线性向量优化与欧式期权定价

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Linear vector optimization and European option pricing under
  proportional transaction costs》
---
作者：
Alet Roux and Tomasz Zastawniak
---
最新提交年份：
2014
---
英文摘要：
  A method for pricing and superhedging European options under proportional transaction costs based on linear vector optimisation and geometric duality developed by Lohne & Rudloff (2014) is compared to a special case of the algorithms for American type derivatives due to Roux & Zastawniak (2014). An equivalence between these two approaches is established by means of a general result linking the support function of the upper image of a linear vector optimisation problem with the lower image of the dual linear optimisation problem.
---
中文摘要：
将Lohne&Rudloff（2014）提出的基于线性向量优化和几何对偶的比例交易成本下的欧式期权定价和超边际化方法与Roux&Zastawniak（2014）提出的美式衍生品算法的特例进行了比较。这两种方法之间的等价性是通过将线性向量优化问题的上图像的支持函数与双线性优化问题的下图像联系起来的一般结果来建立的。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

---
PDF下载：
--> Linear_vector_optimization_and_European_option_pricing_under_proportional_transa.pdf (528.12 KB)

2022-5-6 11:45:00 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：欧式期权 期权定价 Optimisation Optimization proportional

比例交易成本下的线性向量优化与欧式期权定价*Tomasz Zastawniak+2018年8月22日摘要基于线性向量优化和几何对偶的比例交易成本下的欧式期权定价和超边缘化方法由L¨ohne&Rudloff（2014）开发，与Roux&Zastawniak（2014）提出的美式衍生品算法的特殊情况进行了比较。这两种方法之间的等价性是通过将线性向量优化问题的上图像的支持函数与对偶线性优化问题的下图像联系起来的一般结果来建立的。1导言我们比较了在存在比例交易成本的情况下，欧式期权计算定价和超边际的两种现有方法，并研究了它们之间的关系，强调了它们的相似性、差异性和相对优势。其中一种方法基于第3.3节中所述的primaland对偶构造，可以追溯到Roux、Tokarz&Zastawniak（2008）和Roux&Zastawniak（2014），在那里它是为更一般的美式衍生证券而开发的，其中欧洲期权是一种特例。另一种方法依赖于线性向量优化和几何对偶，由L–ohne&Rudloff（2014）提出，并由他们命名为SHP算法；见第3.4节。作为一个副产品，我们证明了一个一般结果，即一方面线性向量优化问题的上图像的支持函数与另一方面双线性向量优化问题的下图像之间建立了一对一的对应关系；见提案2.1。

这一结果提供了定价和超边缘欧式期权两种方法之间的联系，它本身也很有趣。我们在卡巴诺夫（1999）货币兑换市场的一般模型中工作，以兑换率买卖价差的形式包含比例交易成本。例如，卡巴诺夫和斯特里克（2001）、卡巴诺夫、拉索尼和斯特里克（2002）和沙切梅耶（2004）对该模型进行了广泛的研究。*约克大学数学系，Heslington，YO105DD，英国。电子邮件：alet。roux@york.ac.uk.+约克大学数学系，英国约克郡赫灵顿，约克郡约克郡。电子邮件：tomasz。zastawniak@york.ac.uk.All三种算法，原始结构、对偶结构和SHP算法非常适合计算机实现。对于原始和双重构造，这是由Roux&Zastawniak（2014）在Franz（2009）开发的Maple软件包的帮助下完成的。为了实现SHP算法，L–ohne&Rudloff（2014）使用了Benson的线性矢量优化技术；见Benson（1998），Hamel，L–ohne&Rudloff（2013）。Weillustrate通过primaland对偶构造计算的数值示例来说明结果，并将其与采用SHP算法的byL–ohne&Rudloff（2014）给出的类似示例进行比较。最后，我们建议将SHP算法扩展到美式期权中卖方（空头）头寸的对冲和定价，并指出由于问题的本质非凸性，美式期权中买方（多头）头寸的对冲和定价存在固有困难。2.一般对偶结果在这一节中，我们给出了一个简单的观察结果，将线性向量优化中的支持函数与对偶性联系起来。Luc（2011）的相关工作为支持功能和二元性之间的联系提供了进一步的见解。

