分数阶情形下的临界交易成本与一步渐近套利

就我而言∈ {γN+ PγN+ 1.N}ψN，0i（λ）：=ψN，0γN+PγN（λ） ，ψN，1i（λ）：=ψN，1γN+PγN(λ) = 0.利用之前的自我融资策略，我们在每个N-分数二元市场上定义了自我融资系统ψN:={ψN（λ）}λ∈[0,1]. 在这些自融资系统的帮助下，我们获得了关键交易成本渐近行为的以下特征。14费尔南多·科德罗和拉维尼亚·佩雷斯·奥斯塔费托雷姆4.1。存在一个常数C*γ> 0表示N足够大λ（N）c≥ 1.- E-C*γ√N.特别是，我们有这个限制→∞λ（N）c=1。证据我们从寻找每个λ开始∈ [0,1]和N≥ 1，交易策略到期时的价值过程ψN（λ）。注意，如果我们设置，对于j≥ γN,~ξNj=（ξ）γN+1.ξj）和~Nj=~j-γN（按约定）~ξNγN=~NγN= ),我们得到vλN（ψN（λ））=1{~ξγN=-~γN}h（1- λ） S（N）γN- S（N）γN+PγNi=1{~ξγN=-~γN}S（N）γN1.- λ -γN+PγNYj=γN+11+Yj(-~γN,~ξNj-1） +gjξjNH！≥ 1{~ξγN=-~γN}S（N）γN1.- λ -γN+PγNYj=γN+11+Yj(-~γN,~新泽西州-1） +gjNH！= 1{~ξγN=-~γN}S（N）γN1.- λ -PγNYk=11+ANγ（k）NH！.前一个不等式是等式当且仅当~ξγN6= -~γN或~ξγN+PγN=-~γN,~NγN+PγN.因此，VλN（ψN（λ））≥ 0 a.s.当且仅当1- λ -PγNYk=11+ANγ（k）NH！≥ 0.或相当于λ≤ 1.-PγNYk=11+ANγ（k）NH！。在这种情况下，我们有VλN（ψN（λ））>0≥γN-γN+PγN> 因此，ψN（λ）提供了λ-套利。因此，我们得到λ（ψN）=1-PγNYk=11+ANγ（k）NH！，由（4.2）可知λ（N）c≥ 1.-PγNYk=11+ANγ（k）NH！。交易成本下的分数二元市场利用引理4.1，我们推断PγNYk=11+ANγ（k）NH！≤PγNYk=11-Cγ-NH-NH+bCγNH=1.-Cγ√N+CγNH！PγN= EPγN自然对数1.-Cγ√N+bCγNH≤ E-C*γ√N、 对于一些精心选择的常数C*γ> 0和N足够大。这就是屋顶。结论。

在本节中，我们证明了分数二元市场中的关键交易成本序列收敛于1。更确切地说，我们已经构建了一个明确的自锁系统序列{ψN}N≥1验证λ（N）c≥ λ（ψN）----→N→∞1.特别是对于每个λ∈ （0，1），当N足够大时，交易策略ψN（λ）在N-分数二元市场中提供λ-套利。正如导言中所指出的，这个结果显然与分数二元市场近似于fr actional Black-Scholes模型的事实相矛盾，该模型在任意小的交易成本下不存在套利。为了解释这一点，我们首先指出VλN（ψN（λ））>0≤γN----→N→∞0.换句话说，当N趋于零时，使用交易策略ψN（λ）获得严格正解的概率在极限内消失∞. 此外，我们观察到0<1{~ξγN=-~γN}S（N）γN≤1.-gNHγN----→N→∞0，这意味着t0≤ VλN（ψN（λ））≤ 1{~ξγN=-~γN}S（N）γN----→N→∞0.这意味着使用交易策略ψN（λ）获得的利润收敛到零。综上所述，本节构建的自我融资策略在交易成本任意接近的情况下，为分数二元市场提供了比特率机会。然而，发生这种情况的概率和相应增益的大小都收敛到零。不同的是，套利机会在极限内消失。所以，我们的结果和分数Black-Scholes模型在摩擦下的行为并不矛盾。

