有效简单的VWAP期权定价模型

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Effective and simple VWAP option pricing model》
---
作者：
Alexander Buryak and Ivan Guo
---
最新提交年份：
2014
---
英文摘要：
  Volume weighted average price (VWAP) options are a popular security type in many countries, but despite their popularity very few pricing models have been developed so far for VWAP options. This can be explained by the fact that the VWAP pricing problem is set in an incomplete market since there is no underlying with which to hedge the volume risk, and hence there is no uniquely defined price. Any price, which is obtained will include a market price of volume risk which must be determined from the corresponding volume statistics. Our analysis strongly supports the hypothesis that the empirical volume statistics of ASX equities can be described reasonably well by fitted gamma distributions. Based on this observation we suggest a simple gamma process-based model that allows for the exact analytic pricing of VWAP options in a rather straightforward way.
---
中文摘要：
成交量加权平均价格（VWAP）期权在许多国家是一种流行的证券类型，但尽管它们很受欢迎，但迄今为止，为VWAP期权开发的定价模型很少。这可以通过以下事实来解释：VWAP定价问题是在一个不完整的市场中设定的，因为没有对冲交易量风险的基础，因此没有唯一定义的价格。获得的任何价格都将包括交易量风险的市场价格，该价格必须根据相应的交易量统计数据确定。我们的分析强烈支持这样一个假设，即ASX股票的经验交易量统计数据可以通过拟合伽马分布得到合理的描述。基于这一观察，我们提出了一个简单的基于伽马过程的模型，该模型允许以一种相当简单的方式对VWAP期权进行精确的分析定价。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
-->

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏2 回帖

关键词：期权定价模型 期权定价 定价模型 VWAP WAP

《美国数学学会交易》第00卷第0期第000–000S 0002-9947（XX）0000-0页有效且简单的VWAP期权定价模型Alexander BURYAK和IVAN GUOAbstract。在许多国家，批量加权平均价格（VWAP）期权是一种流行的证券类型，但尽管它们很流行，但迄今为止，为VWAP期权开发的定价模型很少。这可以通过以下事实来解释：VWAP定价问题是在一个不完整的市场中设定的，因为没有对冲交易量风险的基础，也没有唯一确定的价格。获得的任何价格都将包括交易量风险的市场价格，该价格必须根据相应的交易量统计数据确定。我们的分析强烈支持这样一个假设，即ASX股票的经验交易量统计数据可以合理地用拟合的伽马分布来描述。基于这一观察结果，我们提出了一个简单的基于伽马过程的模型，该模型允许以一种更具前瞻性的方式对VWAP期权进行精确的分析定价。股票期权，交易量，分析价格。简介：批量加权平均价格（VWAP）经常出现在财务中。它是一个平均价格，在计算中，它给予高交易时段比低交易时段更多的权重。经纪人的日常表现经常根据VWAP进行衡量，机构投资者越来越喜欢在VWAP进行买卖。作为决定上市公司股份回购价格的一部分，VWAP还适用于瑞典税法（Woellner et al.（2009））。大多数关于VWAP的现有文献都集中在策略和算法上，以尽可能接近VWAP价格执行订单（见Konishi（2002）、Bialkowski等人（2008）、Fuh等人（2010）、Frei&Westray（2013））。

另一方面，令人惊讶的是，关于与VWAP相关的实际定价方法的结果很少发表（Stace（2007），Novikov等人（2014））。这可以通过指出VWAP定价问题是在一个不完全市场中设定的来解释，因为没有对冲交易量风险的基础，也没有唯一定义的价格。获得的任何价格都将包括交易量风险的市场价格，该价格必须根据相应的交易量统计数据确定。在本文中，我们提出了一个新的模型来定价VWAP期权，其中批量数据由伽马过程建模。对于VWAP的前两个矩，推导出了精确的clos-ed形式表达式，可通过众所周知的矩匹配技术使用这些表达式。然后，我们将我们的结果与Stace（2007）提出的技术以及蒙特卡罗建模结果进行比较。本文的主要内容如下。第2节简要介绍了之前提出的一些体积数据模型。第3节调整了我们的选择XXXX美国数学学会2 ALEXANDER BURYAK和IVAN Guo将伽马过程作为首选体积模型，通过展示结果的合理性和其他体积数据分析。第4节正式介绍了我们的股票价格（对数正态）和库存量（伽马）模型。第5节介绍了本文的主要结果，包括VWAP矩和期权价格（基于矩匹配技术）的闭式表达式，以及与蒙特卡罗结果的比较。第6节包含一些总结。关于离散和连续时间情况下VWAP矩的详细推导，请参见附录A.2。之前提出的体积过程模型。通常采用标准几何布朗运动来模拟基础股价。

