解为ν（x，1）=eCeeθ（x-B） +eCeeθ（x）-B） +eCeeθ（x）-B） +eCeeθ（x）-B） +Lδ，ν（x，2）=eDeeθ（x-B） θ（θ+e）-B） +eDeeθ（x）-B） +eDeeθ（x）-B） +Lδ，（4.31）对于j=1,2,3,4，eDj=φ（eθj）λeCj=λφ（eθj）eCj。（4.32）当x∈ [B，B），ν′（x，1）=1和ν′（x，2）≤ 1.我们有以下微分方程系统：ν（x，1）=x- K、 σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）+L1.- ν′（x，2）= λν（x，2）- λν（x，1）。（4.33）考虑上面第二个方程的特征方程，φ（^θ）=σ^θ+（u）- 五十） ^θ-(λ+ δ) = 0.

它有两个实根：^θ<^θ，那么常微分方程的解是：ν（x，2）=^De^θ（x-B） +^De^θ（x）-B） +U（x），其中U（x）已在上一节中定义，即isU（x）=λλ+δx+λ+δ(u- 五十） λ+δ+L+λν（b，1）- B- K.当x∈ [B]，∞), 根据等式（4.7），我们得到ν（x，1）=x- K、 ν（x，2）=ν（b，2）+x- B- K、 （4.34）式中，ν（b，2）可通过E.q.计算。(4.31).为了求出阈值b、b、b和系数C、C、C、C、eC、eC、eC、eC、^D、^D。我们假设光滑条件成立，并且对于i=1、2，与ν′（b，i）=1结合，我们有以下等式：ν（0，1）=0，ν（0，2）=0，ν（b+，1）=-, 1） ，ν（b+，2）=ν（b）-, 2） ν′（b+，1）=ν′（b）-, 1） ，ν′（b+，2）=1，ν′（b）-, 2） =1ν（B+，1）=ν（B）-, 1） ，ν（B+，2）=ν（B）-, 2） ，ν′（B+，2）=ν′（B）-, 2） ν′（B）-, 1） =1，ν（B+，2）=ν（B-, 2） ，ν′（B）-, 2) = 1. （4.35）同时，系数D，D，D，eD，eD，eD，eD，eD可以从方程（4.29），（4.32）中得到。请注意，我们假设ν′（0，1）=1，且ν′（0，2）>1。

如果且仅当通过E.q.（4.28）系统发现的系数满足：Cθ+Cθ+Cθ+Cθ=1，Cа（θ）θ+Cа（θ）θ+Cа（θ）θ+Cа（θ）θ>λ。（4.36）情况3：ν′（0，1）=1，ν′（0，2）=1。需要考虑三个时间间隔：[0，B]，[B，B]，[B，∞).当x∈ [0，B），ν′（x，1）≤ 1和ν′（x，2）≤ 1然后我们有以下微分方程系统：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）+L1.- ν′（x，1）= λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）+L1.- ν′（x，2）= λν（x，2）- λν（x，1），（4.37）考虑（4.37）的特征方程，φ（β）φ（β）=λλ，其中φ和φ已在情况1中定义，通过类似的方式，我们知道E.q.（4.37）的解为ν（x，1）=Meβx+Meβx+Meβx+Meβx+Lδ，ν（x，2）=Neβx+Neβx+NeNx+Neβx+Lδ，（4.38），对于j=1,2,3,4，Nj=φ（βj）λMj=λφ（βj）Mj，（4.39），其中β<β<0<β<β是特征根。当x∈ [B，B），ν′（x，1）=1和ν′（x，2）≤ 1然后我们有以下微分方程组：ν（x，1）=x- K、 σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）+L1.- ν′（x，2）= λν（x，2）- λν（x，1）。（4.40）考虑上述第二个方程的特征方程，φ（eβ）=σeβ+（u）- 五十） eβ-(λ+ δ) = 0. 它有两个实根：eβ<eβ，那么常微分方程的解是：ν（x，2）=eNeeβ（x-B） +eNeeβ（x）-B） +U（x），其中U（x）已在上一节中定义。当x∈ [B]，∞). 我们有ν（x，1）=x- K、 ν（x，2）=x- K.（4.41）以确定阈值B、B和系数M、M、M、M、eN、eN。我们假设光滑条件成立，因此我们得到以下方程：ν（0，1）=0，ν（0，2）=0，ν（B）-, 1） =ν（B+，1）ν（B+，2）=ν（B-, 2） ，ν′（B+，2）=ν′（B）-, 2） ，ν′（B）-, 1） =1ν（B+，2）=ν（B）-, 2） ，ν′（B）-, 2) = 1. （4.42）同时，系数N，N，N，nca可从方程（4.39）中获得。请注意，我们假设ν′（0，1）=1和ν′（0，2）=1。

