基于S形函数描述波动率

该网格可能是不均匀的，由具有不同走向和/或到期日的节点组成。然而，我们不建议在打击空间进行无套利插值/外推。因此，合理罢工范围的定义由该方法的使用者决定。例如，假设我们使用局部随机波动率模型来同时对一组奇异期权和普通期权进行定价和对冲。要做到这一点，我们需要根据市场数据校准局部波动率（LV）曲面。例如，适当的LV网格可以与现场空间中的有限差异网格重合。我们可以使用第一个公式来校准曲面。当使用这种方法时，我们对网格节点之间隐含的波动率的值不感兴趣，因此，所提出的方法可以应用。我们还保证了微笑在大的正向和负向标准化打击下的正确渐近行为。上述情况意味着我们的隐含波动率模型是一个在给定的“状态”（打击）集合下定义的离散模型，类似于离散马尔可夫链模型。我们目前还不知道这个模型的任何连续极限。与SVI模型相比，SVI模型在结构上与Heston模型的高度渐近性一致，这是一个很好的结果。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们给出了模型的概要。下一节将对模型在极值点和到期点以及ATM和一些临界点的行为进行渐近分析。基于这一分析，我们还能够对一些模型参数进行财务解释。

在第4节中，我们将解释如何构造无套利IV曲面，并详细描述我们的无套利插值和外推方法。第5节介绍了一些数值实验，并分析了固定参数随时间的稳定性。最后一节讨论了一些遗留问题。2模型在我们描述我们的构造之前，有趣的是，传统的参数模型将微笑表示为z的多项式函数。这样做的原因之一是，根据Cont&Fonseca（2002）的说法，与表示为罢工函数时相比，moneyness上的IV模式在时间上没有变化。此外，由于函数的形式更简单，因此估计算法收敛速度更快，因此，按货币价值而不是按执行价格进行回归也会带来额外的计算收益。一项典型的研究是Alentrat（2004）的研究，该研究使用富时100指数中的数据，测试了以下模型：σ（z）=β+βz+βz+ （2） σ（z）=β+βz+βz+βT+βtz,我，我在哪里∈ [0,4]是回归参数，通常是时间的函数，因此。（2） 系数固定时，仅代表一项T=波动率表面常数。在Borovkova&Parmana（2009）中，作者使用了类似的回归。他们还注意到，固定期限的隐含波动率函数的抛物线形状是实际波动率函数的平均形状。请注意，增加多项式波动函数的幂（从两个增加到三个或更高）并不能真正解决这个问题，因为对于所有到期日，这个波动函数仍然是相同的。隐含波动率作为z函数的二次函数也得到了隐含波动率面PCA分析的支持（Cont&Fonseca（2002）、Alexander（2001）、Fengler等人。

(2003)).将这些模型与市场数据进行比较表明，它们能够在ATM区域捕捉到波动微笑的形式，而在wings时往往失败。另一个问题是微笑快要消失了。给你→ 0意味着z→ ∞, 而Wings的波动性趋于一致，这是市场数据所无法支持的。因此，回归系数β，β必须趋于零，拟合函数在此极限下退化。这给优化程序带来了一个真正的问题（它永远不会收敛到这样的极限）。Gatherel在他的SVI参数化中使用了另一种形式W（χ；a，b，σ，ρ，m）=a+bnρ（χ- m） +p（χ- m） +σo.（3）这里w是总的隐含方差，χ=log（K/F），a表示总体方差水平，b表示左右渐近线之间的角度，σ表示顶点的平滑程度，ρ表示图形的方向，改变m表示图形。这种形式的隐含波动率曲面是由一个渐进无套利论点驱动的，该论点由霍奇斯（1996）、Gathereal（1999）和后来的利普顿（2001）率先提出，他提到，对于大的|χ|，由此产生的IV（χ）界是O（|χ| 1/2）。Lee（2004）的熟悉结果进一步证明了这一点，即总隐含方差在χ和χ之间应该是线性的→ ±∞ 斜率为0<φ(∞) < 2.应用于SVI Gatheral（2004））推导了IV曲面无套利的必要和充分条件，并展示了该参数化适用于各种当前流行的模型生成的IV曲面，包括随机波动和跳跃模型。

