有效简单的VWAP期权定价模型

更具体地说：R（VWAP）Exactcolumn根据附录A中的离散时间精确公式给出了比率σ（VWAP）ExactD/σ（AA）Dresult；R（VWAP）Stacecolumn根据附录A的离散时间“Stace-like”公式给出σ（VWAP）StaceD/σ（AA）Dresult；R（VWAP）MCcolumn给出了相应的有效且简单的VWAP期权定价模型7直接MC建模的结果σ（VWAP）MC/σ（AA）MC；las t列提供了“类Stace”比率结果（R（VWAP）Stace）的错误估计- 1） /（R（VWAP）MC- 1). 注意，我们省略了R（VWAP）Exactratio的类似比较，因为它与MC结果完全匹配（即始终在MC误差范围内）。我们看到Stace近似（13）与数值计算存在实质性分歧，而精确解（12）与MC结果完美匹配（在MC误差范围内）。表3提供了VWAP隐含波动率（基于本节考虑的伽马模型）和相应的香草期权价格与算术亚洲期权价格的比较。对于所有示例，参数为σ=0.2、r=0.05和S=K=100.00美元。对于亚洲股票，α和α的相对值分别为a.0和a.0。对于亚洲股票，α的相对值分别为a.0和a.0。显然，在一些例子中，这种相对差异是相当明显的。6.结论和讨论在结论中，我们提出了一个VWAP期权定价模型，其基础是将基础交易量建模为标准伽马过程——这一假设得到了我们对一些ASX交易股票交易量统计数据的实证分析的支持。我们的模型允许我们获得Black-Scholes式定价公式的隐含波动率调整（无需进行正向调整）的简单封闭式公式。

这些公式与通过蒙特卡罗模拟获得的VWAP伽马模型精确结果非常接近。此外，我们还证明了一些非常传统的近似值（见等式（10）-（11）），而我们的模型可以避免这些近似值，因此使用这些近似值时应该非常小心，因为它们可能会导致重大的定价错误。如何进一步改善我们的结果也是相当清楚的。我们应该致力于为成交量过程推导一个更复杂的模型，该模型应该有更丰富的参数空间，以更好地拟合经验成交量数据，而不是本研究中使用的简单伽马分布和/或考虑成交量和成交量过程之间的部分相关性。另一个可能的方向是基于伽马分布体积模型获得上限/下限结果。附录AWe模型[ti]内的体积-1，ti]时间间隔（其中ti=it） i.i.d.伽马变量Vi~ Γ（α，θ），独立于基础股票过程ST。请注意，参数α与以下选项的选择呈线性关系：t、 缩放增量的向量Xi=Vi/PNj=1Vjare由（X，…，XN）=VPNj=1Vj，VNPNj=1Vj！~ D（α，…，α），8 ALEXANDER BURYAK和IVAN Guoik，其中D是Dirichlet分布。以下各种预期的公式是众所周知的：E（Xi）=N=tT，E（Xi）=α+1N（αN+1），Var（Xi）=N- 1N（αN+1），E（XiXj）=αN（αN+1），Cov（Xi，Xj）=-1N（αN+1），i6=j.离散时间情形。在离散时间情况下，VWAP定义为：S（VWAP）=PNi=1SiViPNi=1Vi=NXi=1SiXiwhere Si=SiT

然后可以使用Fubini的定理计算前两个力矩，Fubini（1958）：M=ES=NXi=1esexi=ENNXi=1Si！，ES=NXi=1esixi+2Xi<jE（SiSj）E（XiXj）=α+1N（αN+1）NXi=1ESi+2αN（αN+1）Xi<jE（SiSj）=ENNXi=1Si+αN+1ENNXi=1Si！- ENNXi=1Si！,M=ES- M=VarNNXi=1Si+αN+1ENNXi=1Si！- ENNXi=1Si！.请注意，我们也可以通过使用近似值（10）-（11），采用“类似Stace”的方法，而不是像上面那样完全解决gamma过程VWAP问题。在这种情况下，M（Stace）=M，但McChangesTo的最终表达式为：M（Stace）=VarNNXi=1Si+αNENNXi=1Si！-“ENNXi=1Si#.现在让我们回顾一下，STI是一个具有漂移r和波动率σ的几何布朗运动，M、M和M（Stace）表达式中的所有项都可以明确有效且简单的VWAP期权定价模型9计算：ENNXi=1Si=SNNXi=1erit、 ENNXi=1Si=SNNXi=1e（2r+σ）it、 ENNXi=1Si=锡NXi=1e（2r+σ）it+2NXj=1j-1Xi=1er（i+j）t+σiT.这反过来又允许通过矩匹配计算相应的隐含波动率。例如，对于平均点的等距间距，可以得到以下表达式：σ（VWAP）ExactD=σs（1+N）（3+α+2αN）6N（1+αN）+O（T/N），或者（如果与σ（AA）D相关）：σ（VWAP）ExactDσ（AA）D=sN（3+α+2αN）（1+2N）+O（T/N），以及σ（VWAP）StaceD=σr（1+N）（3+α+2αN）6αN+O（T/N），或者（如果与σ（AA）D相关）：σ（VWAP）StaceDσ（AA）D=s（3+α+2αN）（α+2αN）+O（T/N），连续时间情况。连续时间VWAP是离散时间情况的极限，为N→ ∞ 或T→ 0:~S:=S（VWAP）=RTStdZtZT=limN→∞NXi=1S（i-1)tXi。其中，总交易量zt为伽马过程Γ（t；α，θ）。在这里，我们使用与离散时间案例参数相关的参数|α，通过|α=α/tor~αT=αN。