这一结果将被证明有助于比较以下章节中的各种定价和对冲算法。对于圆锥体C Rqwe定义了部分订购≤Con Rqbyy≤Cz<==> Z- Y∈ C表示C+C的双（或正极）圆锥，即C+=十、∈ Rq:xTy≥ 0Y∈ C.在下面的内容中，我们假设C是一个多面体圆锥体，具有非空介质，并且存在一些C∈ cq=1的int C。假设matricesP∈ Rq×D B∈ Rm×d和a向量b∈ 给出了R，并考虑了线性向量优化问题关于≤封面x∈ S、 （P）具有可行集={x∈ Rd:Bx≥ b} 。问题（P）的上图是setP=P[S]+C。问题（P）的对偶问题是D最大化*（u，w）关于≤科弗（u，w）∈ T、 （D）*)其中线性算子D*: Rm×Rq→ RQI定义的asD*（u，w）=（w，…，wq）-1，bTu）t用于（u，w）∈ Rm×Rq，其中K=cone{eq}表示eq=（0，…，0，1）∈ Rq，和withT={（u，w）∈ Rm×Rq:u≥ 0，BTu=PTw，cTw=1，w∈ C++。问题（D）的下方图像*) 设定好了吗*= D*[T]- K.我们现在陈述并证明了一个一般结果，该结果与下面的图像D有关*of（D）*) 具有支持功能-P、 其中P是（P）的上象。支持函数Z:Rq→ R of-P定义为（参见Rockafellar 1996，第28页）Z（x）=supxTz:z∈ -P为了所有的x∈ Rq。请注意，Z（x）是相对于加权向量x的P的标量化的负值（参见L–ohne 2011，第4.1.1节）。因此，以下结果可以被视为通过P命题2.1的标量化族对强几何对偶性的重新表述（见L¨ohne 2011，定理4.40，4.41）。如果C不包含行，即如果C∩ (-C） ={0}，然后*=（w）∈ Rq:-wq≥ Zw。wq-1, 1 -Q-1Xi=1ciwi！），（2.1）Z（w）=-啜饮Y∈ R:cTw（w，…，wq）-1，y）∈ D*如果cTw>0，如果w=0，∞ 否则（2.2）证据。如果C不包含直线，则L–ohne（2011）的定理4.40和4.41（另见Hamel等人。

2013年，注释3.7）给出*= {w∈ Rq:~n（y，w）≥ 0Y∈ P} ，式中，双向耦合函数：Rq×Rq→ R被定义为φ（y，w）=q-1Xi=1yiwi+yq1-Q-1Xi=1ciwi！- wqfor（y，w）∈ Rq×Rq。该函数首先由Heyde&L¨ohne（2008）为特例c=（1，…，1）Tb引入，由L¨ohne&Rudloff（2014）为一般c引入。观察以下情况：φ（y，w）≥ 0代表一切∈ P当且仅当-wq≥Q-1Xi-1yiwi+yq1-Q-1Xi=1ciwi！尽管如此∈ -P、 也就是说，当且仅当-wq≥ sup（q）-1Xi-1yiwi+yq1-Q-1Xi=1ciwi！：Y∈ -P） =Zw。wq-1, 1 -Q-1Xi=1ciwi！。这证明了（2.1）。现在接受任何w∈ rdw，使cTw>0。然后-Y≥ Z（w）相当于-ycTw≥ ZwcTw因为支撑函数是正齐次的。通过（2.1），最后一个不等式反过来等价于tocTw（w，…，wq）-1，y）∈ D*.这表明z（w）=-sup{y∈ R:-Y≥ Z（w）}=-啜饮Y∈ R:cTw（w，…，wq）-1，y）∈ D*当cTw>0时。如果w=0，则Z（w）=0，由支持函数定义。最后，取任意w6=0，使cTw≤ 0.自从c∈ int C，ε>0，这样C- εw∈ C.因此（C）- εw）Tw=cTw- εwTw<0，因为wTw>0。对于任何固定的x，P=P+C∈ 对于每个λ>0，我们有x+λ（c）- εw）∈ P.因此，根据支持函数的定义，Z（w）≥ -（x+λ（c）- εw）Tw=-xTw- λ（c）- εw）tw，每个λ>0。自（c）- εw）Tw<0，这意味着Z（w）=∞, 完成（2.2）的证明。备注2.2。根据命题2.1，D*=（w，…，wq）-1，y）∈ Rq:（w，y）∈ -epi Z，cTw=1, （2.3）如此*可以通过圆锥体的截面来识别-超平面{（w，y）的epi Z∈ Rq+1中的Rq×R:cTw=1}。凸集D*（取决于c）捕捉到与支持函数Z相同的信息。考虑到Z独立于c的任意选择，这一点非常显著。还要注意（2.3）和Heyde（2013，p。