这也告诉我们，尽管临界交易成本的概念允许描述固定二元市场中套利的存在，但对序列中临界交易成本的研究并不意味着任何关于最终极限市场的行为的信息。此外，任何合适的“连续”套利概念都应规定：（1）严格正的套利概率从下到下一致有一个严格正的常数，以及（2）相应的收益一致严格正。第2节介绍的形式套利概念满足了这些条件，因此，从这个角度研究分数二元市场是值得的。16费尔南多·科德罗和拉维尼亚·佩雷斯·奥斯塔菲5。1步渐进套利机会在本节中，我们将研究分数二元市场中存在的渐进套利机会，当我们仅限于使用1步自融资策略的序列时（如备注2.1所述）。

当这种机会存在时，我们称之为一步渐进套利。从其定义来看，对于某些固定的N，N-分数二元市场中的1-s tepλ-自寻优策略可以表达出来∈ {1，…，N- 1} ，A {-1,1}nandq：{-1,1}n→ R+，如下所示：对于所有i<n，φ0，Nn=X~X∈A{~ξn=~x}（1）- λ） S（N）N（~x）q（~x）-X~X∈Ac{~ξn=~x}S（n）n（~x）q（~x），ν1，Nn=-X~X∈A{~ξn=~x}q（~x）+x~x∈Ac{~ξn=~x}q（~x），ν0，Nn+1=x~x∈A{~ξn=~x}h（1）- λ） S（N）N（~x）- S（N）N+1（~x，ξN+1）iq（~x）-X~X∈Ac{~ξn=~x}hS（n）n（~x）- (1 - λ） S（N）N+1（~x，ξN+1）iq（~x）а1，Nn+1=0，а0，Nk=а0，Nn+1对于所有N+1<k≤ N、 对于所有N+1<k的情况，Nk=1，Nn+1≤ 换句话说，我们在时间之前什么都不做；在时间n，根据位置x，我们以q（~x）为单位做空或做多股票；t次n+1我们平仓；在n+1之后，我们什么都不做。特别是，到期时的价值过程，由vλN（~nN）=X~X给出∈A{~ξn=~x}h（1）- λ） S（N）N（~x）- S（N）N+1（~x，ξN+1）iq（~x）-X~X∈Ac{~ξn=~x}hS（n）n（~x）- (1 - λ） S（N）N+1（~x，ξN+1）iq（~x）。(5.1)5.1. 小交易成本下的第一类一步渐近套利。在本节中，我们构造了一个当交易成本收敛到零时的一步渐近ar比特率。我们的建设基于第3节中给出的一步自融资系统。首先请注意，如第3节所示，交易策略{~nN（λN，N）}N≥1验证，当λN=o（1/√N） 那VλNN（νN（λN，N））>0=N-1.----→N→∞0，然后，它们不能提供1步a交感神经比特率。当我们使用自筹资金策略{~nN（λN，nH）}N时，会产生不同的行为≥这一次，在交易成本λN=o（1/NH）下，验证了VλNN（νN（λN，nH））>0=新罕布什尔州-1> 0.然而，从定理3.1证明中的计算中，可以直接看出vλNN（νN（λN，nH））≤CNH，这意味着利润在极限内消失。

