基于S形函数描述波动率

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英文标题：
《To sigmoid-based functional description of the volatility smile》
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作者：
Andrey Itkin
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We propose a new static parameterization of the implied volatility surface which is constructed by using polynomials of sigmoid functions combined with some other terms. This parameterization is flexible enough to fit market implied volatilities which demonstrate smile or skew. An arbitrage-free calibration algorithm is considered that constructs the implied volatility surface as a grid in the strike-expiration space and guarantees a lack of arbitrage at every node of this grid. We also demonstrate how to construct an arbitrage-free interpolation and extrapolation in time, as well as build a local volatility and implied pdf surfaces. Asymptotic behavior of this parameterization is discussed, as well as results on stability of the calibrated parameters are presented. Numerical examples show robustness of the proposed approach in building all these surfaces as well as demonstrate a better quality of the fit as compared with some known models.
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中文摘要：
我们提出了一种新的隐含波动率曲面的静态参数化方法，该方法是利用sigmoid函数的多项式结合其他项构造的。这种参数化非常灵活，足以适应市场隐含的波动，这些波动表现出微笑或扭曲。考虑了一种无套利校准算法，该算法将隐含波动率曲面构造为罢工到期空间中的网格，并保证该网格的每个节点都不存在套利。我们还演示了如何在时间上构造无套利插值和外推，以及如何构建局部波动率和隐含pdf曲面。讨论了这种参数化的渐近行为，给出了标定参数稳定性的结果。数值算例表明，与一些已知模型相比，所提出的方法在构建所有这些曲面时具有鲁棒性，并且显示出更好的拟合质量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> To_sigmoid-based_functional_description_of_the_volatility_smile.pdf (569.19 KB)

2022-5-6 10:13:28 上传

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关键词：波动率 Quantitative Mathematical Applications volatilities

对volatilitysmile进行基于sigmoid的功能描述。Andrey ItkinPolytechnic School of Engineering，New York University，6 Metro Tech Center，RH 517E，纽约州布鲁克林，纽约11201，USA 2014年12月9日摘要我们提出了一种新的隐含波动率曲面的静态参数化，该曲面是通过使用sigmoid函数的多项式结合一些其他项构建的。这种参数化非常灵活，足以反映市场隐含的波动性，从而表现出微笑或扭曲。考虑了一种无套利校准算法，该算法将隐含波动率曲面构造为罢工到期空间中的网格，并保证该网格的每个节点都不存在套利。我们还演示了如何在时间上构建无套利插值和外推，以及构建局部波动率和隐含pdf曲面。讨论了该参数化的渐近行为，给出了标定参数稳定性的结果。数值例子显示了所提出的方法在构建所有这些曲面时的鲁棒性，并且与一些已知模型相比，显示了更好的拟合质量。关键词：波动率面、静态参数化、无套利插值和ExtrapolationJel分类：C6、C61、，G171综述在过去15年中，文献中提出了隐含波动率（IV）表面的各种参数化，以解决几个目标：a）给定一些期权的一组市场报价，建立无套利局部波动率（杜皮尔）表面，进一步利用它校准局部随机波动率模型；b） 获取场外期权和其他衍生工具定价的波动率，这些衍生工具的行权和到期日与期权交易所提供的期限不同；c） 根据曲面形状评估期权定价模型的充分性。

此外，期权交易者和市场庄家通常使用所有行权和到期日的隐含波动性的当前快照作为基础，通过对IVF未来动态的一些假设，对未来一段时间内的短期波动性进行预测。构建无套利IV面有两种主要方法。第一种方法使用一些随机模型来计算基础现货或远期价格，并根据市场数据进行校准。例如，在股票领域，人们可以使用流行的赫斯顿（赫斯顿（Heston）（1993a））或SABR（Hagan et al.（2002））模型，根据市场数据进行校准，然后使用该模型在市场报价不可用的情况下，为缺失的行权和到期寻找IVs。通过构造，由无套利模型产生的IVs也是无套利的。然而，这种方法的主要问题是，很难找到一个足够丰富的模型来很好地拟合观察到的市场数据。Lipton&Sepp（2011）提出了这种方法的另一个有趣的修正，他们使用直接和反向拉普拉斯变换将具有平铺局部波动性的模型校准为稀疏市场数据。其主要思想是为本地波动性提供一个参数形式，参数的数量与市场报价的数量相同。这允许在每个向前的时间步找到校准问题的精确解决方案，而不是在最小的平方意义上解决它。所以这种方法的优点是速度非常快。另一方面，由于局部波动率是使用无套利模型构建的，因此使用杜皮尔公式从局部波动率曲面复制的相应IVsurface也是无套利的。另一种方法不考虑潜在波动率的任何模型，而是使用隐含波动率表面的一些参数。

