线性有理函数不确定性的有限平衡集

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英文标题：
《A finite set of equilibria for the indeterminacy of linear rational
  expectations models》
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作者：
Jean-Bernard Chatelain, Kirsten Ralf
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This paper demonstrates the existence of a finite set of equilibria in the case of the indeterminacy of linear rational expectations models. The number of equilibria corresponds to the number of ways to select n eigenvectors among a larger set of eigenvectors related to stable eigenvalues. A finite set of equilibria is a substitute to continuous (uncountable) sets of sunspots equilibria, when the number of independent eigenvectors for each stable eigenvalue is equal to one.
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中文摘要：
本文证明了在线性理性期望模型不确定性的情况下，平衡点集的存在性。平衡点的数量对应于在与稳定特征值相关的更大特征向量集合中选择n个特征向量的方法的数量。当每个稳定特征值的独立特征向量数等于一时，有限的平衡集可以替代连续（不可数）的太阳黑子平衡集。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> A_finite_set_of_equilibria_for_the_indeterminacy_of_linear_rational_expectations.pdf (93.43 KB)

2022-5-6 11:46:49 上传

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关键词：不确定性 确定性 不确定 Eigenvectors Expectations

Jean-Bernard Chatelain模型线性理性透视不确定性的有限平衡集*和Kirsten Ralf+2021年6月15日摘要本文证明了在线性理性预期模型不确定性的情况下，存在一组有限的均衡。平衡数对应于在与稳定特征值相关的更大特征向量集合中选择n个特征向量的方法数。当每个稳定特征值的独立特征向量的数量等于1时，有限的平衡集可以替代连续（不可数）的太阳黑子平衡集。JEL分类号：C60、C61、C62、E13、E60。关键词：线性理性预期模型、不确定性、多重均衡、里卡蒂方程、太阳黑子。”“这是一本关于母校的书，它是一本关于母校的书。”Rado n（1928）p.190.1引言这篇论文证明，在线性理性预期模型不确定性的情况下，存在一组有限的理性预期序列库，它是不可数（连续有限）太阳黑子集的替代品*巴黎索邦万神殿大学巴黎经济学院，CES，索邦经济中心，l\'H^opital大道106-112号，75647巴黎Cedex 13。电子邮件：jean bernard。chatelain@univ-巴黎1。fr+ESC国际商学院，巴黎圣米歇尔大道10号，75015，电子邮件：Kirsten。Ralf@es总工程师。fr.平衡（Go-ur-iero-ux等人（1982年））。当每个稳定特征值的独立特征向量数等于一时，尤其是当所有稳定特征值都不同时，就会出现这种情况。

本文将Blake和Kirsanova（2012）关于时间一致性最优规则的结果推广到Blanchard-Kahn（1980）解的一般情况。Blanchard和Kahn（1980）指出，当预定变量的数量n低于绝对值1的特征值的数量时，存在具有理性预期（或不确定性）的多重均衡。在这种情况下，非预先确定的“正向”变量的数量m的初始值可能由零均值的连续随机变量驱动，随时间独立且相同地分布（Gourieroux等人（1982））。除了太阳黑子平衡的连续性外，将saddlepath唯一理性预期平衡（Blanchard和Kahn（1980）、Boucekkine和Le Van（1996））的计算扩展到多重平衡的情况也是可行的。这些理性预期平衡是amatrix Riccati方程（Radon（1928）、Le Van（1986）、Abou Kandil等人（2003））的解。这篇论文证明了存在一系列的平衡，最多等于tos！N（s）-n） ！。这是指当每个特征值只有一个独立的特征向量时，在与绝对值小于1的特征值相关的一组特征向量中选择n个不同特征向量的方法。2具有不确定性的有限平衡集Blanchard和Kahn（19 80）考虑线性大鼠预期模型：kt+1tqt+1=安纳曼纳姆|{z}Aktqt+ γzt（1），其中kT是在t处预先确定的变量的（n×1）向量，初始条件为kgiven（冲击可直接包含在该向量中）；q是t处非预定变量的（m×1）向量；z是外生变量的（k×1）向量；A是（n+m）×（n+m）矩阵，γ是（n+m）×k矩阵，tqt+1的预期定义如下：tqt+1=Et（qt+1p）Ohmt） 。

