分数阶情形下的临界交易成本与一步渐近套利

过程（Sn）Nn=0的自融资系统是一个Φ={~n（λ）}λ族∈[0,1]，其中所有λ∈ [0,1]，ν（λ）是一种λ-自我融资策略。给定一个s-elf-finance系统Φ={~n（λ）}λ∈[0,1]，我们定义λ（Φ）：=inf{λ∈ [0,1]：ν（λ）不是λ-套利}。（2.6）备注2.2。注意如果Φ={~n（λ）}λ∈[0,1]是一个自融资系统，那么λ（Φ）可以表示为λ（Φ）=inf{λ∈ [0,1]：P（VλN（φ（λ））>0）=0或P（VλN（φ（λ））<0）>0}。此外，根据它们的定义，我们得到λ（Φ）≤ λc。因此，自融资系统的构造为λc提供了下限。特别是，ifa自融资系统Φ={~n（λ）}λ∈[0,1]验证λ（Φ）>0，我们可以得出结论，对于所有λ∈ [0，λ（Φ）），ν（λ）提供了一个λ-套利机会。2.3.交易成本下的渐近套利。在本文中，我们的研究不局限于N-分数二元市场的套利机会，但我们也有兴趣在分数二元市场的近似序列的时间网格变得越来越细时，即N→ ∞. 我们首先通过研究与分数二元市场相关的关键交易成本序列的极限行为来研究这个问题。在第二种方法中，我们将分数二元市场序列解释为一个大型金融市场，在这种情况下，用一个新概念取代套利的概念，如第2.2节所述。卡巴诺夫和克拉姆科夫将其定义为“渐近套利”[8]，并将其分为两类：第一类交感套利（AA1）和第二类交感套利（AA2）。我们现在回忆起他们的定义。关于详细的介绍，我们请读者参考[11]、[12]和[9]了解摩擦的情况，并参考[10]了解有摩擦的市场。

考虑一下市场的序列{SN}N≥1，其中SN=（SNn）Nn=0，并且fix a序列{λN}N≥1实数0<λN<1.6费尔南多·科德罗和拉维尼亚·佩雷斯·奥斯塔费德的定义2.4。如果存在一系列市场（再次用N表示）和自融资策略（N=（N，0，N，1）的子序列，且所有i=0，…，则存在交易成本为λ的第一类渐近套利（AA1），N、 VλNi（νN）≥ -cN，（2）limN→∞PN（VλNN（φN）≥ CN）>0其中CN和CN是带CN的标准正实数序列→ 0和CN→ ∞.定义2.5。存在第二类渐近套利（AA2），交易成本为λ，如果存在一系列市场（再次用N表示）和自融资策略（N=（N，0，N，1），且SNandα>0的禀赋为零，因此（1）（1-容许条件）对于所有i=0，N，VλNi（νN）≥ -1，（2）林→∞PN（VλNN（φN）≥ α) = 1.这两种类型的渐近套利可以直观地解释如下。AA1可以被视为通过承担任意小的风险，以绝对积极的可能性任意致富的机会。AA2提供了获得至少一些东西的机会，即使只是一个非常小的数量，概率任意循环到一，同时冒着损失n个时间上一致的金额的风险。这两个概念之间的关键区别在于，在后一种情况下，尽管很可能出现盈利，但风险并没有消失。2.4。分数二元市场。Sottinen在[16]中介绍了分形二元市场，作为一系列二元市场，近似于分数Black Scholes模型。后者是指Black-Scholes型模型，其中风险as集的随机性来自分数布朗运动，即。

