线性向量优化与欧式期权定价

如果我们需要依赖ω∈ Ohm 在这些函数中，我们将写出Zωt，Wωt，Uω。上述结构（我们称之为原始结构）现在可以用以下等价形式书写（称为双重结构）；参见Roux&Zastawniak（2014）中的引理5.5:o对于每个ω∈ OhmTZωT=K+ωT上的Uω，∞ 否则这是限制在域K+ωT内的线性函数Uω。o假设Zt+1已经为一些T=0，1，T-1.然后，对于每个节点ω∈ Ohmtlet Wωt是由ω定义的凸函数族Zωt+1的凸包∈ suchω，并设Zωt为域K+ωt:Wωt=convnZωt+1:ω的限制∈ suchωo，Zωt=Wωton K+ωt，∞ 否则一旦计算出Zha，期权的要价可以得到（见Roux&Zastawniak（2014）中的定理4.4）πai（ξ）=-闵Z（x）：x∈ Rd，xi=1.这种双重结构也适用于计算机实现。取无数多面体凸函数的凸包，并将此类函数的域限制在给定的多面体凸锥上，这些操作相当于多面体凸集上的一些标准操作，这些操作在计算机软件包中广泛可用，例如Roux&Zastawniak（2014）使用的示例中的凸库。观察到，双重构造源自Roux&Zastawniak（2014）中专门针对欧式期权的引理5.5，相当于L–ohne&Rudlo off（2014）的推论6.3中的构造。唯一的区别是，双重结构用支持函数ZT和Wt表示，而L–ohne&Rudloff（2014）使用EVT（x）=-Zt（x）和Vt（x）=-为Rd中超平面上的所有x定义的Wt（x）由条件xi=1给出。两者都是对Roux等人算法4.1中所述构造的d资产的直接扩展。

（2008）就2项资产而言。3.4 SHP algorithmL–ohne&Rudloff（2014）考虑了欧洲期权定价和对冲的相同问题（尽管不是美式期权）。特别是，上述原始结构中的相同集合由L–ohne&Rudloff（2014）asSHPt（ξ）=Zt表示。这些作者提出了一种基于线性向量优化方法和几何对偶性的ZT的不同构造。从这个角度来看，S=WT可以被视为线性向量优化问题（P）的可行集。如果偿付能力锥k不包含行，这意味着任意两种货币之间存在非零交易成本，那么（P）中的矩阵P就是d×d单位矩阵，排序锥isC=Kt。线性向量优化问题（P）的上图isP=P[S]+C=Wt+Kt=Zt。由于C不包含直线，Benson算法（见Benson（1998）或Hamelet al.（2013））可用于计算对偶问题（D）的解*)因此，对应的下图像是D*. Benson算法同时给出了（P）的一个解，并给出了上面的图像P=Zt。我们从命题2.1知道，如果C不包含线，那么D*可通过支持函数Z的题词部分识别-P.由于P=Zt，因此Z=Zt是第3.3节中双重结构的函数。当偿付能力账户包含一些行时，就会出现一种复杂情况，这意味着有一些货币可以相互兑换，而不会产生任何交易成本。这是通过将P作为表示所谓清算图的矩阵来处理的，这是一个线性映射，表示清算除一项资产外的所有资产，这些资产可以在没有交易成本的情况下相互交换；关于P的精确定义，请参见L–ohne&Rudloff（2014）中的（4.1）。