此外，还提供了一些例子，说明SVI能够很好地拟合实际的静脉表面——甚至是众所周知的难以拟合的非常短的呼气时间。SVI更新了Gathereal&Jacquier（2014）的无套利插值和外推，以及上述二次回归的最新版本在许多情况下都能很好地工作。然而，根据我们的经验，我们需要另一种模型，将后一种模型的能力与更好的灵活性结合起来。例如，i）该模型应能够使用相同的回归拟合微笑和扭曲（这可能是二次模型的一个问题）；ii）最好有一个单独的模型参数，用于确定微笑最小值的位置，并可根据市场数据进行校准（例如，在SVI中，该位置由模型参数的值预先确定）；iii）行为机翼可以是次线性的（见下文），而在原始SVI中，它是严格线性的，等等。从这个角度来看，我们基于以下假设构建了一个新的参数模型。1.作为参数回归的自变量，我们选择公式（1）中定义的标准化罢工z和到期时间T.2。按照式（4）所示的形式，该模型能够模拟呼叫时微笑和展翅时的不同行为（Zhao&Hodges（2013））。这种情况在商品建模时可能会有所帮助，其中一个机翼可以显示线性行为，而另一个机翼可以显示次线性行为。然而，为了简洁起见，在对模型进行渐近分析时，我们省略了对次线性的详细讨论（将在其他地方讨论），而集中于z.3中wingsis处的方差为线性的情况。由于存在多个理由表明微笑在z空间中是不对称的，因此非常希望发出呼唤并独立展开翅膀。4.

参数函数在z.5中必须是连续的。它应该在接近到期时表现良好。6.我们按期限划分IV期的期限结构，即第一个到期日t时的方差曲线，而不是第二个到期日t>t时的方差曲线，等等。因此，我们不考虑回归参数对时间的依赖性。然而，我们确实讨论了如何构建整个无套利IV曲面。7.作为该方法的一个可能扩展，可以依赖于z的定义，其中日历时钟T被商业时钟Tv取代。这里我们只提到这个机会，它显然提高了模型的拟合能力，尤其是失效，但不详细讨论。8.参数的数量必须最小。9.参数函数必须快速计算。10.整个IV表面应遵守无套利条件。例如，Zhao&Hodges（2013）提出的SVI模型的最新扩展利用了Kummer超几何函数，这使得计算具有可扩展性。给定T，我们在IV表面读数SW（z）=wc+SCy1+y+F（y）处对一项的新参数化√TnXi=1aiYi（y）（4）y=z- C、 Y（Y）≡αS(-αy）y≤ 0βS(-βy），y>0，其中w（z）是总隐含方差，w（z）=I（z）T，I（z）是隐含波动率，确定y（y）上多项式的最大次数，S（x）属于所谓的sigmoid函数，von Seggern（2007）。当sigmoid函数的两端都趋向于±∞, 在x=0时消失。许多自然过程，包括复杂系统学习曲线的过程，表现出从小的开始到逐渐加速并接近高潮的过程。

除了逻辑函数外，S形函数还包括普通反正切函数、双曲正切函数、古德曼函数和误差函数，以及广义逻辑函数和代数函数，如x/√1+x。在等式（4）中，函数F（y）定义了机翼上的模型行为。可以这样选择，在接近y=0时，我们有F（y）∝ |y |α而F（y）→ yα+，→ ∞, andF（y）→ (-y） α-, Y→ -∞ 其中0<α-≤ 1, 0 < α+≤ 1，0<α是一些常数。这种结构可以解释回归的线性和次线性行为。然而，在本文中，我们将只探讨F（y）的情况≡ |y |，因此次线性情况将在其他地方讨论。从性能的角度来看，我们希望w（z）以尽可能少的计算机操作数计算。这指导我们根据近似值Rf（x）选择S（x）=erf（x）≈ 1.- （1+ax+ax+…+ax）-16，最大误差为3·10-其中a=0.0705230784，a=0.0422820123，a=0.0092705272，a=0.0001520143，a=0.0002765672，a=0.0000430638。这个近似值对x有效≥ 0.要将其用于负x，请利用erf（x）是一个odd函数的事实，因此erf（x）=-erf(-x） （Abramowitz&Stegun（1964））。值得一提的是，在arctan（z）中使用多项式函数在不久前是一个流行的选择，但是我们没有设置这个限制。此外，为了清晰起见，我们定义n=2，并为S提供特殊符号≡ a、 K≡ a、 下面将清楚说明使用此符号的原因。在这些假设下，式（4）中的w（z）有7个参数：oC-移位。这是微笑左右分支之间的一个边缘点。外汇期权C≈ 0，也就是说，这里离ATM机点很近。然后，左分支是aput机翼，而右分支是呼叫机翼。对于指数期权，里程的最小值通常会移到正z。