债券和股票的动力学由以下公式给出：dBt=r（t）Btdt和dSHt=（a（t）+σdZHt）SHt，（2.7），其中σ>0是表示波动性的常数，是赫斯特参数H>1/2的分数布朗运动。函数r和a是确定性的，表示利率和股票的漂移。在后半部分中，我们假设r=0，并且a是连续可微的。由于模型的所有参数都被理解为依赖于赫斯特参数H，我们将避免提及这种依赖性。为了简单起见，我们利用[4]中获得的结果为分数二元市场提供了一个替代的、但等效的定义。首先，我们考虑一个i.i.d.随机变量序列{ξi}i≥1这样的结果（ξ=-1） =P（ξ=1）=1/2，我们定义了过滤{Fi:=σ（ξ，…，ξi）}i≥1.对于每个N>1，N-分数二元市场是债券和股票在{0，N，…，N，…，N时间进行交易的二元市场-动力学下的1N，1}：B（N）N=1和S（N）N=1+a（N）N+XnNHS（N）N-1, 1 ≤ N≤ 交易成本下的部分二元市场，其中a（N）N=Na（N/N）和S（N）=S。如[4]所示，过程（Xn）N≥1可以表示为xn:=n-1Xi=1jn（i）ξi+gnξn，（2.8）其中jn（i）：=σcHH-伊兹-1x-HZ（v+n）- 1） H-（v+n）- 1.- x） H-dvdx，andgn:=σcHH-nZn-1x-H（n）- x） H-Z（y（n）- x） +x）H-嗯-dydx，cHa归一化常数为bycH:=s2HΓ- HΓH+Γ(2 - 2H）。（2.9）从（2.8）中，我们可以看到xn是一个过程的总和，它只取决于时间n之前的信息- 1和一个仅取决于当前的过程。更精确地说，Xn=Yn+gnξn，其中Yn:=n-1Xi=1jn（i）ξi。同样，我们定义了每个（x，…，xn）-1) ∈ {-1,1}n-1Yn（x，…，xn）-1） ：=n-1Xi=1jn（i）xi。请注意，从定义Yn=Yn（ξ。

，ξn-1).使用这些参数，第2.1节中已经介绍的二进制市场u（N）和d（N）N的参数可以表示为{-1,1}n-1bysetting，用于~x∈ {-1,1}n-1:u（N）N（~x）：=Yn（~x）+gnn和d（N）N（~x）：=Yn（~x）- gnNH。为了简化表示，我们有时使用符号~ξkT来表示随机向量（ξ，…，ξk）{-1，1}k.我们也用~kT表示所有坐标等于1.2.4.1的向量。一些有价值的估计。我们简要回顾了[4]中对分数二元市场定义中涉及的数量的一些估计，即a（N）N、Jn和gn。我们避免校对，并邀请读者仔细查阅[4]。引理2.1。所有人1≤ 我≤ N- 我们有*（n）- 1） H-在（i）中≤ jn（一）≤ C*新罕布什尔州-在（i）中，其中c*:= σcH，In（i）：=iZi-1x-Hаn（x）dx和аn（x）：=（n- x） H-- （n）- 1.- x） H-.8费尔南多·科德罗和拉维尼亚·佩雷斯·奥斯塔费莱马2.2。所有1<n≤ N、 我们有≤ gn≤ G1+n- 1.H-≤ g 2H-,其中g:=σcHH+。尤其是limn→∞gn=g。对于漂移项a（N）N，从其定义和函数a的连续性来看，很简单：|a（N）N |≤||a||∞N、 N∈ {1，…，N}。（2.10）这个不等式与引理2.2一起表明，给定pa st~ξn-1，a（N）的贡献对于最后一跳GNNHξN的贡献是渐近可忽略的。此外，由于我们对分数二元市场的渐近性质感兴趣，可以通过研究不带漂移的情况来简化问题。因此，我们假设所有1的a（N）N=0≤ N≤ N.3。小交易成本下的1步套利机会在本节中，我们假设每个N-分数二元市场都是按比例交易成本λN的主体。我们的目的是使用1步λN-自我融资策略，证明当λN足够快地收敛到0时，λN-套利机会的存在。

