马尔可夫体制转换下的最优混合红利策略

考虑到ν′（0，i）之间的关系∈ {1,2}和1，我们有三种情况：对于这两种情况，ν′（0，i）>1∈ {1, 2}; ν′（0，i）=1和ν′（0，3）- i） 有些时候超过1∈ {1, 2}; 对于这两个i，ν′（0，i）=1∈ {1, 2}.案例1：ν′（0，1）>1和ν′（0，2）>1根据上述讨论，我们需要考虑五种可能性：x∈ [0，b）；x∈ [b，b]；x∈ [B，B]；x∈ [b，b）和x∈ [B]，∞).当x∈ [0，b），我们有ν′（x，1）>1和ν′（x，2）>1，E.q.（4.6）给出了以下微分方程组：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）=λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（1）ν′（x，2）- Δν（x，2）=λν（x，2）- λν（x，1），（4.44）与E.q.（4.13）相同。通过与上一节相同的方式，我们得到了解决方案：（x，1）1（x，1）1（x，1）7（x，1）7（x，1）1（x，1）7（x，1）7（x，1）1（x，1）7（x，1）1（x，1）1（x，1）1（x，2）2（x，2）2（2，2）2（2，2，2，2，4，4）和（7）的地方）的每一个地方为每一个j=1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，4，4，4，4，，，，，，，，，，，，，，，，\\====φ（（7）的）的）））是是是是是是是是（（的）的本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本<˙α<0<˙α<˙α是特征方程φ（˙α）φ（˙α）=λλ的四根。当x∈ [b，b），我们有ν′（x，1）≤ 1和ν′（x，2）>1，E.q.（4.5），（4.6）给出以下微分方程组：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）+L1.- ν′（x，1）= λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（1）ν′（x，2）- Δν（x，2）=λν（x，2）- λν（x，1）。（4.47）根据第4.1节，我们知道E.q.（4.47）的解是ν（x，1）=eAeeα（x-B） +eAeeα（x）-B） +eAeeα（x）-B） +eAeeα（x）-B） +F，ν（x，2）=eBeeα（x-B） +eBeeα（x）-B） +eBeeα（x）-B） +eBeeα（x）-B） +F，（4.48），其中Fi:=（λ+（2）-i） δ）L（λi+δ）（λ+δ）- λλ，i=1,2，对于j=1,2,3,4，eBj=φ（eαj）λeAj=λφ（eαj）eAj，（4.49）和eα<eα<0<eα<eα是特征方程φ（eα）φ（eα）=λ的四根。接下来我们给出一个类似于[13]中的定理。为了在我们的情况下应用它，我们需要在一些细节上进行调整，然后我们完成它的证明。定理4.4。

如果系统（4.47）的解ν′（·，1）严格增加B的左邻域，则-, 1） =1和ν′（B）-, 1) ≥ 0，那么我们就有了ν′（b）-, 2) <(λ+δ)λ.证据如果在B的左邻域的certa中，ν′（·，1）严格递增，则存在常数c，forevery x∈ [B]- c、 B），我们有ν′′（x，1）>0，特别是ν′′（B）-, 1) > 0. 因此，结合φ的定义：λν′（B-, 2) = λeBeα+eBeα+eBeα+eBeα+eBeα= λφ（eα）λeAeα+φ（eα）λeAeα+φ（eα）λeAeα+φ（eα）λeAeα= φ（eα）eAeα+φ（eα）eAeα+φ（eα）eAeα+φ（eα）eAeα=-σXj=1eαjeAj- (u- 五十） Xj=1eαjeAj+（λ+δ）Xj=1eαjeAj=-σν′′（B）-, 1) - (u- 五十） ν′′（B）-, 1） +（λ+δ）ν′（B）-, 1) ≤ λ+ δ.这里我们使用假设（H）u*> L.当x∈ [B，B），ν′（x，1）=1和ν′（x，2）>1，那么我们有以下微分方程组：ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K、 σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）=λν（x，2）- λν（x，1），（4.50），其中ν（b，1）可通过E.q.（4.48）计算。考虑上面第二个方程的特征方程。φ(^α) =σ^α+ u^α - (λ+ δ) = 0. 它有两个真正的根：^α<^α，那么这首颂歌的解是：ν（x，2）=^Be^α（x-b） +^Be^α（x）-b） +\'U（x），其中\'U（x）=λλ+δx+λ+δuλ+δ+L+λν（b，1）-B-K. 也就是说，E.q.（4.50）的解是ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K、 ν（x，2）=^Be^α（x-b） +^Be^α（x）-b） +U（x）。（4.51）当x∈ [b，b），ν′（x，1）=1和ν′（x，2）<1，那么我们有以下微分方程组：ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K、 σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）+L（1）- ν′（x，2））=λν（x，2）- λν（x，1），（4.52），其中ν（b，1）可通过E.q.（4.48）计算。