(2)Ohm这是t日的信息集（它包括所有内生变量的过去值和当前值，也可能包括外部变量的未来值）。一个预定变量是仅由日期tso已知的变量构成的函数，即kt+1=tkt+1，无论变量在何处实现Ohmt+1。一个非预定变量可以是任意变量的函数Ohmt+1，因此我们可以得出结论，只有当所有变量的实现Ohmt+1等于他们的期望值，条件是Ohmt、 政策制定者一阶条件的边界条件是预定变量的给定初始条件，kand Blanchard and Kahn（1980）假设排除了NSW=（k，q，z）的指数增长：T∈ Nwt∈ Rk，θt∈ R、 使| Et（wt+1pOhmt） |≤ （1+i）θ行波管，我∈ R+。（3） 定义：除了其他太阳黑子平衡（Gourieroux et al.[1982]），让我们定义一组理性预期解，这样非预定变量是预定变量的线性函数，其中矩阵Nmnis将被找到，并且具有预定变量的有界解，因此矩阵Ann的特征值λiof-ANMNMN低于1（“稳定特征值”）：qt+1=-Nmnkt+1（4）kt+1=（人工神经网络）- AnmNmn）kt（5）λ（Ann）- AnmNmn）=|λi |<1的{λi，i∈ {1，…，n}（6）命题：A有s个稳定的eig值和n+m- 不稳定的特征值。案例1。当0≤ s<n，稳定特征值的数量严格低于n个预先确定的变量，没有合理的预期Sequilibrium（Blanchard and Kahn（1980））。案例2。当s=n时，s表特征值的数量严格等于预定变量的数量，存在唯一的理性预期Sequilibrium（Blanchard and Kahn（1980））。案例3。

当n<s时≤ n+m，通过选择n个独立（右列）特征向量的方法的数量，可以确定上述合理预期的数量PnnPmn在与稳定特征值相关的一组较大的独立特征向量中。如果pn是可逆的，则它们对应于每个矩阵Nmn=-PmnP-1nn：案例3.1。有限个平衡点。如果A的每一个稳定eige n值的独立向量（几何重数）的个数正好是一，则平衡点的个数由s！Ns其中，不计算其倍数的稳定值的数量表示为s≤ s、 具体来说，如果A的所有稳定eig值都是不同的，那么平衡点的数量！Ns案例3.2。不可数的平衡数。如果A至少有一个稳定的特征值，且其独立特征向量（几何重数）的数量至少等于2，则始终存在不可数个平衡点。这种不可数平衡的条件不同于Gourieroux等人（1982）。例如，对于n=1，m=1，并且具有唯一稳定的特征值λ和两个独立的列向量P=（P，P），t这里是单个特征向量Pα=P+αP与α的不可计数数∈ C导致溶液nmn，α=-中性粒细胞，αP-1nn，α。对于n=2，m=1，包括重数等于1的另一个特征值λ和表示为P的特征向量，存在n=2列特征向量（P，P）和不可计数的n=2个特征向量矩阵P3α=（P，Pα）和α的情况∈ C允许计算解Nmn=-PmnP-1nn（参见inAbou-Kandil等人给出的n=2、m=2的数值示例）。

