看涨拍卖问题的精确解和渐近解

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英文标题：
《Exact and asymptotic solutions of the call auction problem》
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作者：
Ioane Muni Toke
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The call auction is a widely used trading mechanism, especially during the opening and closing periods of financial markets. In this paper, we study a standard call auction problem where orders are submitted according to Poisson processes, with random prices distributed according to a general distribution, and may be cancelled at any time. We compute the analytical expressions of the distributions of the traded volume, of the lower and upper bounds of the clearing prices, and of the price range of these possible clearing prices of the call auction. Using results from the theory of order statistics and a theorem on the limit of sequences of random variables with independent random indices, we derive the weak limits of all these distributions. In this setting, traded volume and bounds of the clearing prices are found to be asymptotically normal, while the clearing price range is asymptotically exponential. All the parameters of these distributions are explicitly derived as functions of the parameters of the incoming orders\' flows.
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中文摘要：
集合竞价是一种广泛使用的交易机制，尤其是在金融市场的开盘和收盘期间。在本文中，我们研究了一个标准的集合拍卖问题，其中订单按照泊松过程提交，随机价格按照一般分布分布，并且可以随时取消。我们计算了集合竞价的交易量分布、清算价格的上下限以及这些可能清算价格的价格范围的解析表达式。利用序统计理论的结果和具有独立随机指数的随机变量序列的极限定理，我们导出了所有这些分布的弱极限。在这种情况下，交易量和清算价格的界限是渐近正态的，而清算价格的范围是渐近指数的。这些分布的所有参数都显式地导出为传入订单流参数的函数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Exact_and_asymptotic_solutions_of_the_call_auction_problem.pdf (458.55 KB)

2022-5-6 11:17:44 上传

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关键词：distribution Quantitative Mathematical R statistics mathematica

看涨期权拍卖问题的精确和渐近解新喀里多尼亚大学——埃里姆、努美阿、新喀里多尼亚、巴黎中央经济学院——法国巴黎定量金融学院院长。本版本：2021年8月30日摘要集合竞价是一种广泛使用的交易机制，尤其是在金融市场的开盘和收盘期间。在本文中，我们研究了一个标准的集合拍卖问题，其中订单按照泊松过程提交，随机价格按照一般分布F分配，并且可以随时取消。我们计算了交易量的分布、清算价格的上下限以及这些可能的清算价格的价格范围的分析表达式。利用序统计理论的结果和具有独立随机指数的随机变量序列的极限定理，我们导出了所有这些分布的弱极限。在这种情况下，交易量和清算价格的界限是渐近正态的，而清算价格的范围是渐近指数的。这些分布的所有参数都是作为传入订单流量参数的函数显式导出的。1简介在过去的几十年里，金融市场逐步采用连续双重拍卖的形式作为主要的交易结构。在连续的双重拍卖中，交易者可以随时提交交易指令，这些指令会立即得到处理。一个集中的结构，即订单簿，存储未完成订单的列表。提交的任何买入（或卖出）订单的限价低于（或高于）最佳买入（或买入）价格，都存储在订单簿（限价订单）中。提交的任何买入（或卖出）订单，其价格高于（或低于）最佳报价（或低于）。

执行（填写）并相应修改订单簿（市场订单或交叉限价订单）。最后，订单簿中等待的任何限价订单都可以随时取消。截至今天，主要交易系统至少在主要交易日期间使用连续双重拍卖。因此，微观结构理论有大量不断增长的文献，集中于连续的双作用和顺序书模式，经验（见比亚斯·e·t等人，1995年；沙勒特和斯丁奇科姆，2001年；布乔德等人，2002年；波特和布乔德，2003年；迈克和法默，2008年等）和理论（见史密斯等人，2003年；普雷伊斯等人，2006年；康特等人，2010年；阿伯格尔和杰迪，2013年；穆尼·托克，2014年）。另见Bouchaud等人（2009年）；Chakraborti等人（2011年）查阅了一些评论材料。从20世纪80年代开始，连续双向拍卖的选择主要是在全球金融证券交易所的计算机化过程中进行的。这种选择并不明显，另一种交易机制——定期通知拍卖也有其支持者。在定期看涨拍卖中，交易订单可以连续提交，但只能使用某种清算机制，按周期填写。在拍卖期间，所有提交的订单都会被存储（并可能随时被取消），无论其提交价格是多少。然后在某个预先确定的时间结束拍卖，并将累计出价和出价计算为价格的函数。清算价格的选择是基于对这些功能的考虑，遵循一套预先商定的规则，旨在最大化交易量、最小化市场不平衡等（参见Comerton Forde&Rydge，2006a，b，清算规则示例）。