另一方面，在第一类渐近套利中，我们必须在交易成本为17%的概率下，通过严格正作用的二元市场任意致富。因此，交易策略{~nN（λN，nH）}N≥1不提供此类渐进套利。如果我们不做空一个单位的股票，而是大量做空一个单位的股票，这个问题是可以解决的。然而，我们必须小心，因为如果库存量太大，可接受性条件可能会失败。这些想法将在下一个结果中反映出来。定理5.1。考虑λN=o（1/NH）并设{qN}N≥1是一个严格的正数序列，验证qnnh----→N→∞∞ λNqN----→N→∞0.自我融资策略{b~nN}N≥1，定义为b~nN:=qN~nN（λN，nH），提供1步{λN}N≥1-第一类渐近套利。证据让我们{λN}N≥1和{qN}N≥1如声明所述。请注意，自我融资策略的价值过程b k Nsatis fiesvλNi（b k N）=qNVλNi（k N（λN，nH）），i=1。。。，N.特别地，从定理3.1证明中的估计中，我们得到vλNN（b~nN）≥ 新罕布什尔州北区-1{~ξnH-1=-~新罕布什尔州-1}-λN+θnHNH, （5.2）式中θnH=PnH-1i=1jnH（i）-gnH，从（3.1）来看，严格来说是正的。从λ和qNit的性质来看，qn-λN+θnHNH----→N→∞∞.此外，我们还有S（N）nH-1(-~新罕布什尔州-1） =nH-1Yk=11.-K-1Pi=1jk（i）+gk全日空航空公司s----→N→∞s、 因此，如果我们定义：=qN-λN+θnHNH新罕布什尔州南部-1(-~新罕布什尔州-1) ----→N→∞∞,我们推断VλNN（b~nN）≥ CN=新罕布什尔州-1.只需检查受理条件。时间之前-1，valueprocess为零，然后验证任何可接受条件。类似地，在timenH之后-1.价值过程与到期时的价值过程相等，从（5.2）中得出的值大于或等于零，基本上等于0。因此，我们只需在nH时检查适当的可接受性- 1.

注意vλNnH-1（b~nN）=-λNqNS（N）nH-1(-~新罕布什尔州-1） 1{~ξnH-1=-~新罕布什尔州-1} ，然后，如果我们定义cN:=λNqNS（N）nH-1(-~新罕布什尔州-1） ，我们有那个cN----→N→∞0，自筹资金战略是可以接受的。然后得出结论。18费尔南多·科德罗和拉维尼亚·佩雷斯-奥斯塔菲。2.无套利时交易成本缓慢收敛。现在，我们有兴趣提供一个条件，在交易成本序列中，避免1-s步渐进的错误机会。下一个结果为我们处理这个问题提供了一个重要的估计。引理5.1。有一个常数cX>0，因此，对于所有n>1，我们有| Xn |≤ cXnH-.证据通过与定理3.1类似的计算得出结果。更准确地说，对所有人来说≥ 2，使用（3.4）、（3.5）和表2.1中给出的上估计，我们得到| Xn |≤N-1Xi=1jn（i）+gn≤ C*新罕布什尔州-锌-1x-H~nn（x）dx+gn=c*新罕布什尔州-祖-H（1- u） H-杜- nZ1-怒族-H（1- u） H-杜+ gn<c*新罕布什尔州-祖-H（1- u） H-du+g2H-≤C*- HnH-+ gnH-= cXnH-,其中cX:=c*-H+g。定理5.2。如果正实数序列{λN}N≥1验证λN√N----→N→∞∞,那么既没有1步{λN}N≥非第一类1-渐近套利机会或1-步{λN}N≥1-第二类渐近套利机会。证据考虑{λN}N≥声明中的1，以及≥ 1，一步λnslf-融资策略N。从本节开头的讨论和（5.1）中，我们知道Nat到期的价值过程有以下形式vλNN（N）=X~X∈AN{~ξnN=~x}h（1）- λN）S（N）nN（~x）- S（N）nN+1（~x，ξnN+1）iqN（~x）-X~X∈AcN{~ξnN=~x}hS（N）nN（~x）- (1 - λN）S（N）nN+1（~x，ξnN+1）iqN（~x）。nN在哪里∈ {1，…，N- 1} ，一个 {-1,1}n和qN：{-1,1}nN→ R+。