（2003）第25页）。证据：让我们考虑一个矩阵Nmnsuch：kN，tqN，t=因姆-NmnImktqt和T=因姆-NmnIm和T-1=因姆尼姆（7） 以便：千牛，t+1qN，t+1=因姆尼姆安纳曼纳姆因姆-NmnImkN，tqN，t千牛，t+1qN，t+1=安- ANMNANMG（Nmn）Amm+NmnAnmkN，tqN，t其中（8）g（Nmn）=Amn+AmmNmn- NmnAmm- NmnNaMnMn=0mn（9）g（Nmn）=0mn=Nmn/t是一个矩阵方程，包括一个常数、两个线性项和一个二次项NmnMnMnMn，Radon（1928）将其表示为标量Riccati微分方程的mat r ix Riccati扩展。如果Nmn是一个常数系数为g（Nmn）=0mn的解，那么矩阵a的特征多项式是两个特征多项式的乘积，即det（T）=1=det（T）-1） ：det（A）-λIn+m）=det（Ann- 安曼-λIn）·det（Amm+NmnAnm-λIm）=0（10）每个解Nmnof g（Nmn）=0mn对应于矩阵a的特征值的特定划分，因为其特征值正是Ann的特征值- AnmNmn（n个特征值计数重数）和Amm+NmnAnm（m个特征值计数重数）。矩阵的Jordan正则变换和右特征向量的矩阵是：安纳曼纳姆PnnPnmPmnPmm=PnnPnmPmnPmmJnnmmnJm（11） 其中Jnnis是一个具有Ann特征值的n×n乔丹矩阵-ANMNMN和Jmmis是一个m×m Jorda n mat r ix，特征值为Amm+NmnAnm。其中之一是：安- Anmnmnanmmnam+Nmnnam因姆-NmnImPnnPnmPmnPmm=因姆-NmnImPnnPnmPmnPmmJnnmmnJm（12） 这意味着：（安- AnmNmn）Pnn+Anm（Pmn）- NmnPnn）*（Amm+NmnAnm）（Pmn）- NmnPnn）*=PnnJnn*（Pmn）- NmnPnn）Jnn*（13） 因为Amm+NMN的特征值不是JNN的特征值，所以（Pmn- NmnPnn）不能叠加Amm+NmnAnm的特征向量（每个特征向量通过定义与零向量不同）。然后，块矩阵（i=2，j=1）的第二等式是有效的：（Amm+NmnAnm）（Pmn）- NmnPnn）=（Pmn- NmnPnn）Jnn（14）仅当Pmn- NmnPnn=0。

然后，如果pn是可逆的，我们会发现解Nmn=-PmnP-1nn。根据理性预期平衡定义，需要找到至少n个稳定特征值，并使用一组n列特征向量计算nPnnPmn与这些稳定的特征值有关。然后，通过选择n个独立（右列）特征向量的方法数给出理性期望平衡数PnnPmn与稳定特征值有关≥ n、 最后，块矩阵（i=1，j=1）的第一个等式f变为：- 因此，矩阵Pnn是矩阵Ann的特征向量矩阵-安曼。Q.E.D.类似的转置矩阵证明适用于左行特征向量QmnQmmQ=P时-1与稳定特征值相关的一组s>n行特征向量中的一个。如果Qmmis可逆，则可以找到解nmn=-PmnP-1nn=Q-1mmQmn。3结论在每个周期都存在一组有限的理性预期均衡（当每个稳定特征值的独立特征向量数等于一时）。对于在给定周期内具有给定特征向量集的选定均衡，需要假设经济主体在每个周期内选择相同的特征向量集。在这种情况下，经济主体在每个时期以时间一致的方式遵循相同的过程来塑造他们的理性预期。参考文献[1]Abo u-Kandil H.，Freiling G.，Jank G.，Ionescu V.[2003]。控制与系统理论中的矩阵方程。Birkh–auser Verlag，SpringerScience and Business Media，巴塞尔。[2] Blake A.P.和Kirsanova T.[2012]。LQ-RE模型中的自由裁量政策和多重平衡。《经济研究综述》，79，第13091339页。[3] Blake A.P.[2004]。线性有理期望模型的解析导数。《计算经济学》，24，第77-9页。[4] 布兰查德·O.J.和卡恩·C.[1980]。

线性微分模型在随机期望下的解。《计量经济学》，4 8，第1305-1311页。[5] Boucekkine R.和Le Van C.[19 96]。检查鞍点稳定性：一个简单的测试，计算经济学，9317-3301996。[6] Gourieroux C.，La offont J.J.和Monfor t A.[198 2]。动态线性模型中的比率预期：解的分析。《计量经济学》，第50页，第40页，第9-425页。[7] Le Van C[1986]。宏观经济模型中的平稳不确定性前沿：求解矩阵Riccati方程的方法，经济动力学和控制杂志，10（1-2），第225-2 29页。[8] Radon J[1928]。Zum Problem von Lagr ange，Vier Vortr¨age，德国汉堡大学数学研讨会的Gehalten，7-24 Juli，Abhandlungen aus d e m大学数学研讨会，6，第273-299页。