看涨拍卖问题的精确解和渐近解

最后，说明A和B的单调性的同一论点确保了价格p成为交易量最大化的交易价格的必要和有效条件在于价格区间（xn，xn+1），因此得出了第二和第三个结果。为了完整起见，我们提供了完整的微积分证明的草图，将计算的细节留给读者。让我们考虑一下电话拍卖已经结束。设（XAi）i=1，。。。，A(∞)是提交的询价单的价格顺序（几乎肯定是确定的），并且（XBj）j=1，。。。，B(-∞)是提交的投标订单的价格顺序（几乎肯定是确定的）。使用订单统计的标准符号，让XA（i）表示价格递增订购时的第i个ask订单：XA（1）<…<XA（A）(∞)). 同样，当订购价格不断上涨时，XB（j）是第j个投标订单。我们还将使用以下约定：XA（0）=XB（0）=-∞ andXA（N）=+∞ （分别为XB（N）=+∞) 如果N>A(∞) （分别为N>B）(-∞)). 我们可以验证：P（V=k | A(∞) = m、 B(-∞) = n） =PXA（k）<XB（n）-k+1），XA（k+1）>XB（n-k） | A(∞) = m、 B(-∞) = N. （2） 现在，利用买卖过程的独立性，并知道任意两个顺序统计的联合分布（参见David&Nagaraja，2003；Arnold et al.，2008，关于顺序统计的教科书），我们写出了四元组（XA（k）、XA（k+1）、XB（n）的密度-k） ，XB（n）-k+1）有条件地(∞) = m、 B(-∞) = n为任何实数a<b，c<d定义的函数g:g（a，b，c，d）=m！（k）-1)!（m）- K- 1)![F（a）]k-1[1 - F（b）]m-K-1f（a）f（b）×n！（k）- 1)!（n）- K- 1)![F（c）]n-K-1[1 - F（d）]k-1f（c）f（d）。

（3） 在d中积分，然后经过计算得到：P（V=k | A(∞) = m、 B(-∞) = n） =ZRZ]a+∞[m！（k- 1)!（m）- K- 1)![F（a）]k-1[1 - F（b）]m-K-1f（a）f（b）×外汇（n）-k+1）（b）- 外汇（n）-k+1）（a）+nk[F（b）]n-k[1- F（b）]kdb da（4），其中FX（n-k+1）是（n）的累积分布函数- k+1）n个样本的第阶统计量。回想一下，如果β（x，i，j），Zxui-1(1 - u） j-1du是不完整的beta函数，然后是FX（n-k+1（u）=n！（n）- k） !！（k）- 1)!β（F（u），n- k+1，k）。使用变量u=F（a）和v=F（b）的变化，以及一些涉及贝塔函数标准恒等式的计算，可以得到方程（1）中给出的结果。多亏了这个简单但未注释的结果（据我们所知），我们可以继续分析一般问题的精确解和渐近解。备注1。我们强调，如果假定askorders Faders和投标订单FB的价格分布不同，则L emma 1不成立。上面给出的第一个证明使用了一个事实，即当FA=FB=F时，提交订单的所有“出价”和“询问”标签属性都是等概率的。如果FA6=FB，则情况并非如此，且这些概率取决于价格：以低于或等于p的价格提交的订单是askorder的概率为λAFA（p）λAFA（p）+λBFB（p）。在此之前，任何模仿第一个证明的推理都需要根据第n个订单的位置对交易量进行有条件的评估，这似乎不容易处理。

作为一种解决方法，通过使用fa和FB（与密度fa和FB绝对连续）的直接演算进行证明，可以得到一般形式的积分：Z]a+∞[fA（u）（1）- FA（u））iβ（FB（u），j，k）du，当FA=FB时可处理，但当FA6=FB时似乎不明显。3交易量的精确和渐近分布买卖过程的泊松假设立即得出交易量无条件分布的一般形式。稍微重写一下，就可以得到一般的结果。提议1。在具有订单提交率λ、市场不平衡度α和拍卖长度T的一般叫价拍卖模型中，交易量的分布为任意k∈ N:P（V=k）=e-λTα(1 - α） λTk（k！）+∞Xi=0+∞Xj=0（λT）i+ji+j+2ki+k阿尔法二号！(1 - α） jj！（5） 请注意，该结果不取决于订单的价格分布F。该表格具有对称性（关于买卖订单的流程，通过市场不平衡系数表示）∈ [0，1]），因此便于符号计算。然而，这两个和中的任何一个都可以用特殊函数很好地表示，这在计算实现方面可能是有意义的。例如，P（V=k）=e-λTα(1 - α） λTk+∞Xi=0k+ik（αλT）i（i+2k）！F（k+1，i+2k+1，（1- α） λT），（6）其中f为反超几何函数（见Seaborn，1991）。命题1的结果将Mendelson（1982）在没有市场不平衡的对称情况下发现的分布推广到一般的市场不平衡。通过在命题1的结果中设置α，并使用一些组合重写，包括Vander monde恒等式的变体（Gould，1956），我们得到：P（V=k）=e-λTλT2k（2k）！1+λT2（2k+1）（7） 这是由门德尔森（1982年，方程式3.3）发现的。