一旦计算出结算价格，所有交易都会同时进行。看涨期权拍卖机制的支持者认为，看涨期权拍卖可能有助于降低交易成本和加强价格发现（见Pagano&Schwartz，2003；Schwartz等人，2003），而且看涨期权拍卖已被用作亚利桑那州股票交易所的主要交易机制，该交易所从1990年到2001年一直在运作。还要注意的是，最近由于不受控制的算法交易而发生的交易意外引发了对集合竞价的一些新兴趣：其非连续的周期性交易时间可能会成为对抗“泡沫”的潜在解决方案，比如2010年5月6日在纽约证券交易所观察到的泡沫。截至今天，根据通常取决于交易股票流动性的规则，在不同的交易程序中使用了集合竞价。例如，集合竞价是泛欧交易所法国监管市场上交易最少的股票的主要交易机制。这些股票不是连续交易的，但实际上是通过看涨拍卖进行完全交换的，有些股票每天进行一次，大多数股票每天进行两次，上午11:30和下午4:30（泛欧交易所，2013）。一个更为人熟知的例子是，美国采用集合竞价来确定流动性股票的开盘价和收盘价，否则这些股票在整个交易日都会通过连续的双重竞价进行交易。例如，在泛欧交易所法国监管的m市场上，连续交易的流动性股票的典型交易日如下所示。交易日从开盘叫卖开始，直到上午9:00：在此之前提交的所有订单“自动记录在中央订单簿中，不会引起交易”。然后在上午9:00，进行看涨拍卖的清算，这决定了开盘价。从早上9点开始。

到下午5:30，交易按照连续双拍进行。下午5:30，开始最后的看涨拍卖。在5分钟内，提交的订单将再次“自动记录在中央订单簿中，而不会产生交易”。下午5点35分。m、 ，市场清仓，本次收盘拍卖决定收盘价。交易日以五分钟的“最后交易”结束，交易可以在收盘时进行（更多详细信息，请参见Euron ext，2013、2014）。尽管人们对集合竞价有着广泛的兴趣，但关于这一机制的文献却很少。这一领域的开创性工作归功于门德尔松（1982），在门德尔松（1982）中，这里描述的叫唤拍卖被称为“清算所”机制。这些结果后来被多莫维茨和王（1994年）用于叫卖和连续双重拍卖之间的比较，该论文在最近的论文中的引用呈上升趋势。Mendelson（1982）建立了一个叫价拍卖模型，在这个模型中，买卖订单的大小为1，价格在某个区间（0，m）上均匀分布。在假设买卖订单是具有相同参数的泊松过程的情况下，作者推导了交易量的分布以及价格分布的第一时刻。然而，在具有潜在市场不平衡的一般情况下（即，买卖订单的到达过程不同），只有通过使用渐近更新理论结果才能获得较弱的结果，即交易量和价格分布的初始和二阶矩的二阶展开。要让这些近似值被接受，主要的假设是，用门德尔森的话来说，市场必须是“厚”的，即。

非常Liqui id。因此，上述结果在非流动性市场的情况下无效，在这种情况下，在集合竞价期间没有交易发生的可能性不容忽视。在本文中，我们提供了门德尔松（1982）中描述的集合拍卖的完整解决方案，即使在这篇开创性的论文指出这种一般形式不存在的情况下也是如此。我们证明，即使在市场不平衡和一般价格分布的一般情况下，确定交易量和价格分布的问题在分析上是可以处理的。也许更重要的是，我们推导出了精确分布的严格弱极限，显示了流动性增加时交易量和价格分布的渐近正态性。类似地，可以证明，在这种情况下，结算价格范围，即结算后价差，是渐近指数分布的。论文的其余部分组织如下。在第2节中，描述了看涨拍卖，并表明，有条件地根据提交的买卖订单的数量，交易量和价格分布易于分析处理。在第三节中，我们推导了临界体积的精确条件分布，以及它在流动性增加时的弱极限。研究表明，订单的价格分布并不影响这种分布，市场不平衡（预期的买卖订单数量之间的比率）对限额分布有着不可忽视的影响。特别是使用顺序统计理论的基本结果，第4节得出了关于上下限清算价格分布的类似结果，第5节得出了关于潜在清算价格范围分布的类似结果。

标度常数也是非常重要的，取决于市场失衡以及订单的价格分布。由于所有这些结果都是在没有任何取消机制的情况下得出的，第6节显示，由于模型参数中的简单替换，所有结果都可以很容易地推广到在指数分布寿命后取消子限制项的情况。据我们所知，所有这些结果都是新的。符号：我们将在本文剩余部分使用以下（常用）符号：N（m，σ）表示正态分布，平均值为m，标准偏差为σ；Φ表示N（0,1）的累积分布；B（n，p）表示包含n次试验和成功概率p的二项分布；E（λ）d表示参数λ（均值的倒数）的指数分布；D-→N→+∞表示n趋于一致时的弱收敛性（见比林斯利，1999）；十、 表示实数x的整数部分，将用于定义平等。最后，本文中随后使用的所有随机变量和过程都假定是在某个概率空间上定义的(Ohm, F、 P）.2集合竞价和初步结果的描述让我们考虑一个标准集合竞价，用于交换给定的金融产品。根据参数λa的泊松过程，买卖订单在随机时间提交。假设所有的买卖订单都是单位大小的，并且它们的价格形成了一组独立的随机变量，这些随机变量根据某种分布F相同地分布。类似地，根据参数λB的独立泊松过程，投标（购买）订单在随机时间提交。还假设所有投标订单都是单位大小的，并且它们的价格形成一组独立的随机变量，根据分布f相同地分布。