另一方面，批量交易的模式选择则不那么明显。文献中已经提出了几个版本的批量过程。在选择我们自己的方法之前，我们将简要概述一些现有的方法。例如，Stace（2007）考虑了以下均值回复容积过程：dVt=λ（Vmean- Vt）dt+βVftdW，（1）其中Vt=0是给定的，λ是均值回归的速度，Vmean是成交量过程的长期平均值，β是成交量过程的波动性，W是标准布朗运动（可能与股票价格过程布朗运动部分相关），f是1或0.5。在Novikov等人（2014）最近的工作中，提出了不同的体积过程分类：Vt=Xt+δ，dXt=λ（Xmean）- Xt）dt+βdW，（2）其中X是标准的Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程，λ、xMean和β分别是其均值回归速度、均值回归水平和O U波动率。Fuh等人（2010）提出了另一个VTM模型，该模型也基于底层动力学中第二个布朗运动的存在。然而，所有这些以及许多其他与VWAP相关的出版物主要集中在对其定价或交易算法的描述上，很少关注相应的交易量过程模型选择的任何调整或交易量统计的任何综合实证分析。Frei&Westray（2013）是一个值得注意的例外，其中相当多的注意力被放在了这样一种公正性上，并概述了用于实证检验的有用方法。重要的是，Frei&Westray（2013）认为，有大量经验证据表明，VT可以由i.i.d.伽马随机噪声建模。这种选择对于金融模型来说可能很不寻常，但正如布罗迪等人所说。

（2008）演示表明，GammaProcess实际上在许多涉及累积过程的保险和金融领域有着广泛的应用。其中包括累计索赔、信贷组合损失、固定福利养老金计划等的建模。3.交易量数据的实证分析。在本节中，我们将展示我们的实证分析，证明使用gammavariables对交易量的基本动态进行建模是合理的。这反过来又使有效且简单的VWAP期权定价模型3us能够在下一节开发VWAP期权定价模型。特别是，我们分析了fewASX股票的价格和成交量数据系列。我们的分析数据来自彭博社，涵盖了从2013年2月15日到2013年8月28日的每iod。每个原始数据点代表10分钟间隔内的交易量和相应的VWAP价格。通常每天有38个TradeVolume数据点可用（每小时6个，持续6小时，加上一个上市前交易[上午10点]点和一个上市后[下午4.10点]）。因此，平均而言，我们每个存储大约有5130个数据点。由于偶尔会丢失一些数据点（例如，由于在特定的10分钟间隔内缺乏交易），该数字因股票而异。对于每个权益交易量数据集，我们通过组合L个执行点的交易量（从而将原始L点组合并为新衍生数据集中的单个点），构建了4个二级交易量数据集V（L）IB，其中L=5、10、20和40，分别对应于大约1/8、1/4、1/2和1天的增量交易量。然后将伽马分布拟合到这些新构建的合并体积数据集中。我们记得，标准γ分布Γ（α，θ）具有平均值αθ和变量nc eαθ（参见Brody等人。