在这种情况下，C=P[Kt]不包含行，因为不再有任何资产可以在没有交易成本的情况下相互交换。然后线性向量优化问题（P）的上图isP=P[S]+C=P[Wt+Kt]=P[Zt]。由于C不包含直线，因此在这种情况下，本森算法也可以用于计算对偶问题（D）的解*) 因此，相应的下限为D*. Benson算法同时给出了（P）的解，并给出了上部图像P=P[Zt]。然后给出Zt={x∈ Lt:Px∈ P} 作为P在P下的倒像。再一次根据命题2.1，因为C包含零行，所以它遵循D*可通过支持函数Z的题词部分识别-P=-P[Zt]。这与Zt有关，Zt是-Zt，由Z（x）=Zt（PTx）。4示例在本节中，我们提供了一个示例来说明第3.3节中讨论的数值过程。考虑一个涉及三个资产的模型，时间范围τ=1，时间步长T=4。其中两项资产具有相关回报的风险，并遵循Korn&M¨uller（2009）的两项资产重组模型和Cholesky分解。也就是说，在每个时间步t=0，…，股票价格St=（S，S）存在（t+1）可能性，T，索引字节对（j，j），其中1≤ j、 j≤ t+1，每个具有股票价格St（j，j）的非终端节点都有四个后续节点，与股票价格St+1（j，j）、St+1（j+1，j）、St+1（j，j+1）和St+1（j+1，j+1）关联。具有 =τTde为方便起见，股票价格由t（j，j）=Se给出R-σT+（2j）-T-2)σ√,St（j，j）=SeR-σT+（2j）-T-2） ρ+（2j）-T-2)√1.-ρσ√对于t=0，T和j，j=1，t+1，其中S=45和S=50是初始股价，σ=15%和σ=20%是回报率的波动率，ρ=20%是两种股票的对数回报率之间的相关性。

第三项资产为无风险债券，名义利率r=5%，估值Bt=（1+r）)-（T）-t） 对于t=0，T.通过允许资产价格具有恒定（成比例）的买卖价差，即买卖价格为1bt=（1），引入了比例交易成本- k） St，S1at=（1+k）St，S2bt=（1）- k） St，S2at=（1+k）St，Bbt=（1）- k） Bt，Bat=（1+k）对于t=0，T，其中k=2%，k=4%，k=1%。在每一个时间步t的交换率矩阵是πtπtπtπtπtπtπtπtπtπt=S2atS1btBatS1btS1atS2btBatS2btS1atBbtS2atBbt,SHPZ图2：超级边缘基金集合和偿付能力锥的边界为kT=coneS2at-S1bt,球棒-S1bt,-S2btS1at,球棒-S1bt,-BbtS1at,-BbtS2at.L–ohne&Rudloff（2014年，第5.2节）也考虑了该模型；请注意，本文件中对资产进行了重新排序。考虑一个实物交付和支付的交换选项ξ=（1{S1aT≥S2aT}，-1{S1aT≥S2aT}，0）在时间步T处成熟。L–ohne&Rudlo off（2014，示例5.3）报告的SHP=conv0.584-0.260-7.760,0.498-0.3310.000,0.347-0.44613.341+ K、 给出了交换期权的要价，即πa（ξ）=7.418。SHP的边界如图2所示。第3.3节producesZ=conv中原始构造的应用0.584-0.260-7.760,0.498-0.3310.000,0.399-0.4068.714,0.424-0.3886.564+ K、 从中可以计算出三种资产的交换期权的要价，即πa（ξ）=0.152，πa（ξ）=0.146，πa（ξ）=7.418。SHPZ和SHPZ之间存在实质性的一致性，这在视觉上是可以确认的（见图2），鉴于在要价πa（ξ）上的一致性，图3：下图D*与Zascribe相关的是，根据Benson算法中选择的误差水平，描述SHP和ZT规格的差异。

最后，应用双结构3.3生成支持函数Zof-Z.赛特*= {（w，w，y）：y≤ -Z（w，w，1）}是对偶问题（D）的下映像*) 选择c=（0,0,1）T。它有12个顶点48.72651.9307.081,48.72651.6817.178,45.88854.0504.981,48.72655.2015.702,45.88849.9466.048,48.72650.9557.418,48.57350.7967.395,47.76149.9467.141,46.56554.9075.012,46.81555.2014.982,46.40554.7185.018,45.88854.1084.962,如图3所示。D的最大值*y方向上为πa（ξ）=7.418。我们通过演示从初始禀赋y=（0，0，πa（ξ））T开始寻找超边缘策略y=（yt）Tt=0的过程来总结这个数值示例∈ 扎龙的价格路径如表1所示。在每个时间步t，投资组合yt（由表1中ZT边界图上的点指示）被重新平衡为aportfolioyt+1∈ （yt）- （Kt）∩ Wt Zt+1。如表1所示，对于该特定路径，集合（yt- （Kt）∩ 在时间步长t=0和t=1时，WT为单态，这意味着yt+1只有一个选择。在时间步长t=2和t=3时，该集合是一个凸多面体，yt+1的选择不再是唯一的，这意味着可以使用其他考虑因素（例如，持有一种资产的偏好，或不交易的偏好）来选择yt+1in（yt）-（Kt）∩Wt.在本演示中，我们采用了最小交易规则，即只要可能，我们就选择yt+1=yt。