根据4.1节，我们知道E的解。q、 （4.52）是ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K、 ν（x，2）=Beα（x）-B） +Beα（x-B） +U（x），（4.53），其中U（x）=λλ+δx+λ+δ(u-五十） λ+δ+L+λν（b，1）-B-K, 和α<α是上述第二个方程特征方程的两个根：φ（α）=σα+（u）-五十） α-(λ+δ) =0.当x∈ [B]，∞). 根据方程式（3.7），我们得到ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K、 ν（x，2）=ν（b，2）+x- B- K、 （4.54）式中，可分别通过E.q.（4.48）和E.q.（4.53）计算出ν（b，1）和ν（b，2）。为了找到阈值b、b、b、b和系数A、A、A、A、eA、eA、eA、eA、eA、eA、b、b、b、b、b、b。我们支持光滑的fit条件保持，并结合ν′（bi，i）=1 for i=1，2，我们有以下等式：ν（0，1）=0，ν（0，2）=0，ν（b+，1）=b-, 1） ，ν（b+，2）=ν（b）-, 2） ，ν′（b+，1）=1，ν′（b）-, 1） =1，ν′（b+，2）=ν′（b-, 2） ，ν（b+，2）=ν（b）-, 2） ，ν′（b+，2）=1，ν′（b）-, 2） =1，ν（B+，1）=ν（B-, 1） ，ν（B+，2）=ν（B）-, 2） ，ν′（B+，2）=ν′（B）-, 2） ，ν′（B）-, 1） =1，ν（B+，2）=ν（B-, 2） ，ν′（B）-, 2) = 1. （4.55）同时，系数˙B，˙B，˙B，˙B，eB，eB，eB，eB，eB可以从方程（4.46），（4.49）中得到。请注意，我们假设ν′（0，1）>1和ν′（0，2）>1。

如果通过E.q.（4.45）系统发现的系数满足：˙A˙α+˙A˙α+˙A˙α+˙A˙α>1，˙A˙（˙α）α+˙A˙α+˙A˙α+˙A˙α>λ。（4.56）情况2：ν′（0，1）=1和ν′（0，2）>1根据上述讨论，我们需要考虑四种可能性：x∈ [0，B）；x∈[B，B]；x∈ [b，b）和x∈ [B]，∞).当x∈ [0，B），我们有ν′（x，1）≤ 1和ν′（x，2）>1，E.q.（4.5），（4.6）给出以下微分方程组：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）+L（1）- ν′（x，1））=λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（1）ν′（x，2）- Δν（x，2）=λν（x，2）- λν（x，1）。（4.57）通过类似的方式，我们知道E.q.（4.57）的解是ν（x，1）=Ceθ（x）-B） +Ceθ（x）-B） +Ceθ（x）-B） +Ceθ（x）-B） +F，ν（x，2）=Deθ（x-B） +Deθ（x）-B） +Deθ（x）-B） +Deθ（x）-B） +F，（4.58），其中Fi:=（λ+（2）-i） δ）L（λi+δ）（λ+δ）- λλ，i=1,2，对于j=1,2,3,4，Dj=φ（θj）λCj=λφ（θj）Cj，（4.59）和θ<θ<0<θ<θ）是特征方程φ（θ）φ（θ）=λ的四根。当x∈ [B，B），ν′（x，1）=1和ν′（x，2）>1，那么我们有以下微分方程组：ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K=x- K、 σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）=λν（x，2）- λν（x，1）。（4.60）考虑上述第二个方程的特征方程：φ（eθ）=σeθ+ueθ- (λ+δ) =0. 它有两个实根：eθ<eθ，那么常微分方程的解是：ν（x，2）=eDeeθ（x）-b） +eDeeθ（x）-b） +\'U（x），其中\'U（x）=λλ+δx+λ+δμλ+δ+L- λK. 这是E.q.（4.60）的解ν（x，1）=x- K、 ν（x，2）=eDeeθ（x）-b） +eDeeθ（x）-b） +U（x）。（4.61）当x∈ [b，b），我们有ν′（x，1）=1和ν′（x，2）≤ 1.E.q.（4.5）、（4.7）给出以下微分方程组：ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K=x- K、 σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）+L（1）- ν′（x，2））=λν（x，2）- λν（x，1）。（4.62）考虑上述第二个方程的特征方程。φ(^θ) =σ^θ+ (u- 五十） ^θ-(λ+ δ) = 0.