上世纪90年代末，IV的参数化模型开始受到普遍关注。Dumas等人（1998年）提出了几种IV表面的参数化模型，Alentrat（2004年）针对FTSE期权进行了调整和测试。在Dumas参数模型中，IV曲面被建模为所谓标准化罢工（而非罢工价格）的二次函数。后来，汤普金斯（2001）、科茨等人（2013）、卡尔等人（2013）进一步扩展了这种方法。标准化走向定义为Z=对数（K/F）σ*√T、 （1）其中K是期权行使，F是远期价格，T是到期时间，σ*是标准化常数，通常设置为1或ATM隐含波动率。标准化罢工是一个单位减去数量。有些人也将其称为“货币性”或“对数货币性”，但我们保留这个词作为对远期货币的标准定义。正如其中一位仲裁人所提到的，隐含波动率表面上的一个点可能就是这种预测。此外，隐含波动率的市场模型，例如Cont&Fonseca（2002）告诉我们，隐含波动率也预测了它们与现货的协方差以及它们自身的波动率。然而，风险中性和现实世界概率度量之间的差异阻碍了即使是单一隐含波动率作为预测的有效性。众所周知，对于标准普尔500指数而言，货币远期的隐含波动率平均高于随后实现的波动率，这表明这种区别是重要的，并且在经验上是可以验证的。然而，在短期内，比如说10分钟内，在一个安静的市场中，这样的预测可能会有帮助。他实际上提出了一个本地波动性的模型，然而，该模型可以重新映射到隐含的波动性。M=K/F。根据定义，正常化罢工在远期货币（ATM）上消失。

对于acall期权，正的标准化行权对应于货币内期权，负的标准化行权对应于货币外期权。通常，在“粘性货币”的假设下使用标准化走向，这意味着IV在保持不变时不会发生变化（也被称为“粘性增量”），这允许在一些假设的时间段内消除波动性微笑，即使基础价格发生变化。这不同于另一个流行的假设，即所谓的“粘性罢工”规则（Derman&Kani（1994）、Derman（1999）、Sinclair（2013））。尽管在第二种方法（静态参数化）中，净资产的质量比第一种方法（潜在或隐含波动性本身的动态模型）要好，但静态参数化只告诉我们期权价格/投资组合的当前市场快照，而没有告诉我们投资组合的时间动态，上述关于IVs未来动态的“粘性”假设与参数化本身无关。显然，如果他/她依赖于“粘性对数货币”动力学假设为真，那么可以使用标准化走向作为一个方便的基础变量来构造这样一个参数化。然而，这并不意味着使用标准化走向作为基础变量的另一个参数化，并依赖于散乱的货币性假设，可能无法用于拟合同一组市场IVs。这是因为这种类型的参数化本质上是静态的。换言之，使用这种静态函数来预测未来的IVs本身是不可能的。相反，当使用这种方法时，用“预测”这个术语，实践者通常意味着，当某个期权的期限（到期日）为t的IV已知时，它提供了从今天到现在的波动率的一些平均值。

然而，这不是参数化的特性，而是当前期权市场的特性，它提供了一些关于股票市场未来行为的“平均”信息。Gathereal在许多论文中对使用静态方法对IV表面建模进行了扩展，可能从Gathereal（2004）开始）。他使用了微笑的不同参数化，称为随机波动激励（SVI）模型，该模型由远期对数货币性χ=log（K/F）驱动。Gathereal及其同事还提出了一些经验依赖性，即fit参数如何随时间演化，Gathereal（2006）。后来在Gathereal&Jacquier（2011）中，我们发现SVI参数化和赫斯顿隐含波动率的大时间渐近在代数上是一致的，这为上述参数化提供了额外的理论依据。文献中还提出了一些其他静态参数化，例如Fengler（2005）、Zhao&Hodges（2013）、Andreou等人（2014）、Sehgal&Vijayakumar（2008）、Daglisher等人（2007）、Carr等人（2013）、Romo（2011）、Rosenberg（2000），以及其中的参考文献。在下一节中，我们将讨论任何此类参数化都应该为用户提供的主要非常理想的特性。可以观察到，与旧方法相比，最近的模型，例如扩展的SVI模型，以及Kotz’e等人的模型。

Zhao&Hodges（2013）确实解释了这些特征，因此在实践中可能是有用的。就IV的动态模型的需求而言，Cont&Fonseca（2002）考虑了给定日期的指数期权价格（它们通常通过相应的IV曲面表示），该价格清楚地显示了歪斜/微笑特征，以及一些IV模型试图重现的期限结构。他们强调，IV曲面也会随着时间的推移而动态变化，而现有建模方法并未考虑到这种变化，从而导致Vega风险投资组合。他们利用标准普尔500指数和富时指数期权价格的时间序列，研究了该表面的变形，并表明它可以表示为一个由少量正交随机因素驱动的随机弯曲表面。然后Cont和Fonseca确定并解释了这些因素的形状，研究了它们的动态性及其与基础指数的相关性。提出了一个和经验观测相一致的简单因子模型。作者举例说明了这种方法是如何模拟和改进期权交易员用来更新IVs的众所周知的“粘性货币”规则的。他们的方法为在测量波动性风险时使用Vega提供了依据，并将波动性风险分解为经验可识别因素的贡献之和。值得一提的是，“粘性罢工”或“粘性货币”的流行假设只是经验法则。例如，Ciliberti等人（2008年）通过详细考虑一些股票期权微笑的偏斜来分析这些假设，这是由对基础的所谓杠杆效应引起的，即过去收益和未来平方收益之间的相关性。