在最后的时间步t=4，我们有- ξ =0.641-0.4910.000-1-1.0000.000=-0.3590.5090.000∈ K.5超边际价格的表示在本节中，我们简要介绍并比较了L–ohne&Rudloff（2014）和Roux&Zastawniak（2014）关于欧洲期权的超套期保值价格表示的结果，即支付的风险中性预期ξ：πai（ξ）=sup（Q，S）∈PiEQ（（ξTST）），（5.1），其中Pi是由满足定理3.1条件的Q下的概率测度Q和anRd值鞅S组成的对集（Q，S），且每t=0，T在L–ohne&Rudloff（2014）的定理6.1中，这一结果在Schachermayer（2004）的所谓稳健无套利条件下得到了证明，并且受制于偿付能力锥不包含任何t的线的简化假设（即，任何t的交易成本都不为零）。他们的证明基于Hamel&Heyde（2010）关于超边缘投资组合集双重代表性的标度化过程。相比之下，Roux&Zastawniak（2014）的结果不受这些限制：它是在第3.1节中定义的无套利机会的假设下工作的，该假设弱于稳健的无套利条件，且无需假设偿付能力不包含任何额度。这也是适用于美式衍生品的一个更为普遍的结果，对于欧式期权，这一结果降至（5.1）。

该证明基于第3.3节中的对偶构造，它实际上可以用来产生一对（Q，S）来实现（5.1）中的上确界（尽管一般来说，这样的一对不存在于Pias中），Q可能是退化测度，相对于P是绝对连续的，但不一定等同于P）。6结论我们已经建立了一个紧密的联系，事实上，这三种方法之间是等价的：上述原始和对偶构造，以及L–ohne&Rudloff（2014）的SHP算法。原始构造只涉及原始对象。双重构造专门处理双重对象（支持函数）。同时，SHP算法在原始对象和双重对象之间来回切换（在这种情况下，双重问题的较低图像（D*)). 根据命题2.1，这两种类型的双重对象是一一对应的，这意味着算法之间的明显差异是微不足道的。此外，这三种方法都适合于数值实现：原始结构和双重结构利用了可用的软件库fort（j，j）ytZt（yt）- （Kt）∩ Wt0（1,1）0.0000.0007.4180.498-0.3310.0001 (2,1)0.498-0.3310.0000.641-0.4910.0002 (2,1)0.641-0.4910.0003 (3,2)0.641-0.4910.0004 (3,2)0.641-0.4910.000N/ATable 1：沿着路径处理凸集的超边缘策略，而SHP算法创新地使用了Benson的过程。在这两种方法中，限制计算效率的程序都是顶点枚举。Benson算法的一个优势是能够通过选择错误级别来控制精度与效率。