使用类似于离散时间情况的参数，以及优势收敛定理，前两个精确矩为：M=ETZTStdt！，E~S=ETZTStdt+αT+1等等！- 等等！,M=VarTZTStdt+αT+1等等！- 等等！.10 ALEXANDER BURYAK和IVAN Guo，我们可以再次使用（10）-（11）来获得类似Stace的近似值，M（Stace）=VarTZTStdt+αT等等！-“等等#.涉及股票交易的条款由：ETZTStdt=装货单erT- 1r,等等=2S（r+σ）Te（2r+σ）T- 12r+σ-erT- 1r！，等等=STe（2r+σ）T- 12r+σ！。最后，还可以计算出连续极限对应的隐含波动率：σ（VWAP）精确σ（AA）=s（3+2α）（2+2α）+（6（1+~α）r+3（1+~α）rσ+~α）T24（1+~α）σ+O（T），以及σ（VWAP）Staceσ（AA）=r（3+2α）2αrσ- 3σ- ~aσ）T8~aσ+O（T）。确认。作者感谢A.B arber、A.Brace、T.Gla ss、V.Frishling、D.Maher、T.Ling、A.Novikov和W.Wright的富有成效的讨论和有用的建议。参考文献[1]J.Bialkowski，S.Darolles和G.L.Fol（2008），《改进VWAP策略：动态容量方法》，银行与金融杂志，第32期，1709-1722页。[2] D。Brody，L.Hughston和A.Macrina（2008），大坝降雨和累积增益，Proc。R.Soc。A 4641801-1822年。[3] M.Curran（1994），通过几何平均价格对亚洲和投资组合期权进行估值，管理科学401705–1711。[4] G.Fubini（1958），Sugli integrali multipli，Opre scelte，2，Cremonese，243–249。[5] C.Frei和N.Westray（2013），VWAP订单的最佳执行，数学金融在线10月9日预发布。[6] 傅志德，邓厚华，王瑞华，在线VWAP交易策略，序列分析29（2010）292-310。[7] P.Glasserman（2003）《金融工程中的蒙特卡罗方法》，数学应用系列，纽约：斯普林格。[8] J.C。

赫尔（2006）《期权、期货和其他衍生工具》，第6版，新泽西州：培生教育有限公司[9]H.Konishi（2002），VWAP交易的最佳分割，金融市场杂志5197–221。[10] R.Lord（2006），《算术亚式期权的部分精确和有界近似》，康普大学J。《金融》第10期，第2期，第1-52页。[11] A.M.Mood，F.A.Greybill和D.C.Boes（1974）统计学理论导论，3d版，麦格劳·希尔。[12] A.Novikov和N.Kordzakhia（2013），关于亚洲风格选项的上下限：auni fied方法，arXiv:0797820。有效和简单的VWAP期权定价模型11[13]A.Novikov，T.Ling和N.Kordzakhia（2014），《成交量加权平均价格期权的定价：分析近似和数值结果》，摘自《金融启示》，编辑：Yu。卡巴诺夫，M.鲁特科夫斯基，Th。斯普林格扎里波普卢，461-474。[14] W.H.Press，S.A.Teukolsky，W.T.Vetterling和B.P.Flannery（2007）数字配方：科学计算的艺术，3d版，剑桥大学出版社。[15] L.C.G.Rogers，Z.Shi（1995），《亚式期权的价值》，J.Appl。问题。32, 1077–1088.[16] A.W.Stace（2007），《量权平均价格期权估值的矩匹配法》，理论家国际期刊。应用金融10、95–110。[17] G.W.P.Thompson（2000），《亚洲期权价值的快速窄限》，金融研究中心，剑桥大学管理科学法官研究所，工作论文。[18] R.Woellner、S.Barkoczy、S.Murphy和C.Evans（2009）澳大利亚税法，新南威尔士州北莱德第19区：CCH澳大利亚。aburyak@bigpond.net.au12ALEXANDER BURYAK和IVAN Guo表1。CBA、WDC和FMG存量数据的统计分析（数据来源：彭博社）及其与合成（计算机生成）数据样本分析（gammadistribution参数α=1.0和θ=0.2×10）的比较。