它有两个实根：^θ<^θ，那么常微分方程的解是：ν（x，2）=^De^θ（x-B） +^De^θ（x）-B） +U（x），其中U（x）=λλ+δx+λ+δ(u- 五十） λ+δ+L- λK. 这就是E.q.（4.62）的解决方案：ν（x，1）=x- K、 ν（x，2）=^De^θ（x-B） +^De^θ（x）-B） +U（x）。（4.63）当x∈ [B]，∞). 根据等式（4.7），我们得到ν（x，1）=x- K、 ν（x，2）=ν（b，2）+x- B- K、 （4.64）式中，在x的情况下，可以通过结果计算出ν（b，2）∈ 对于（b，b′）=1，假设b=1，b′=2，b′=1，b′=1，b′=0-, 2） ，ν′（b+，2）=1，ν′（b）-, 2） =1，ν（B+，1）=ν（B-, 1） ，ν（B+，2）=ν（B）-, 2） ，ν′（B+，2）=ν′（B）-, 2） ，ν′（B）-, 1） =1，ν（B+，2）=ν（B-, 2） ，ν′（B）-, 2) = 1. （4.65）同时，可以从方程（4.49）中获得系数D，D，D，D。请注意，我们假设ν′（0，1）=1，且ν′（0，2）>1。如果通过E.q.（4.61）系统发现的系数满足：Cθ+Cθ+Cθ+Cθ>1，Cа（θ）θ+Cа（θ）θ+Cа（θ）θ+Cа（θ）θ>λ。（4.66）定理4.5。假设b<b<b<b等于˙Aj，eAj，j=1，2，3，4，Bj，j=1，2是系统E.q.（4.55）的解，并假设它们满足条件（4.56）。假设之前定义了˙Bj、eBj、j=1、2、3、4和U（x），\'U（x）。然后由ν（x，1）给出的函数=˙Aeαx+˙Aeαx+˙Aeαx+˙Aeαx，如果x∈ [0，b），eAeeα（x-B） +eAeeα（x）-B） +eAeeα（x）-B） +eAeeα（x）-B） +F，如果x∈ [b，b），eAeeα（b）-B） +eAeeα（B）-B） +eAeeα（B）-B） +eAeeα（B）-B） +F+x- B- K、 如果x∈ [B]，∞),和ν（x，2）=˙Beαx+˙Beαx+˙Beαx+˙Beαx，如果x∈ [0，b），eBeeα（x-B） +eBeeα（x）-B） +eBeeα（x）-B） +eBeeα（x）-B） +F，如果x∈ [b，b），^Be^α（x-b） +^Be^α（x）-b） +U（x），如果x∈ [B，B），Beα（x-B） +Beα（x-B） +U（x），如果x∈ [b，b），Beα（b-B） +Beα（B）-B） +U（B）+x- B- K、 如果x∈ [B]，∞)是值函数。

最优策略^π=^u，^Γ，^ξ= πν=uν，Γν，ξνQVI控制是否与^u（t）定义的^u有关=如果t=i和Xt，则为0∈ [0，bi），如果t=i和Xt∈ [bi，bi]，代表t∈ [0，^Θ），且^u（t）=0表示t∈ [^Θ, ∞).考虑˙Aj，eAj，j=1，2，3，4，^Aj，Aj，j=1，2不满足条件（4.56）的情况。相反，假设条件（4.66）满足，并假设Cj，j=1,2,3,4和^Dj，eDj，j=1,2是系统E.q.（4.65）的解。之前定义了Dj，j=1,2,3,4和Fj，j=1,2,U（x），\'U（x）。然后由ν（x，1）给出的函数=Ceθ（x）-B） +Ceθ（x）-B） +Ceθ（x）-B） +Ceθ（x）-B） +F，如果x∈ [0，B），x- K、 如果x∈ [B]，∞),和ν（x，2）=Deθ（x）-B） +Deθ（x）-B） +Deθ（x）-B） +Deθ（x）-B） +F，如果x∈ [0，B），eDeeθ（x-b） +eDeeθ（x）-b） +U（x），如果x∈ [B，B），^De^θ（x-B） +^De^θ（x）-B） +U（x），如果x∈ [b，b），^De^θ（b）-B） +^De^θ（B）-B） +U（B）+x- B- K、 如果x∈ [B]，∞)是值函数。