另一方面，Roux&Zastawniak（2014）使用的Maple package Convergent采用了有理数的精确算法，因此除了将输入数据从实数转换为有理数（根据需要精确）之外，没有任何进位。虽然精确的有理数算法会带来巨大的计算开销，但原始算法和对偶算法是有效的，因此这在已研究的实际多步骤和多组件样本中不会成为问题，在标准PC机上，计算时间约为几分钟。与SHP算法方法相比的一个主要区别是，Roux&Zastawniak（2014）针对更广泛的美式选项开发了原始和对偶结构，并且可以处理早期练习问题。在这种情况下，欧洲期权是一个特殊的系统性远期特例。L–ohne&Rudloff（2014）的HP算法是否可以扩展到美式期权，至少在对冲和定价卖方头寸的情况下，这仍然是一个悬而未决的问题。看到这一切会很激动人心。另一方面，对SHP算法的期望是有限的。美国的选择带来了一个特别的障碍，这种方法不太可能克服。也就是说，在套期保值和定价的情况下，买方（而不是卖方）在美式期权中的头寸会导致非凸优化问题，这不太可能屈服于线性向量优化方法和几何对偶的力量。出于同样的原因，双重结构会崩溃，因为首先没有凸面双重对象可以工作。尽管如此，原始结构仍然可以用来处理这个案件；详见Roux&Zastawniak（2014）中的示例7.1。参考Bagnara，R.，Hill，P.M.和Zaffanella，E。

（2008），“帕尔玛多面体库：为硬件和软件系统的分析和验证提供一套完整的数值抽象”，计算机编程科学72（1-2），3-21。Benson，H.P.（1998），“在多目标线性规划问题的结果集中生成所有有效极值点的外部近似算法”，全球优化杂志13（1），1-24。Franz，M.（2009），《凸面——凸面几何的枫叶包》。网址：http://www.math.uwo.ca/~mfranz/convex/Hamel，A.H.，L–ohne，A.和Rudloff，B.（2013），用于线性向量优化的Benson型算法及其应用。ar5v3.241。Hamel，A.和Heyde，F.（2010），“集值风险度量的对偶性”，金融数学学院学报1（1），66-95。Heyde，F.（2013），“凸向量优化问题的几何对偶性”，凸分析杂志20（3），813–832。Heyde，F.和L–ohne，A.（2008），“多目标线性规划中的几何对偶”，暹罗优化杂志19（2），836–845。IRISA（2001），Polylib–多面体函数库。网址：http://www.irisa.fr/polylib/Kabanov，Y.M.（1999），“交易成本引发市场下的对冲和清算”，金融与随机3，237-248。卡巴诺夫，Y.M.，R\'asonyi，M.和Stricker，C.（2002），“具有充分摩擦的金融市场的无套利标准”，金融与随机6，371-382。Kabanov，Y.M.和Stricker，C.（2001），“交易成本下的Harrison-Pliska套利定价定理”，《数学经济学杂志》35，185–196。Korn，R.&M¨uller，S.（2009），“多资产期权二项式定价的解耦方法”，计算金融杂志12（3），1-30。Le Verge，H.（1992），关于Chernikova算法的注释，出版物interne 635，伊里萨，雷恩。洛纳，V。

（2010），PolyLib：多面体函数库。网址：http://icps.u-strasbg.fr/polylib/L¨ohne，A.（2011），向量优化，带最小和上下限，Springer。L–ohne，A.&Rudloff，B.（2011），一种计算具有交易成本的市场中超级对冲投资组合和策略集的算法。arXiv:1107.5720v2。L–ohne，A.和Rudloff，B.（2014），“计算具有交易成本的市场中超边际投资组合集的算法”，理论与应用金融国际期刊17（2），1450012–1–1450012–33。Luc，D.T.（2011），“关于多目标线性规划中的对偶性”，欧洲运筹学杂志210（2），158-168。Rockafellar，R.T.（1996），《凸分析》，普林斯顿大学出版社，普林斯顿数学和物理里程碑。Roux，A.，Tokarz，K.和Zastawniak，T.（2008），“按比例交易成本下的期权：定价和对冲的算法方法”，应用数学学报103（2），201–219。Roux，A.和Zastawniak，T.（2014），按比例交易成本下货币市场中的美国和百慕大期权。arXiv:1108.1910v3。Schachermayer，W.（2004），“有限离散时间内资产定价低于比例交易成本的基本定理”，数学金融14（1），19-48。王尔德·D·K.（1993），《多面体操作图书馆》，雷恩斯伊里萨，拉普拉特·德里切切2157。