对于股票数据，每个原始数据点代表一个交易量和10分钟间隔内的修正VWAP价格（每个股票约有5130点可用；对于合成数据，我们也生成5130点）。然后，通过组合L个连续点（L=5,10,20,40）的体积，构造出4个次级集合V（L）。然后将伽马分布拟合到这些累积体积数据集（即，我们获得每个集合的伽马分布参数值θ（L）和α（L））并计算自相关系数Cauto（L）。此外，我们还根据V（L）具有伽马分布的假设，进行了两项优度检验：安德森-达林（a-D）和科尔莫戈罗夫斯米尔诺夫（K-S），并报告了相应的P值（高值意味着假设正确的概率更高）。股票/Lθ（L）/10α（L）α/L尾托（L）P（A）-D） P（K）-S） 5.3.95 0 0.39 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 5 5 5.6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8 8 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40%1.7%42.3%FMG 10 3.88 3.75 0.38 25%37.4%32.3%FMG 20 5.14 5.66 0.2810%73.1%58.4%FMG 40 5.29 10.99 0.27 33%93.9%95.9%合成50.20 4.99 1.00 2%93.2%90.4%合成10 0.21 9.50 0.95 0%99.9%94.0%合成20 0.22 17.65 0.88 2%90.7%89.6%合成40 0.20 38.18 0.98 4%84.2%76.2%有效和简单的VWAP期权定价模型13表2。将伽马模型有效波动率结果与以下参数值的相应MC结果进行比较：σ=0.2，r=0.05，θ=0.00067，MC路径数=1000000，T=2/52（N=10个平均点）。

请注意，R（VWAP）Exactcolumn根据附录a中的离散时间精确公式给出了比率σ（VWAP）ExactD/σ（AA）Dresult；（VWAP）Stacecolumn根据附录A中离散的“Stace-like”公式给出σ（VWAP）StaceD/σ（AA）Dresult；R（VWAP）MCcolumn给出了直接MC建模σ（VWAP）MC/σ（AA）MC的相应结果；最后一列提供了“类Sta c e”比率结果（r（VWAP）Stace）的误差估计- 1） /（R（VWAP）MC- 1） .1/αR（VWAP）ExactR（VWAP）StaceR（VWAP）MC（R（VWAP）Stace-1） （R（VWAP）MC-1)0.00 1.0000 1.00 00 1.0000 ± 0.0002 0.02 1.0004 1.00 14 1.0004 ± 0.0002 3.400.20 1.0042 1.01 42 1.0042 ± 0.0002 3.360.50 1.0102 1.03 51 1.0102 ± 0.0002 3.430.75 1.0148 1.03 51 1.0150 ± 0.0002 3.491.00 1.0193 1.05 22 1.0194 ± 0.0002 3.561.20 1.0227 1.08 23 1.0228 ± 0.0002 3.621.50 1.0276 1.10 19 1.0276 ± 0.0002 3.691.80 1.0322 1.12 12 1.0322 ± 0.0002 3.762.00 1.0351 1.13 39 1.0352 ± 0.0002 3.8014 ALEXANDER BURYAK和IVAN Guo表3。将VWAP隐含波动率σ（VWAP）和VWAP期权价格P（VWAP）D与相应的算术亚洲波动率σ（AA）和期权价格P（AA）D进行比较，得出伽马参数α、期权期限T和平均点数N的一些典型值。对于所有示例，参数为σ=0.2、r=0.05和S=K=$100.00。型TαNσ（AA）Dσ（VWAP）DP（AA）DP（VWAP）DP（VWAP）DP（AA）D- 1[年][%[%[$][$][%]投入0.317 10 80 11.68 11.69 2.217 2.217 0.04调用0.317 10 80 11.68 11.69 3.012 3.012 0.03投入0.079 10 20 11.99 12.00 1.242 1.242 0.12调用0.079 10 20 11.99 12.00 1.450 1.450 0.11投入0.020 10 13.27 13.32 0.718 0.3700调用0.10 10 10 10 13 13.27 13 13.27 13.13投入0.775