最优策略^π=^u，^Γ，^ξ= πν=uν，Γν，ξνQVI控制是否与^u（t）定义的^u有关=L如果t=1，如果t=2和Xt∈ [0，b），如果t=2和Xt∈ [b，b]，代表t∈ [0，^Θ），且^u（t）=0表示t∈ [^Θ, ∞).证据为了证明上面定义的函数是值函数，我们只需证明它满足定理3.3的条件。显然，我们有ν（x，1）∈ C（[0，∞)/{b，b，b}）和ν（x，2）∈C（[0，∞)/{b，b，b，b}）。从s mooth fit条件，我们可以看到ν（0，i）=0，i∈ {1,2}，和ν（0，i），i∈ {1，2}是连续可微函数。另一方面，很明显，ν（x，i）在[Bi]上是线性的，∞), i={1,2}。下面，如果我们能证明ν（x，i），i∈ {1，2}满足qvi，然后我们就可以完成证明。首先，我们考虑了系数为˙Aj，eAj，j=1,2,3,4，Aj，^Aj，j=1,2的情况，它们满足条件（4.56），即对于i∈ {1, 2}.

考虑到ν′（x，1），在区间[0，b]，ν′（x，1）>1上，我们得到了havel（u）ν（x，1）+u≤σν′（x，1）+μν′（x，1）- （λ+δ）ν（x，1）+λν（x，2）=0，其中i（u）ψ=σiψ′（·i）+u（i）- Uψ′（·，i）- Δψ（·，i）- λiψ（·，i）+λiψ（·，2）- i） ，我∈ {1,2}我们有马克斯∈[0，L]eL（u）ν（x，1）+u=eL（^u）ν（x，1）+^u=0。然后我们有一个等式ν（x，1）- Mν（x，1）马苏∈[0，L]eL（u）ν（x，1）+u= 进一步，我们可以证明，在区间[0，b]上，不等式ν（x，1）>Mν（x，1）成立。事实上，通过微分ν（x- η) + η - 关于η，我们可以看到函数ν（x- η) + η - K随扫描到η而减小。因此在区间[0，b）Mν（x，1）=limη7上→0+ν（x）- η) + η - K=ν（x，1）- K<ν（x，1）。所以QVI满足于区间[0，b]上的ν（x，1）。其次，区间[b，b]，ν′（x，1）≤ 1，那么我们havel（u）ν（x，1）+u≤σν′（x，1）+（u）- 五十） ν′（x，1）- （λ+δ）ν（x，1）+λν（x，2）+L=0，且最大∈[0，L]eL（u）ν（x，1）+u=eL（^u）ν（x，1）+^u=0。另一方面，我们有ν（x，1）>Mν（x，1），实际上是区别于ν（x）- η) + η - K相对于η，导致[ν（x）-η)+η-K]η≥ 0，这意味着x- η ∈ [b，b]，函数ν（x）- η) + η - K是相对于η增加的，并且在点η=x时- b、 最大值为获得。因此当x∈ [b，b），Mν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K=ν（b，1）+b- B- （B）- 十）- K=ν（B，1）- （B）- 十）≤ ν（x，1）。第三，我们考虑c ase x∈ 首先，我们需要注意，在区间[B，B]上，ν′（x，2）是递减的∈ [B，B）ν′（x，2）=^α^Ae^α（x）-b） +^α^Ae^α（x-b） +λ+δ。根据带光滑条件的定义，我们得到了ν′（x，2）>ν′（b，2）=1，然后我们得到了^α^Ae^α（x）-b） +^α^Ae^α（x-b） +λ+δ>1，因此^α^Ae^α（x-b） +^α^Ae^α（x-b） >Δλ+δ>0，因此ν′′（x，2）=ααααAeα（x-b） +^α^α^Ae^α（x-b） >0，这意味着ν′（x，2）是严格凸函数。结合真值ν′（x，2）>ν′（b，2）。