我们分两步进行。首先，我们在每个N-分数二元市场上构造一个1步自融资系统ΦN={~nN（λ）}λ∈[0,1]. 接下来，我们定义λ（ΦN），如（2.6）所示。从定义上来说，任何λ都有∈ [0，λ（ΦN）），在N-分数二元市场中，自融资策略魟N（λ）导致了λ-套利。我们的问题在研究数量λ（ΦN）的渐近行为之前就简化了。为了实现我们的目标，我们遵循了[16]中的索蒂宁的相同想法，他在无摩擦的分数二元市场中构造了一步套利机会。更准确地说，索蒂宁在[16，定理5]中证明了存在nH≥ 1.为了所有人≥ n对于任何n∈ {nH，…，N}，u（N）N(-~N-1） =NH-N-1Xi=1jn（i）+gn！<0.（3.1）这意味着，如果股票价格只下跌到时间n-1.价格过程将从时间n开始下降-1到时间n。基于此结果，Sottinen的sarbitrage机会按以下方式构造。我们选择了n级≥ n时间n之前我们什么都不做-2.如果STOCK PRICE在时间n之前只采取了步骤-1.当时我们卖空一股，下次我们买一股。否则我们什么都不做。无论如何，从时间n+1开始，我们什么都不做。从（3.1）可以直接看出，这种自我融资策略在无摩擦的情况下提供了套利。现在，我们在N-分数二元市场中引入交易成本λ，我们∈ {nH。

，N}我们构造了一个λ-套利机会的候选者φN（λ，N）=（φN，0（λ，N），φN，1（λ，N）），如下：o对于任何时间1≤ 我≤ N- 2аN，0i（λ，N）：=аN，1i（λ，N）：=0.o在时间n- 1.我们不能出售一个单位的存货，在这种情况下，则为φN，0n-1（λ，n）：=（1）- λ） S（N）N-1{~ξn-1=-~N-1} ，~nN，1n-1（λ，n）：=- 1{~ξn-1=-~N-1}.交易成本下的分数二元市场9o当时我们清算头寸，这意味着购买一股股票。在这种情况下φN，0n（λ，N）：=（1）- λ） S（N）N-1{~ξn-1=-~N-1}- S（N）N{~ξN-1=-~N-1} ，~nN，1n（λ，N）：=0.o过了一段时间，我们什么都不做，也就是说，为了任何事∈ {n+1，…，n}~nn，0n（λ，n）：=~nn，0n（λ，n），~nn，1n（λ，n）：=~nn，1n（λ，n）=0。注意，{~nN（0，N）}N给出的自融资策略≥1与Sottinen在[16]中提出的风险策略相对应。下一个结果将这一想法扩展到“小”交易成本的情况。定理3.1。如果λN=o√N, 然后，对于所有足够大的N，一步自融资策略魟N（λN，N）导致N-分数二元市场中的λN-套利。证据如本节开头所述，如果我们定义自融资系统ΦN（N）：={~nN（λ，N）}λ∈[0,1]，足以证明λΦN（N）≥C√N、 对于一些合适的常数C>0。首先请注意，对于n≥ nH，到期时的φN（λ，N）的取值过程为nByvλNνN（λ，N）= (1 - λ） S（N）N-1{~ξn-1=-~N-1}- S（N）N{~ξN-1=-~N-1}.为了套利，我们需要vλNνN（λ，N）≥ 0 a.s.和PVλNνN（λ，N）> 0> 0.首先，观察vλNνN（λ，N）= 1{~ξn-1=-~N-1}(1 - λ） S（N）N-1.- S（N）N= S（N）N-1{~ξn-1=-~N-1}-λ -Xn(-~N-1，ξn）NH！≥ S（N）N-1{~ξn-1=-~N-1}-λ - u（N）N(-~N-1),然后是VλNνN（λ，N）≥ 0 a.s.i.λ≤ -u（N）N(-~N-1).通过（3.1）观察右侧是否为正。此外，sinceu（N）N(-~N-1） >d（N）N(-~N-1） ，对于每个λ≤ -u（N）N(-~N-1） 我们也有VλNνN（λ，N）> 0≥ PVλNνN（λ，N）{~ξn=-~n} >0=n> 0。