此外，通过设置k=0，命题1给出了在清算机制期间的时间T不会发生交易的概率，这在流动性非常低的市场中是一个重要的数量，以及市场不平衡α对该数量的影响。对于k=0和α6=：P（V=0）=e，给出了简单的恒等式-αλT+α1- 2αE-αλT- E-（1）-α） λT. （8） 同样，在sy mmetric情况下α=，我们通过计算上述表达式的极限来检索：P（V=0）=e-λT1+λT, （9） 这是由门德尔森（Mendelson，1982年，未编号的方程式p.1512）得出的。图2描绘了流动性较差的市场（λ=10）和流动性较强的市场（λ=100）的交易量d分布的几个例子。在非流动性市场的例子中，不发生交易的可能性从4%到33%不等，这取决于市场不平衡度α。在流动性市场的例子中，这种可能性小于-5即使在市场不平衡的情况下。正如预期的那样，随着市场不平衡的加剧，分销向左边转移，即。α -增加。012 34 560.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450 10 20 30 40 500.000.020.040.060.080.100.120.14图2：市场失衡平均值的交易量分布（x轴上的交易量，y轴上的总概率）：α=0.125（加），α=0.25（星），α=0.375（方），α=0.5（三角形）和几种类型的市场流动性：λ=10（顶）和λ=100（底）。如图2所示，随着市场流动性的增加，交易量逐渐趋于正常。平均值为λTα（1）- α） ，这可能是通过将引理1的超几何分布的平均值取为N来猜测的→ +∞, 然而，交易量的变化并不是市场失衡的直观函数。结果如下。提议2。

在具有订单提交率λ、市场不平衡度α和拍卖长度T的一般呼叫拍卖模型中，在非常流动的情况下，λT→ +∞, 交易量的分布与平均值λTα（1）渐近正态- α） 和标准偏差pλTα（1- α)(1 - 2α(1 - α)). 请注意，这个结果并不取决于订单的价格分布。证据该问题是当ask订单数为参数αλT的泊松分布，而bid订单数为参数（1）的泊松分布时，确定引理1超几何分布的弱极限- α） λT，或者，当总订单数为泊松分布且参数为λT，且投标订单的条件数量为二项分布且参数为N和（1-α). 该证明基于两个连续应用的极限理论，分别适用于具有随机指数的随机变量序列，第一个应用于N为假定确定性时的NN，第二个应用于N为最终假定随机变量时的NN。设VN，na超几何分布为P（VN，n=k）的随机变量=nkN-nn-KNN-N,0≤ K≤ N≤ N.Assu me（nN）是一个确定的自然整数序列，例如nnn-→N→+∞1.- α. 然后VN，NNI弱收敛于高斯分布（参见Feller，1968年，第七节7，问题10）：VN，nN- Nα（1）- α)√Nα（1）- α） d-→N→+∞N（0，1）。（10） 假设NNI是一个具有二项分布B（N，1）的随机变量- α） 和letVN=VN，nN。也让lN（s）表示nN的s分位数的上限。二项分布的标准收敛性写为：nN- N（1）- α） pNα（1）- α） d-→N→+∞N（0，1），（11）因此我们可以写：lN（s）=N（1）-α) + Φ-1（s）pNα（1）- α） +o(√N） 。让我们设定1-αN（s），lN（s）N，aN（s），NαN（s）（1）- αN（s））和bN（s），√NαN（s）（1）- αN（s））。直接计算得到：aN（s）=Nα（1- α) + (2α - 1） pNα（1）- α)Φ-1（s）+o(√N） ，（12）和BN（s）=√Nα（1）- α） +o(√N） 。