特别是，我们有，~x∈ AN，thatVλNN（~nN）1{~ξNN=~x}=1{~ξNN=~x}S（N）NN（~x）-λN-XnN+1（~x，ξnN+1）NHqN（~x）。同样地，对于每个~x∈ AcN，我们有vλNN（~nN）1{~ξNN=~x}=1{~ξNN=~x}S（N）NN（~x）-λN+（1）- λN）XnN+1（~x，ξnN+1）NHqN（~x）。利用前面的两个恒等式和引理5.1，我们得到了vλNN（νN）≤ S（N）nN（~ξnN）-λN+cX√NqN（~ξnN）。交易成本下的分数二元市场根据λN的渐近行为，我们得出结论，对于所有N个足够大的变量，vλNN（φN）≤ 上午0点。。这意味着序列{~nN}N≥1不提供第一类渐近套利，也不提供第二类渐近套利。结果来自于这个序列的任意性。备注5.1。对上述命题的证明还表明，如果λN√N----→N→∞∞,那么，对于所有足够大的N，N-分数二元市场没有1步套利机会。特别是，如果我们定义λ（N）c，1:=inf{λ∈ [0, 1] :  N-分数二元市场上的1步λ-套利}，那么我们有λ（N）c，1----→N→∞0.5.3. 在无摩擦情形下，不存在第二类渐近套利。在这一部分中，我们研究了无摩擦情形下的第二类渐近套利机会。更准确地说，我们将证明，当赫斯特参数H足够接近1/2时，这种机会不存在。首先，让我们介绍下面的setsAu，Hn:={~x∈ {-1,1}n-1:u（N）N（~x）≤ 0}={~x∈ {-1,1}n-1:n-1Xi=1jn（i）xi+gn≤ 0}，and，Hn:={~x∈ {-1,1}n-1:d（N）N（~x）≥ 0}={~x∈ {-1,1}n-1:n-1Xi=1jn（i）xi-gn≥ 0}.集合AHn:=Au，Hn∪Ad，Hn是具有赫斯特参数H的分馏二元市场中n级ar比特率点的集合。请注意，这些集合不依赖于n，原因是u（n）和d（n）的符号不依赖于n。这种简化源于这样一个事实，即我们对待分数二元市场没有漂移，即。

a（N）N=0。现在定义νH:=supn≥1 | AHn |n-1.≤ 1和H*:= inf{H∈ （1/2，1）：νH=1}.引理5.2.我们有H*∈ （1/2，1）。证明。很容易看出，|AH |=0。另一方面，我们从[4]中知道，对于n>1V ar（Yn）≤ σ1.-cH（H+）,那|安|n-1=P（|Yn |≥ gn）。因此，利用切比什-弗夫不等式和引理2.2，我们推断| AHn |n-1.≤H+中国- 1.20 FERNANDO CORDERO和LAVINIA PEREZ OSTAFEFrom（2.9）和伽马函数的性质，得出当H趋于1/2时，Ch收敛到1。因此，我们得到了thatlimH→苏普≥1 | AHn |n-1= 0.结果来自函数H的连续性∈ (1/2 , 1) 7→ 中国。定理5.3。如果H∈ （1/2，H）*), 在无摩擦的分数二元市场序列中，不存在第二类1步渐近套利。证据修复H∈ （1/2，H）*) 让{~nN}N≥1.一步融资策略的顺序。我们从（5.1）中知道，自然到期的价值过程有以下形式vn（N）=X~X∈AN{~ξnN=~x}hS（N）nN（~x）- S（N）nN+1（~x，ξnN+1）iqN（~x）-X~X∈AcN{~ξnN=~x}hS（N）nN（~x）- S（N）nN+1（~x，ξnN+1）iqN（~x）。nN在哪里∈ {1，…，N- 1} ，一个 {-1,1}n和qN：{-1,1}nN→ R+。特别是，我们有，~x∈ AN，thatVN（~nN）1{~ξnN=~x}=-1{~ξnN=~x}nNPi=1jnN+1（i）xi+gnN+1ξnN+1NHS（N）nN（~x）qN（~x）。同样地，对于每个~x∈ AcN，我们有vn（φN）1{~ξnN=~x}=1{~ξnN=~x}nNPi=1jnN+1（i）xi+gnN+1ξnN+1NHS（N）nN（~x）qN（~x）。现在我们分析不同的情况。如果~x∈ 一∩ Au，HnN+1or~x∈ AcN∩ 广告，HnN+1，我们有{VN（~nN）≥ 0} ∩ {~ξnN=~x}=nN。如果~x∈ 一∩Ad，HnN+1or~x∈ AcN∩ Au，HnN+1，P{VN（~nN）>0}∩ {~ξnN=~x}= 0.如果~x∈AHnN+1c、 然后{VN（~nN）≥ 0} ∩ {~ξnN=~x}=nN+1。因此，对于任何大于0的α，我们有VN（~nN）≥ α≤|AHnN+1 | nN+|AHnN+1c |nN+1=+×|AHnN+1 |nN。因此，使用引理5.2，我们推导出VN（~nN）≥ α<1+νH<1。因此，我们得出结论{~nN}N≥1不提供第二类渐近套利。