参数C只是反映了这个移位的值。请注意，微笑是Cat z=C。实际上，等式（4）中Y（z）的直接微分表明第一个导数是连续的，读数为Y（z）| z=C=-1，当二阶导数消失时wC-这是z=C时的方差。oSC-这个参数决定了z=C时微笑的倾斜。oα-这是一个摆翼参数，它决定了摆翼应该有多陡。oβ-这是一个呼叫翼参数，它决定呼叫翼应该有多陡S-该参数确定微笑在区域0之外的倾斜≤ Z≤ C.oK-该参数确定区域0外微笑的峰度≤ Z≤ C.在极限α内→ 0或β→ 0我们得到Y（z）→ C- z、 此外，为了获得更好的结果，我们需要对模型进行一个小的改进。由于固定方差w（z）预计在z中至少是连续的，因此最好消除| z这样的非连续函数-C |。如果我们找到函数| z的连续近似值，这可能相对容易实现- C |。在各种可能的功能中，我们选择了| y |≈ y tanh[py]，（5）其中p是常数参数。选择足够大的p，比如1000，可以得到| y |的高精度近似值，它是完全连续的。3渐近分析和参数的意义下面我们对模型进行渐近分析，以揭示所有模型参数的财务意义。3.1 z=CTo时的行为为了更好地理解为什么需要线性校正项，考虑微笑的渐进行为。作为z→ 函数w（z）的行为类似于ew（z）≈ wC+SCy-SC+pS√T Yy（0）y+OY. （6） 因此，这是z的多项式函数-这与Dumas等人（1998）的模型类似。更严格地说，如果p<1/y，在小y时y是线性的，如果选择p，y是二次的≈ 1/y小y。

同样，由于参数α决定了摆翼中微笑的陡度，因此有一个独立的参数来更好地塑造z=C附近微笑的线性部分是合理的。这就是为什么在等式（4）中我们引入了一个与z成比例的额外项≈ C、 然后在z消失→ ∞.从式（6）中可以明显看出，wc是z=C时的总方差，sci是z=C时的偏斜，而z=C时的峰度消失。此外，可以看出，改变p one可以改变高阶矩的值，然而，对于我们的分析来说，这并不重要。因此，我们可以将系数wC、SCand C解释为临界点不在z=0时的某种形式的调整。请注意，由于衍生品不依赖于β（或α），因此该模型在z=C附近是不连续的。3.2行为阿特姆莱特考虑我们的模型在货币上的行为，当罢工K等于正向价格F，因此z=0。为了简化分析，我们假设C>0，pC 1.p的值可以始终选择为pC 1，除非C=0。然后tanh（个人电脑）≈ 1如果C>0，则tanh（pC）≈ -如果C<0，则为1。为了便于记法，表示A≡ Y(-C） ，A≡Yy(-C） ，A≡ Yyy(-C） 。根据等式（4），ATM方差由w=wC给出-C1+CSC+AC√T-tanh（pC）Sα+AKα+O（y+C）。（7） 因此，ATM偏差近似由ATM=-（C）- 1） （C+1）SC+tanh（pC）√T[-A（S+KA）+CA（S+2KA）]+O（y+C），（8）和ATM峰度isKATM=-2SCC（C）- 3） （C+1）（9）+√T tanh（个人电脑）[-2A（K（2A- CA+S+CA（2AK+S）]+O（y+C）。进一步，我们想确定反射点C和smile ATM参数之间的关系。为了做到这一点，首先假设C很小，但是我们的假设PC 1仍然保留下来，因为p很大。

此外，在我们的大量实验中，我们将该模型校准为各种股票和指数期权，这些期权具有广泛的到期日和行使时间，观察到K的典型值约为1.0，S为1.0级，α从0到5不等。因此，从式（8）中我们得到c=SC- SATM3SC- 2pS√T Yy（0）（10）因此，如果SC-SATM 3Sc- 2pS√T Yy（0）。由于C很小（换句话说，接近ATM），差异SC- 萨特马尔索必须去购物。在非常小的T时，上述解转化为atm=-（C）- 1） （C+1）SC（11）在小C时，这个方程的根C=rSC- SATM3SCIf C为正，ATM点属于put机翼，SATM<0。因此，为了使等式（10）保持一致，SCA必须为正。注意，等式（10）不包含α或β，因此无论C是正还是负，它都是有效的。同样从等式（8）可以看出，微笑atC=0的最小值与ATM点不一致。为了说明这一分析，这里我们提供了一个使用推荐模型计算的真实微笑的例子。我们在2010年10月7日进行了这项测试，并对2010年10月15日到期的Eldorado Gold Corporation（EGO）股票期权的隐含波动性进行了测试。图1给出了安装结果，其中NSt≡ M处的z/σ。-25-20-15-10-5 0 5 10 1500.511.522.533.544.5微笑适合度：自我，F=18.670588，r=0.004500，NSTσimpl图1：IV微笑放弃的适合度，T=10/15/2010-2.-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.5 20.40.420.440.460.480.50.520.540.56微笑适合度：自我，F=18.672647，r=0.004500，NSTσimpl图2：IV微笑放弃的适合度，T=11/19/2010。表1给出了通过校准找到的fit参数。