828）在更一般的设置中显示双图像。本节以一个简单的例子结束。例2.3。假设是这样=1.-11 1, B=2 11 21 00 1, b=, C=圆锥体-3.,,fix c=（0,1）T∈ 对于这个数据，我们有p={（z，z）∈ R:z≥z+4，z≥ z、 z≥ -z+4}，D*= {（w，y）∈ R:-1.≤ W≤, Y≤ 4，y- 6w≤ 6} （完整细节见L–ohne&Rudloff 2011，示例6.4）。集合P和D*如图1所示。支持函数Z在其有效域上是有限的，有效域由向量w组成∈ 像这样的xTw≤ 每x 0∈ -P、 索多玛Z={w∈ R:Z（w）<∞} = {（w，w）∈ R:w≥ -w、 w≥ 3w}。每个w∈ domz线性函数x7→ xTw在一个极值点（0，-4), (-6.-6） 凸集的性质-P、 亨塞兹（w）=sup{xTw:x∈ -P} =最大值{-4w，-6w- 6w}。Z-6 6zPw--1码*图1：示例2.3中的上部和下部图像这意味着{（w，y）∈ R:（w，y）∈ -epi Z，cTw=1}={（w，y）∈ R:y≤ -Z（w，w），（w，w）∈ domz，w=1}={（w，y）∈ R:y≤ -Z（w，1），-1.≤ W≤}= {（w，y）∈ R:y≤ 4，y≤ 6w+6，-1.≤ W≤} = D*.这表明*与-超平面{（w，y）的epi Z∈ R×R:cTw=1}={（w，w，y）∈ R:w=1}.3欧式期权的定价和套期保值低估了交易成本3。1货币模型该模型基于过滤概率空间(Ohm, F、 P；（英尺）Tt=0）。我们假设Ohm 最后，F={, Ohm}, FT=F=2Ohm对于所有ω，P（ω）>0∈ Ohm. 对于每个t，表示为Ohmt Ft的原子集合，称为相关股票价格树模型的时间t节点。注意Ohm= {Ohm} 和OhmT={w}：ω∈ Ohm}. 对于每个t<t a节点∈ Ohmt+1据说是一个节点的成功者∈ Ohmtifν u. 我们代表所有人∈ Ohmtsuccu={ν∈ Ohmt+1:ν是u}的后继者。对于每个t，让Lt=L（Rd；Ft）为Ft可测量的Rd值dRandom变量的集合。

我们确定了LTC的元素和功能Ohm非常方便。我们考虑了卡巴诺夫（1999）提出的离散时间货币模型，以及其他人的研究。该模型包含d资产或货币。在每个交易日t=0，1，T每个资产的一个单位k=1，d可以通过交换πjkt>0单位的资产j=1，d、 我们假设所有t和j，k的交换率πjktar是可测量的，πjjt=1∈ LTC可以被转换成一个投资组合y∈ 当存在Ft可测量的随机变量βjk时，在时间t处≥ 0，j，k=1，d使得对于所有k=1，dyk=xk+dXj=1βjk-dXj=1βkjπkjt，其中βjk表示由于交换了资产j的某些单位而收到的资产k的单位数。偿付能力锥Kt LTI是在时间t时有偿付能力的投资组合集合，即在时间t时可转换为持有所有d资产的非负资产的投资组合。很容易证明K是由正则基e生成的凸锥，edof-rdj与向量πjktej- 对于j，k=1，d、 这是一个多面体圆锥体。请注意，KT包含Lt的所有非负面因素。自我融资策略y=（yt）Tt=0是一个可预测的Rd价值过程（即y∈ 陆地yt∈ 书信电报-1对于t=1，T）如此- yt+1∈ 对于所有t=0，T- 给你∈ Lis是最初的捐赠，yt∈ 书信电报-1对于每个t=1，是从时间T开始持有的投资组合吗- 1到t。让Φ成为一套自我融资策略。自我融资策略y=（yt）∈ Φ被称为套利机会ify=0，存在投资组合x∈ LT\\{0}持有非负资产，如yT- 十、∈ KT。