如果通过E.q.（4.38）系统发现的系数满足：Mβ+Mβ+Mβ+Mβ=1，Mа（β）β+Mа（β）β+Mа（β）β+Mа（β）β=λ。（4.43）接下来，我们将给出一个定理，证明ν确实是值函数。我们也给出了最优的股利政策。定理4.3。假设b≤ b<b≤ 假设˙Aj，eAj，^Aj，j=1，2，3，4，Aj，j=1，2是系统E.q.（4.25）的解，并假设它们满足条件（4.26）。此外，之前定义了˙Bj、eBj、^Bj、j=1、2、3、4、Bj、j=1、2和U（x）。然后由ν（x，1）给出的函数=˙Ae˙αx+˙Ae˙αx+˙Ae˙αx+˙Ae˙αx，如果x∈ [0，b），eAeeα（x-b） +eAeeα（x）-b） +eAeeα（x）-b） +eAeeα（x）-b） +F，如果x∈ [b，b），^Ae^α（x-B） +^Ae^α（x）-B） +^Ae^α（x）-B） +^Ae^α（x）-B） +Lδ，如果x∈ [b，b），eAeeα（b）-b） +eAeeα（b）-b） +eAeeα（b）-b） +eAeeα（b）-b） +F+x- B- K、 如果x∈ [B]，∞),和ν（x，2）=˙Be˙αx+˙Be˙αx+˙Be˙αx+˙Be˙αx，如果x∈ [0，b），eBeeα（x-b） +eBeeα（x）-b） +eBeeα（x）-b） +eBeeα（x）-b） +F，如果x∈ [b，b），^Be^α（x-B） +^Be^α（x）-B） +^Be^α（x）-B） +^Be^α（x）-B） +Lδ，如果x∈ [b，b），Beα（x-B） +Beα（x-B） +U（x），如果x∈ [B，B），^Be^α（B）-B） +^Be^α（B）-B） +^Be^α（B）-B） +^Be^α（B）-B） +Lδ+x- B- K、 如果x∈ [B]，∞)是价值函数。最优策略^π=^u，^Γ，^ξ= πν=uν，Γν，ξνQVI控制是否与ν相关，此外，^u由^u（t）定义=如果t=i和Xt，则为0∈ [0，bi），如果t=i和Xt∈ [bi，bi]，代表t∈ [0，^Θ），且^u（t）=0表示t∈ [^Θ, ∞).考虑˙Aj，eAj，^Aj，j=1,2,3,4，Aj，j=1,2不满足条件（4.26）的情况。相反，假设条件（4.36）满足，并假设Cj、eCj、j=1、2、3、4和^D，^Dbe为系统E.q.（4.35）的解。Dj、eDj、j=1、2、3、4和Fj、j=1、2是之前定义的。

然后由ν（x，1）给出的函数=Ceθx+Ceθx+Ceθx+Ceθx+F，如果x∈ [0，b），eCeeθ（x-B） +eCeeθ（x）-B） +eCeeθ（x）-B） +eCeeθ（x）-B） +Lδ，如果x∈ [b，b），x- K、 如果x∈ [B]，∞),和ν（x，2）=Deθx+Deθx+Deθx+Deθx+F，如果x∈ [0，b），eDeeθ（x-B） +eDeeθ（x）-B） +eDeeθ（x）-B） +eDeeθ（x）-B） +Lδ，如果x∈ [b，b），^De^θ（x-B） +^De^θ（x）-B） +U（x），如果x∈ [B，B），eDeeθ（B）-B） +eDeeθ（B）-B） +eDeeθ（B）-B） +eDeeθ（B）-B） +Lδ+x- B- K、 如果x∈ [B]，∞)是价值函数。最优策略^π=^u，^Γ，^ξ= πν=uν，Γν，ξνQVI控制是否与ν相关，此外，^u由^u（t）定义=L如果t=1，0如果t=2和Xt∈ [0，b），如果t=2和Xt∈ [b，b]，代表t∈ [0，^Θ），且^u（t）=0表示t∈ [^Θ, ∞).考虑条件（4.26）和（4.36）不满足，但条件（4.43）满足的情况。我们假设Mj，j=1,2,3,4；eNj，j=1，2是系统E.q.（4.42）的解，Nj，j=1，2，3，4，U（x）之前已经定义过。然后由ν（x，1）给出的函数=Meβx+Meβx+Meβx+Meβx+Lδ，如果x∈ [0，B），x- K、 如果x∈ [B]，∞),和ν（x，2）=Neβx+Neβx+Neβx+Neβx+Neβx+Lδ，如果x∈ [0，B），烯基β（x-B） +eNeeβ（x）-B） +U（x），如果x∈ [B，B），x- K、 如果x∈ [B]，∞)是价值函数。最优策略^π=^u，^Γ，^ξ= πν=uν，Γν，ξνQVI控制是否与^u（t）定义的^u有关=如果不是∈ [0，^Θ），如果t∈ [^Θ, ∞).证据我们省略了这个证明，因为它类似于下面定理4.5的证明，并且比它简单。4.2在b<b<b<b的情况下，我们假设b<b<b<b。