（2008）详细讨论了伽马分布特性和其他相关参考）。由于g amma分布的特性，如果原始（无n-合并）体积数据遵循真实的gamma分布，则其θ参数将相对于L保持不变，其α参数将按比例缩放，使α（L）/L为常数，所有时间序列和自相关系数将满足Cauto（L）<< 1.除了对θ（L）、α（L）和Cauto（L）进行分析外，我们还根据V（L）具有伽马分布的假设，进行了两个goodnes s-of-t检验：Anderson Darling（A-D）和Ko-lmogorov-Smirnov（K-s）。使用Mathematica 9.0软件包进行A-D和K-S拟合优度分析，以下仅报告相应的P值（值越高，说明假设正确的可能性越高）。我们对CBA、WDC和FMG股票的结果如表1所示（所有这些股票都是ASX 200指数的一部分）。这些结果通常显示，对于较小的铲斗尺寸L，与真实伽马分布行为存在显著偏差，但有力地支持了V（L）i具有伽马分布的假设≥ 20（即平均半天或更长时间）。为了让读者更好地了解我们的存量统计假设与现实有多接近，我们使用Press等人（2007）的算法生成相同数量的“真实”伽马分布噪声样本点（5130点），并重复我们的分析。表1给出了相应的结果。最后，我们注意到，Frei&Westray（2013）提出的一些其他测试也是可行的。最重要的一项测试表明，在一个交易日的同一时间段内，累计交易量（Pij=1Vj）和增量交易量（Vi）之间的相关性较低[ti，ti]+t] （即。

Pij=1Vjand Vi的日常独立性；详见弗雷和韦斯特雷（2013）。图1显示了CBA、WDC和FMG股票的相应日内相关性，它们确实相当低。本节中报告的所有结果强烈支持以下假设：至少在半天或更长的平均时间间隔内，股票交易量动态可以被描述为标准伽马过程：如果交易量与4 ALEXANDER BURYAK和IVAN Guo的日内点相关图1。累计交易量V（c）i=Pij=1vjan与CBA、WDC和FMG相应的相对交易量V之间的相关性。每个相关点都是针对同一时间段[ti，ti+t] 可用的阅读天数。时间段[ti，ti+t] 由Vi给出，然后我们假设它有gammadistributionΓ（α，θ），平均值αθ和方差αθ，其中α与平均周期线性相关t、 由于gammaprocess的独立增量特性，以等长不相交时间间隔绘制的卷是i.i.d.GammaVariable。4.VWAP期权定价模型。现在，我们正式定义了一个新的VWAP期权定价模型，该模型使用了agamma批量动态过程。我们在过滤概率空间下工作(Ohm, F、 F，Q）。过滤F={Ft}代表市场参与者可获得的信息流。特别是，它是由标准布朗运动和一系列i.i.d.伽马变量V，越南~ Γ(α, θ). 对于每一个i=1，N、 γ变量ViisFti可测量，其中ti:=it表示某个固定的时间增量t、 请注意，假设过程WT和随机变量{Vi}是独立的。为了方便起见，我们选择WTB作为r isk中性pricingmeasure下的rownian运动。

因此，测度eq是风险中性定价测度和与{Vi}相关的现实世界测度的乘积。综上所述：股票价格过程由标准几何公式给出，Rownian motio ndSt=rStdt+σStdWt，（3）其中r是无风险利率，σ是波动率。请注意，折扣库存价格为e-RTSTI是Q下的一个鞅。有效且简单的VWAP期权定价模型5在该时间段内交易的数量[ti]-1，ti]（其中ti=it） 由i.i.d.伽马变量Vti:=Vi直接建模~ Γ（α，θ），（4）具有平均值αθ和方差αθ。现在我们可以在时间间隔[0，T=N]上定义VWAPt] asS（VWAP）=PNi=1SiViPNi=1Vi。（5） 本文将重点讨论VWAP（5）的离散时间公式，它是N个增量贸易量的加权平均值，而不是随时间的加权积分。为完整起见，连续期限的结果见附录A。请注意，我们将考虑标准的看涨期权和看跌期权：C=max（S（VWAP）- K、 0），（6）P=max（K- S（VWAP），0）。(7)5. VWAP期权的封闭式定价公式开始进一步分析时，我们自然会对目前已知的定价方法进行简要描述（Stace（2007）、Novikov&Kordzakhia（2013）、Novikov等人（2014））。forVWAP期权定价。请注意，其中两项工作（Stace（2007年）、Novikov等人（2014年））使用了一种众所周知的矩匹配技术，该技术对于亚洲期权定价等问题非常有效（参见Hull（2006年））。在这种技术中，我们将VWAP的前两个矩与标准对数正态过程（所有定价公式都是众所周知的）的相应矩相匹配，其形式如下（s e e，例如Glasserman（2003））：M（LN）=e[St]=Sexp（rt），（8）M（LN）=Var[St]=s[exp（σt）- 1] exp（2rt），（9），其中所有符号与（3）相同。