我们知道ν′（x，2）在区间[B，B]上严格减少。接下来我们需要注意的是，在点B的某个左邻域上，ν′（x，1）严格增加。实际上，通过光滑条件和连续性，函数ν′（B-, 1） >0，因此在这个邻域上我们有ν′（x，1）=eαeAeeα（x-B） +eαeAeeα（x-B） +eαeAeeα（x-B） +eαeAeeα（x-B） >0，则我们得到ν′′（x，1）=eαeAeeα（x-B） +eαeAeeα（x-B） +eαeAeeα（x-B） +eαeAeeα（x-B） >0。因此，我们知道在这个邻域上，ν′′（x，1）严格地增加。现在我们开始证明，在区间[B，B]上，函数ν（x，1）满足QVI.Forx∈ [B，B）对于每一个u∈ [0，L]，A（x）：=eL（u）ν（x，1）+u=σν′（x，1）+（u- u） ν′（x，1）- （δ+λ）ν（x，1）+λν（x，2）+u=（u）- u）- （δ+λ）ν（x，1）+λν（x，2）+u=u- （δ+λ）ν（x，1）+λν（x，2），那么我们有a′（x）=-（δ+λ）+λν′（x，2），andA′（x）=λν′（x，2）<0。（4.67）这里我们使用的结论是，在区间[B，B]上，ν′（x，2）是严格减少的。（4.67）implyA（x）是区间[B，B]上的凹函数，并导致A′（x）在[B，B]上减少，然后结合定理4.4，我们得到了A′（x）≤ A′（B）=-（δ+λ）+λν′（B，2）=-（δ+λ）+λν′（B）-, 2)≤ -(δ + λ) + λδ + λλ= 0.我们知道A（x）减少了，那么我们就有了A（x）≤ A（B）≤ 另一方面，我们可以证明x∈ [B，B），ν（x，1）=Mν（x，1）。确实对于x∈ [B，B），ν（x，1）=ν（B，1）+x- B- 克莱特η*= 十、- bν（x）- η*, 1) + η*- K=ν（b，1）+x- B- 所以我们得到了ν（x，1）=Mν（x，1）。结合显而易见的真理ν（x，1）≥ Mν（x，1），我们已经完成了在[B，B]上证明ν（x，1）满足QVI的证明，∞), ν（x，1）满足QVI。用同样的论点，我们知道x∈ [b]，∞), ν（x，1）=Mν（x，1）。此外，我们有马克斯∈[0，L]eL（u）ν（x，1）+u≤ 事实上，由于ν′′（b，1）=0，结果满足于区间x上的ν（x，1）∈ [B，B）。

我们有- u） ν′（b，1）- （δ+λ）ν（b，1）+λν（b，2）+u=σν′（b）-, 1) + (u- u） ν′（b，1）- （δ+λ）ν（b，1）+λν（b，2）+u≤ 对于x>b，没有teν′（x，1）=0，那么我们就有σν′（x，1）+（u）- u） ν′（x，1）- （δ+λ）ν（x，1）+λν（x，2）+u=（u）- u）- （δ+λ）ν（x，1）+λν（x，2）+u=（u）- u）- （δ+λ）ν（b，1）+λν（b，2）+u+（δ+λ）[ν（b，1）- ν（x，1）]+λ[ν（x，2）- ν（b，2）]≤ (δ + λ)ν（b，1）- ν（x，1）+ λν（x，2）- ν（b，2）= (δ + λ)ν（b，1）+b- B- K- （ν（b，1）+x- B- （K）+ λν（x，2）- ν（b，2）= （δ+λ）（b）- x） +λν′（ξ，2）（x）- b）≤ （δ+λ）（b）- x） +λ（x）- b）≤ -δ（x）- b）≤ 0，其中ξ∈ [b，x），这导致了ν′（ξ，2）≤ 1.