这一命题源于一步自筹策略的一般性≥1.交易成本下的分数二元市场。确定H*< 据我们所知，1仍然是一个公开的问题。未来的研究。在研究了一步渐近套利的存在性之后，在更一般的交易策略序列下分析渐近套利似乎是自然的。特别是，人们可能对一种更强的渐近套利形式的存在感兴趣。这是下一篇论文的内容。参考文献[1]C.Bender、T.Sottinen和E.Valkeila。随机金融中的分数过程模型。，第75-103页。柏林：斯普林格，2011年。[2] 切里迪托。分数布朗运动模型中的套利。《金融与随机》，7（4）：533–5532003年。[3] R.控制金融市场的长期依赖性。《工程中的分形》，第159-180页。斯普林格，2005年。[4] F.科尔德罗、I.克莱因和L.佩雷斯·奥斯塔夫。二元市场中套利点的渐近比例。2014年12月提交。[5] F.科尔德罗、I.克莱因和L.佩雷斯·奥斯塔夫。交易成本下的二元市场。《国际理论与应用金融杂志》，17（05）：14500302014。[6] K.扎帕里泽。介绍证券市场中的期权定价。CWI教学大纲472000。[7] P.Guasoni、M.Rásonyi和W.Schachermayer。小交易成本下连续过程资产定价的基本定理。《金融年鉴》，6（2）：157-1912010。[8] Y.M.卡巴诺夫和D.O.克拉姆科夫。大型金融市场：渐进套利和连续性。概率论及其应用，39（1）：182–187，1995。特奥尔的原始俄罗斯文字。维罗亚特诺斯特。我是Primenen。，39（1），（1994），第222-229页。[9] Y.M.卡巴诺夫和D.O。克拉姆科夫。大型金融市场中的渐进套利。财政司司长。，2(2):143–172, 1998.[10] 我。

克莱恩、E·L·埃皮内特和L·佩雷斯·奥斯塔夫。大型金融市场和小交易成本的渐进套利。出现在金融学和统计学领域。[11] 克莱恩和沙切迈耶。非完全大型金融市场中的渐近套利。提奥。维罗亚特诺斯特。我是Primenen。，41(4):927–934, 1996.[12] 克莱恩和沙切迈耶。halmos-Savage定理的定量和双重版本，并应用于数学金融。《概率年鉴》，24（2）：867-8811996。[13] E·L’epinette Denis和L·Ostafe。在有摩擦的大型金融市场中，一种交感反应。《数学与金融经济学》，6（4）：313–3352012。[14] D.努亚拉特。分数布朗运动的随机积分及其应用。《随机模型》（墨西哥城，2002年）第336卷。数学第3-39页。艾默尔。数学Soc。，普罗维登斯，国际扶轮，2003年。[15] L.C.G.罗杰斯。分数布朗运动套利。数学《金融》，7（1）：1997年，第95-105页。[16] T.索蒂宁。分数布朗运动、随机游动和二元市场模型。《金融与随机》，2001年5:343-355。[17] T.Sottinen和E.Valkeila。金融学中的分数布朗运动模型。预印本：Matematiikan Laitos。赫尔辛基大学M无神论系，2001年。[18] W·威林格、M·S·塔克和V·特维洛夫斯基。股票市场价格和长期依赖性。《金融与随机》，1999年3:1-13。比勒菲尔德大学技术学院。2533615德国比勒菲尔德电子邮件地址：fcordero@techfak.uni-比勒菲尔德。苏黎世高等教育学院数学系，瑞士苏黎世R–amistrasse 101，8092邮编：lavinia。perez@math.ethz.ch