根据相同的分布提交买卖订单的假设似乎非常基本，但门德尔森（1982）使用了这个假设，它实际上是以下分析的基础（见备注1）。这是一个纯粹的零情报假设，模型中没有关于价格的优先信息。然而，请注意，我们对F没有限制，因此它可能会容纳一系列的经验函数。在任何情况下，如果没有对callauction期间的订单安排进行进一步的经验研究，鉴于其分析潜力，不应丢弃它。市场不平衡，代表买卖提交的相对份额，因此由参数α，λAλ描述，其中λ，λA+λBis为总订单率子任务。显然，当α=时，市场是对称的。通知拍卖在时间0开始（即开始接受订单提交），并在最终时间T>0结束。为了便于说明和计算，目前不允许取消提交的交易指令，但第6节将很容易取消这一限制。看涨拍卖结束后，所有提交的订单都会被考虑在内，市场也会被清算，即确定清算价格（或交易价格，或文献中的交易价格）。在实践中，有几种类型的规则用于确定结算价格（参见Comerton Forde&Rydge，2006a，表1），其中大多数规则都是从最大化交易量开始的。对于给定的结算价格p，交易量被定义为可以以该价格匹配的股份的数量，ans等于低于p的总询价数量和高于p的总报价数量中的最小值。e不一定是交易量最大化的唯一价格，在实践中可以使用更多规则来确定非唯一价格。

然而，在这项研究中，我们的主要产出之一将是使交易量最大化的可能下跌价格范围，我们不会使用进一步的规则来确定单一价格。让我们用数学的方法重新描述一下这个描述。设A（p）为图1的累积数：结算机制结束集合竞价的示例，价格在x轴上，成交量在y轴上。请求订单A（p）的累积数量为红色，而投标订单B（p）的累积数量为蓝色。V是交易量，（L，U）是可能的结算价格范围。在时间T要求订单价格达到p。第7页→ A（p）几乎可以肯定是一个正的非递减右连续步长函数，具有单位大小的步长。类似地，B（p）是价格为p的投标订单的累积数量，p为7→ B（p）几乎可以肯定是一个正的非递增的左连续步长函数，具有单位大小的步长。有条件地(∞) , 无力的→+∞A（p）≥ 1和b(-∞) , 无力的→-∞B（p）≥ 1，即假设至少有一个买入单和一个卖出单，p是一个结算价格，当且仅当a（p）=B（p）时，交易量V最大化。由于Allorder是单位大小的，因此最大化交易量的结算价格几乎肯定不是唯一的。此外，A和B的单调性确保了可能的交换价格集是一个区间（L，U）。图2提供了详细的说明（本文后面将介绍这里使用的一些符号）。帮助我们解决一般的集合竞价问题的基本发现是，条件是随机变量(∞) B(-∞), 这表示在看涨拍卖结束时提交的买卖订单的数量，系统实际上很容易使用订单统计框架进行处理，如下面的引理所述。引理1。让（m，n）∈ （N）*). 在集合{A上有条件地(∞) = m、 B(-∞) = n} ，1。

交易量V呈超几何分布：K∈ {0，…，min（n，m）}，P（V=k|A(∞) = m、 B(-∞) = n）=mknkm+nn, （1） 交易量的分布不依赖于价格分布F；2.将交易量最大化的最低可能结算价格L作为随机样本的n-thorder统计量进行分布，样本大小为n+m，分布函数为F；3.最大化交易量的最高可能结算价格U分布为随机样本的（n+1）阶统计量，样本大小为n+m，分布函数为F。证据假设看涨拍卖已结束，且(∞) = 男和女(-∞) = n、 所有n+m阶在R.Letx上形成一组n+m（独立且相同分布）点xn+mbe这是实线上不断增加的有限点序列。让我们考虑一下这组给定的点，并决定给定的点XI是一个询问订单（m点在整个集合中应该是“询问”的）还是一个出价订单（n点在整个集合中应该是“出价”）。显然有n+mn决定这种归属的不同方式。假设最高的m个点{xn+1，…，xn+m}中的K点正好是投标订单。那一定是真的-最低n点{x，…，xn}中的k个出价订单和k个出价订单。因此，对于（xn，xn+1）中的任何p，a（p）=k=B（p）。A和B的单调性表明，在这个区间之外，我们不能有A（p）=B（p）。从今以后，交易量为k当且仅当最高m订单s中有k个出价订单s，且n- 在最低的n阶中。那里同样明显mknn-K方法，因此在等式（1）中给出了第一个结果。