那我们就有马克苏了∈[0，L]eL（u）ν（x，1）+u≤ 0.在下面，我们需要验证函数ν（x，2）满足QVI，这与提供ν（x，1）的情况类似。我们展示了brie fly：首先，在区间[0，b]，ν′（x，2）>1上，我们有（u）ν（x，2）+u≤σν′（x，2）+μν′（x，2）- （λ+δ）ν（x，1）+λ（x，2）=0，且最大∈[0，L]eL（u）ν（x，2）+u=eL（^u）ν（x，2）+^u=0。此外，在区间[0，b]上，不等式ν（x，2）>Mν（x，2）成立。因此，我们知道qviestable在区间[0，b]上，在区间[b，b），ν′（x，2）上≤ 1，我们有（u）ν（x，2）+u≤σν′（x，2）+（u）- 五十） ν′（x，2）- （λ+δ）ν（x，1）+λν（x，2）+L=0，且最大∈[0，L]eL（u）ν（x，2）+u=eL（^u）ν（x，2）+^u=0。另一方面，不等式ν（x，2）>Mν（x，2）在[b，b]上保持不变。然后我们知道QVI在这个区间上建立。第三，我们需要验证[b]上的ν（x，2）的QVI保持不变，∞).

自ν′（B）-, 1) ≥ 0和ν′（B，1）=1，那么我们有（u）- u） ν′（B，1）- （δ+λ）ν（B，1）+λν（B，2）+u=σν′（B）-, 1) + (u- u） ν′（B，2）- （δ+λ）ν（B，1）+λν（B，2）+u≤ 另外，当x>B，ν′（x，2）=0时，我们得到σν′（x，2）+（u）- u） ν′（x，2）- （δ+λ）ν（x，1）+λν（x，2）+u=（u）- u）- （δ+λ）ν（x，1）+λν（x，2）+u=（u）- u）- （δ+λ）ν（B，1）+λν（B，2）+u+（δ+λ）ν（B，1）- ν（x，1）+ λν（x，2）- ν（B，2）≤ (δ + λ)ν（B，1）- ν（x，1）+ λν（x，2）- ν（B，2）= (δ + λ)ν（b，1）+b- B- K- （ν（b，1）+x- B- （K）+λν（b，2）+x- B- K- （ν（b，2）+b- B- （K）= （δ+λ）（B）- x） +λ（x）- B） =δ（B）- 十）≤ 0.然后我们有了Maxu∈[0，L]eL（u）ν（x，2）+u≤ 0.结合ν（x，2）=Mν（x，2），我们知道QVI是满足的。对于ν′（0，1）=1和ν′（0，2）>1的情况，版本是相似的，我们省略了它。5.结论在本文中，我们站在管理者的角度考虑最佳股息率。假设公司盈余受宏观经济条件的影响。管理者必须根据连续时间马尔可夫链描述的经济变化做出决策。本文的主要贡献在于，我们突破了单一分割策略的局限性，考虑了混合的经典脉冲红利策略，并显式地导出了价值函数和最优分割策略。参考文献[1]Hansj–org Albrecher和Reinhold Kainhofer。具有非线性红利屏障的风险理论。计算机，68（4）：289-3112002。[2] 汉斯·奥尔布赖彻*、于尔根·哈廷格和罗伯特·菲希。关于具有线性红利障碍的风险模型中的红利分配和贴现罚金函数。《斯堪的纳维亚精算杂志》，2005（2）：103–126，2005年。[3] 瑟伦·阿斯穆森和迈克尔·塔克萨。控制最优股息支付的差异模型。《保险：数学与经济学》，第20（1）：1-15页，1997年。[4] 巴勃罗·阿兹库和诺拉·穆勒。