Schachermayer（2004）考虑了这种套利的概念，它的缺失在形式上是不同的，但相当于Kabanov&Stricker（2001）引入的弱无套利条件。定理3.1（Kabanov&Stricker（2001），Schachermayer（2004））。当且仅当存在一个与P等价的概率测度qe和一个Rd值Q-鞅S=（St）这样的St时，该模型才允许无套利机会∈ K+t\\{0}对于所有t，（3.1），其中K+t是Kt的对偶锥。备注3.2。满足定理3.1条件的对（Q，S）称为一致定价对。可以等效地使用所谓的一致价格过程步骤（dQdP | Ft）来代替这一对（Q，S）；参见Schachermayer（2004）。3.2欧式期权到期时间T>0且付息ξ的欧式期权∈ LTI是一种合同，赋予其持有人（即期权买方）在T时获得货币组合ξ的权利。另一方面，期权的作者（卖方）有权将该投资组合交付给买方。为了避免这种责任，作者可以遵循一种自我融资策略∈ Φ以至于- ξ ∈ KT。这种策略y的初始捐赠Yo被称为超级边缘投资组合，而策略y本身被称为欧式期权ξ的超级边缘策略。欧式期权的要价（卖方价格、超边际价格）πai（ξ），货币i=1，d可以理解为最低值x，因此由x个单位的货币i和没有其他货币组成的投资组合是ξ的套期保值投资组合。换句话说，πai（ξ）=min十、∈ R:Xeis是ξ的一个超级边缘投资组合.另一方面，为了对冲自己的头寸，期权买家希望采用一种自我融资策略∈ Φ使得yT+ξ∈ KT。

在这里-Yi是期权买方可以在时间0借入的货币组合，并且可以通过遵循策略y并使用在时间T行使期权时获得的收益ξ进行结算。我们打电话-你把左舷的左舷-y欧洲期权的分档策略ξ。欧洲期权的投标价格（买方价格、分包价格）πbi（ξ），货币i=1，d可以理解为最高值x，因此由x个单位的货币i和其他货币组成的投资组合是ξ，πbi（ξ）=max的次级投资组合十、∈ R:Xeis是ξ的子边缘投资组合.这是期权持有人通过使用期权作为抵押品所能筹集到的最高金额。注意-y是欧式期权的次边缘策略ξ当且仅当y是欧式期权的超边缘策略时-ξ. 紧接着πbi（ξ）=-πai(-ξ).由于这些关系，有必要开发算法，对欧式期权中卖方（空头）头寸进行筛选和定价。3.3原始结构和双重结构本文给出的欧式期权结构是Roux&Zastawniak（2014）开发的一个特例，用于在比例交易成本下对更广泛的美式期权进行对冲和定价。在Roux&Zastawniak（2014）中，构造4.2产生了一套超边缘投资组合，在这种特殊情况下，它采用了一种特别简单的形式：o对于每个ω∈ OhmTputZωT=ξω+KωT.o如果已经为一些T=0，1，…，构造了Zt+1，T-1，那么foreachω∈ OhmtputWωt=\\ω∈succyωZωt+1，Zωt=Wωt+Kωt（将其与Roux&Zastawniak（2014）中的构造4.2联系起来）观察到Wt的公式可以简洁地写成Wt=Zt+1∩ Lt.）对于每个t，集合ZT包括所有投资组合，允许卖方通过在t和t之间遵循自我融资策略来对冲期权。

特别是，Zis是一组超级边缘投资组合。期权的要价可以用Zasπai（ξ）=min表示十、∈ R:xei∈ Z. （3.2）上述构造涉及多面体凸集的两个标准运算，即多个此类集合的交集以及此类集合与多面体凸锥的代数体。这两种操作都可以使用现有软件库中的标准几何方法来实现，例如，帕尔马多面体库（Bagnara，Hill&Zaffianella 2008）和PolyLib（Le Verge 1992，Wilde 1993，IRISA 2001，Loechner 2010等）。当以这种方式计算出集合Zof超边际投资组合时，使用（3.2）评估期权价格πai（ξ）就成了一项常规任务。Roux&Zastawniak（2014年）通过使用Maple软件包（Franz 2009年）在有交易成本的货币市场上对欧洲期权（以及更普遍的美国式期权）进行套期保值和定价，提供了这一程序的数值实现。此外，一旦构建了ZTY，就可以直接从任何超级边缘投资组合y开始计算超级边缘策略∈ Z.也就是说，如果yt∈ Zt已经计算了一些t=0，1，T-1，我们可以做yt+1∈ （yt）- （Kt）∩Wt.由于Zt=Wt+Kt，交叉点是非空的，因此始终可以找到这样的yt+1，尽管它可能是非唯一的。自融资条件yt- yt+1∈ KT显然令人满意。此外，由于WT=Zt+1∩ 因此，yt+1是Ft可测量的，所以以这种方式构建的y将是一个可预测的过程。也就是说yt+1∈ Zt+1，这使得迭代过程成为可能。也可以使用凸对偶对象跟踪Zt的构造。我们介绍了支持函数szt（x）=supxTz:z∈ -Zt, Wt（x）=supxTz:z∈ -Wt线性函数u（x）=-xTξ为所有x定义∈ 路。