这很自然地解释了偏斜作为期权到期日函数的反常依赖性。利用单因素模型分析杠杆效应的市值依赖性。作者们展示了这种杠杆关联是如何产生一种非平凡的微笑动力学的，这种微笑动力学被证明是介于粘性打击和粘性增量规则之间的。最后，他们将结果与股票期权数据进行了比较，发现期权市场高估了杠杆效应的一个大因素，尤其是长期期权。这个问题需要进一步调查。Carr&Wu（2010）提出了另一个有趣的想法。本文考虑了Black-Scholes隐含波动率曲面的未来动力学，推导了波动率曲面当前形状的无套利约束。在特定的比例变率动力学下，曲面的形状可以转换为一个简单的二次方程的解。此外，与每份合约的期权隐含波动率相对应，本文定义了一个新的、特定于期权的预期波动率度量，可以从标的证券的历史样本价格路径估计。该指标被定义为波动性输入，该输入通过持有该期权产生零预期增量对冲收益，因此在不同的期权行使和到期时会有所不同。将新的理论框架应用于标准普尔500指数期权市场，作者从两个波动率表面提取波动率风险和波动率风险溢价，并发现提取的波动率风险溢价显著预测未来的股票回报。因此，对未来动态的了解也消除了任何艺术假设的必要性，如“粘性”等。

参见Sepp（2014）和le Roux（2007）、Romo（2014）的最新论文。到目前为止，大多数IV研究人员都专注于股票和外汇衍生品。然而，Borovkova&Parmana（2009）将这一想法应用于石油市场的期权价格数据。他们将聚集参数方法的简单性与非参数方法的灵活性结合起来。作者声称，该方法可以成功地在有限数量的期权价格数据下实现。通过将该方法应用于交易所交易的原油和汽油期权的价格，研究了该方法的性能，并将结果与纯参数方法所得结果进行了比较。此外，对欧洲和亚洲期权所隐含波动性之间关系的调查表明，石油市场中的亚洲期权比理论观点所暗示的要昂贵得多。总而言之，自1990年市场上出现明显偏差以来，交易者一直在使用各种静态参数化。然而，正如从业者在日常交易中观察到的那样，即使是最好的模型，如SVI和最新版本的二次函数，有时也无法很好地拟合市场数据。作者自身的经验也证明，无法将这些模型与从一些数据提供商处获得的数据集相匹配。此外，根据toBiscamp（2008）的说法，SVI模型近年来经过从业者的彻底测试，并没有被证明对所有产品都有效（如指数期权、分散性、股票期权等）。因此，一些交易公司运行自己的专有模型，利用在z空间中构建分段多项式微笑的想法。这种方法也有一些问题，即：o确定两个微笑之间的边界点，除此之外，微笑是连续的。通常它需要解一些非线性方程，这是昂贵的。

求解非线性方程的必要性降低了波动性系数，尤其是计算微笑相对于模型参数的导数，通常通过凹凸研磨法计算这种方法仍然无法解决到期日临近的问题这种函数形式不能很好地反映市场数据中的歪斜和微笑z中翅膀处微笑的渐近行为与Lee（2004）的结果不一致，即方差在z中应为渐近线性。所有这些都表明，一个适合更好地拟合静态市场波动数据的新模型可能会有所帮助。考虑到上述情况，我们在本文中的主要目标是提出另一个参数，这相当于用现有方法解决讨论的问题。我们还介绍了如何在必要时使用无套利插值和/或外推来构造无套利IV曲面。我们强调，根据Carr（2014），任何此类公式必须提供以下三个属性：1。它分析性地描述了隐含的波动性，而不是期权价格。2.它完全满足任何一组无套利的中端市场隐含波动率。3.不产生套利。类似的想法可以在Rebonato（2004年）和Castagna（2010年）中找到。虽然第一个很明显，但通常很难保证最后两个属性。在本文的第一种方法中，由于我们使用了最小二乘优化，我们不能保证与给定的中端市场报价精确匹配。然而，我们确实保证，回归隐含波动率介于给定的买入和卖出之间，并且（在某些规范中）接近中间价。第二，通过建设，我们保证没有及时套利。我们还保证在给定的罢工网格上进行套利。