（13） 因此- Nα（1）- α)√Nα（1）- α)-→N→+∞Φ-1（s）2α- 1pα（1- α） 及bn(s)√Nα（1）- α)-→N→+∞1.因此，应用Korolev（1993）关于随机指数的随机变量序列弱收敛性的定理4，我们得到了- Nα（1）- α)√Nα（1）- α） 弱收敛于两个独立的零均值正态分布之和，一个标准偏差为1，另一个标准偏差为| 2α- 1 | pα（1- α). 通过求和方差并重新缩放，我们得到：VN- Nα（1）- α） pNα（1）- α)(1 - 3α(1 - α） ）d-→N→+∞N（0，1）。（14） 最后，假设NK是泊松分布的随机变量，参数k=λT 让lk（s）表示Nk的s分位数的上限。泊松分布的标准收敛性写为：Nk-K√杜兰特-→K→+∞N（0，1），（15）因此我们可以写：lk（s）=k+Φ-1(s)√k+o(√k） 。由于等式（14），我们得到了：Vlk（s）- lk（s）α（1）-α） plk（s）α（1）- α)(1 - 3α(1 - α） ）d-→K→+∞N（0，1）。（16） Letak（s），lk（s）α（1）- α） =kα（1）- α) +√kα（1）- α)Φ-1（s）+o(√k） ，（17）和bk（s），plk（s）α（1）- α)(1 - 3α(1 - α） ）=pkα（1- α)(1 - 3α(1 - α） ）+o(√k） 。（18） 这是yieldsak（s）- kα（1）- α） pkα（1）- α)(1 - 3α(1 - α))-→K→+∞Φ-1（s）sα（1）- α)1 - 3α(1 - α） ）（19）和BK（s）pkα（1- α)(1 - 3α(1 - α))-→K→+∞1.（20）因此，再次应用科罗廖夫（1993）的定理4，我们最终得出：Vk- kα（1）- α） pkα（1）- α)(1 - 3α(1 - α） ）d-→K→+∞N0，s1- 2α(1 - α)1 - 3α(1 - α)!, （21）通过最后一次重新缩放，完成了公关。Mendelson（1982年，方程3.1）借助于更新理论得出的简单结果，近似推导出了分布的第一时刻（但不是分布）。使用我们的符号，我们发现如果市场流动性足够（即。

λ >> 1） ，则预期交易量近似为两个独立指数变量之和的预期值的倒数，参数为αλT和（1）-α） λT，它给出α（1-α） λTand实际上是在λ较大时，在命题2中获得的平均交易量。4.价格上下限的精确和渐近分布我们现在扩展引理1，以获得可能的结算价格区间上下限的无条件分布。在引理1之后，潜在清算价格区间的下限密度条件为{A(∞) = m、 B(-∞) = n}is:fL|A(∞)=m、 B(-∞)=n（x）=（n+m）！（n）- 1)!M[F（x）]n-1[1 - F（x）]mf（x），（22），得出以下结果。提议3。在订单提交率λ、市场不平衡度α、拍卖长度T和价格分布F（与密度F绝对连续）的一般通知拍卖模型中，可能的清算价格的下限L的分布允许为任何x定义的概率密度函数fl∈ R as:fL（x）=eαλT- 1.-1.e（1）-α） λT- 1.-1f（x）+∞Xn=1[（1）- α） λT]nn！[F（x）]n-1（n）- 1)!+∞Xm=1（n+m）！[αλT]mm！[1 - F（x）]mm！（23）对称地，通过用1替换α，获得清算价格范围上界的概率密度函数fu- α和F（x）与1- F（x）在上述公式中。在这里，我们再次强调了命题中的对称结果，但进行一些计算可能会导致用单个序列来表示这些密度，例如：fL（x）=（1）- α） λT f（x）e（1-α） λtf（x）（eαλT）- 1)e（1）-α） λT- 1.H- 1+e-（1）-α） λtf（x）（24）×+∞Xn=0（（1）- α） λtf（x））nn！F（n+2,1，αλT（1- F（x）））i.图3描绘了这种分布的几个例子，显示了市场平衡α在流动和非流动市场情况下的影响。

在这些图上，人们猜测，随着市场流动性的增加，价格的上下分布都会收敛到相同的正态分布。这个结果在下一个命题中正式陈述和证明。提议4。在订单提交率λ、市场不平衡度α、拍卖长度T和价格分布F（与密度F绝对连续）的一般呼叫拍卖模型中，在非常流动的情况下，λT→ +∞, 0的上下界的分布。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00123450.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00123456789图3：几种市场不平衡值α=0.125（虚线）、α=0.25（虚线）、α=0.375（虚线）、α=0.5（完整）和几种市场流动性：λ=10（顶部）和λ=100（底部）的较低（黑色）和较高（红色）价格分布（x轴上的价格，y轴上的概率密度函数）。在这些例子中，（0，1）上的价格分布是一致的。可能的结算价格是渐近正态的，平均值为F-1(1 -α） 和标准偏差F（F-1(1 - α） ）r2α（1- α） λT.证明。引理1证明了在有条件地计算N个订单（包括N个BIDDORDERS）的总数时，较低的价格LN，nis作为随机样本的第N个统计量分布，其中sizeN根据F分布。暂时假设N是固定的，（nN）是一个整数序列，比如nnn-→N→+∞1.- α. 然后，中心阶统计量的弱收敛性（见David&Nagaraja，2003，定理10.3）表明：√N林恩- F-1(1 - α)D-→N→+∞N0，pα（1）- α） f（f）-1(1 - α))!. （25）为了简洁起见，我们现在模仿命题2的证明，省略细节。现在假设NNI按照二项分布B（N，1）分布- α).