在将计算出的VWAP矩与对数正态矩（即取M（LN）=M（V W AP）和M（LN）=M（V W AP））匹配后，可以使用标准的黑色公式，对前向F=M和波动率σ=LN（M/M+1）/T的期权定价（例如，见Hull（2006））。众所周知，该方法对低挥发性（σ）非常有效≤ 对于更高的波动率水平（0.2<σ≤ 0.4).在Stace（2007）的工作中，标准d力矩匹配方法（如上所述）在计算VWAP力矩时得到了进一步的近似补充，使用了以下表达式：EYZ≈E（Y）E（Z）-Cov（Y，Z）[E（Z）]+E（Y）[E（Z）]Var（Z），（10）VarYZ≈E（Y）E（Z）Var（Y）[E（Y）]+Var（Z）[E（Z）]- 2Cov（Y，Z）E（Y）E（Z）！，（11） 所有的术语都可以在冗长而直接的计算之后被明确地计算出来。请注意，这些近似值是众所周知的（参见Mood et al.（1974），第181页）。6 ALEXANDER BURYAK和IVAN Guo最近概述了VWAP期权定价的另一种可能方法inNovikov&Kordzakhia（2013年），基本上基于上/下边界，这也是众所周知的亚洲期权（参见，例如Curran（1994）、Rogers&Shi（1995）、Thompson（200 0），洛德（2006）举几个例子）。尽管对于更高的波动率值（σ>0.2），该方法比动量匹配方法更准确，但该方法通常不允许封闭形式的分析表示（目前存在对一个或多个参数的最小值/最大值的数值搜索）。在这一点上，我们选择了更简单、更容易处理的矩匹配定价方法，目的是在最后得到一个简单的封闭形式分析结果。因此，我们需要计算S（VWAP）的一阶矩和二阶矩，其由等式给出。（5） ，其中林分的演变由式（3）和式（3）定义。

（4） 分别为。值得注意的是，与对数正态体积动力学模型相比，系统（3）-（4）允许我们获得基于封闭形式匹配的定价解决方案，无论是否使用额外的近似值（10）-（11）。系统（3）-（4）解的详细推导可在附录A中找到。这里我们仅给出波动率校正因子R（VWAP）的一些最终表达式≡ σ（VWAP）D/σ（AA）D（其中σ（AA）D表示算术平均亚洲期权的基于标准动量匹配的隐含波动率结果），注意到在极限T/N中可以使用紧凑的闭式渐近展开公式<< 1:R（VWAP）Exact=sN（3+α+2αN）（1+2N）（1+αN）+O（T/N），（12）R（VWAP）Stace=s（3+α+2αN）（α+2αN）+O（T/N）。（13） 还要注意的是，对于我们的伽马过程模型F（VWAP）=F（AA），也就是说，与相应的算术平均结果相比，不需要VWAP前向校正。从（12）-（13）的分析中可以得出一些观察结果：（i）结果中不存在参数θ（由于伽马分布的相对方差公式中不存在参数θ：Var（Γ）/E（Γ）=1/α），（ii）在每日（T/N=1/252）或更频繁平均的情况下，与T的任何值的前序项相比，所有额外的项so（T/N）都可以忽略不计，（iii）最多为T/N~ 0.5时，RVWAPon T的依赖性很弱（与其对α或N的依赖性相比），可以忽略，至少作为第一个近似值。我们现在可以通过将结果（12）-（13）与直接蒙特卡罗（MC）模拟进行比较来检查结果的质量。结果如表2所示。表2中的参数值如下：σ=0.2，r=0.05，θ=0.00067，MC路径数=10000000，T=2/52（N=10个平均点，即两周内每日平均）。