（3.2）因此，我们有λΦN（N）= -u（N）N(-~N-1） =NHn-1Xi=1jn（i）- gn！。（3.3）使用引理2.1，我们可以-1Xi=1jn（i）≥ C*（n）- 1） H-N-1Zx-H~nn（x）dx。10费尔南多·科德罗和拉维尼亚·佩雷斯·奥斯塔芬另外，我们有-1Zx-H（n）- x） H-dx=nn-1nZu-H（1- u） H-杜，安-1Zx-H（n）- 1.- x） H-dx=（n）- 1） 祖-H（1- u） H-杜。因此，我们得到：n-1Zx-H~nn（x）dx=Zu-H（1-u） H-杜-nZ1-怒族-H（1-u） H-杜。（3.4）此外，可以直接证明存在常数^c>0，使得0<nZ1-怒族-H（1- u） H-杜≤^cnH-. （3.5）因此，对于足够大的nbig和适当的常数c>0，我们得到了n-1Xi=1jn（i）≥ ~c nH-.回到（3.3）并使用引理2.2中给出的估计，我们得到：λΦN（N）≥ ^c*新罕布什尔州-NH，（3.6）对于某些适当的常数^c*> 0和n≥ 足够大了。从（3.6）中可以看出，我们选择的n越大，下限就越好。特别地，当n=n时，我们有λΦN（N）≥^c*√N.程序现已完成。4.临界交易成本的渐近行为本节的目标是研究与分数二元市场相关的临界交易成本的渐近行为。更准确地说，在每个分数二进制市场上，我们在（2.4）中定义了λ（N）CA，即λ（N）c=inf{λ∈ [0, 1] :  λ-N-分数二元市场}（4.1）中的一个rbitrage，我们研究了当N趋于完整时λ（N）cW的极限。由于当我们在分数Black-Scholes中引入任意小的转移成本时，套利机会消失，这意味着相应的临界转移成本为0，因此可以预期λ（N）c→ 0作为N→ ∞. 然而，将观察到完全相反的行为。注意，从备注2.2中，我们得到，对于任何自融资系统ΦN，λ（ΦN）≤ λ（N）c.（4.2）因此，实现我们目标的一种方法，至少部分是构建适当的自我融资系统。交易成本下的分数二元市场11备注4.1。

如果我们将（4.2）t应用于第3.1条ΦN（N）证明中定义的自融资系统，我们推导出λ（N）c≥C√N、 （4.3）其中C>0是一个合适的常数。这个结果也可以用下限（2.5）得出。事实上，（2.5）中给出的下限，以及第2.4.1节中给出的有关数量的估计，使我们精确地得出（4.3）。然而，第3节中给出的方法的优点是，在交易成本下提供了明确的一步套利机会。现在，我们开始构建一个新的自融资系统序列{ψN}N≥1.Le t首先回到无摩擦的情况。修正γ∈ （0,1）并假设价格过程只会在时间点之前下降γN. 如果 γN ≥ nH，我们从（3.1）中知道，股票价格过程将随着时间的推移而下降γN 准时γN+ 这是Tinsoten的套利策略。然而，我们希望做得更好。我们想证明我们可以选择KNW和kN→ ∞ 确保股价会一直下跌γN+ 千牛。如果可能的话，我们可以一次做空一个单位的存货来建立一个ar比特率γN 一次买一套 γN+ 千牛。因此，我们要选择NSUCH thatu（N）γN+K-~γN, ~xk-1.=YγN+k(-~γN, ~xk-1） +gγN+kNH≤ 0，为了所有的k≤ kNand~xk-1.∈ {-1,1}k-1.等价地，u（N）γN+k(-~γN,~K-1） =YγN+k(-~γN,~K-1） +gγN+kNH≤ 任何k都是0≤ 千牛。这又相当于γ（k）：=YγN+k(-~γN,~K-1） +gγN+k=-γNXi=1jγN+k（i）+γN+K-1Xi=γN+1jγN+k（i）+gγN+K≤ 0，（4.4）表示任何k≤ 千牛。下一个结果告诉我们如何选择kNhas，以使方程（4.4）成立。引理4.1。无论如何∈ （0,1），存在Pγ∈ (0, 1 -γ] ，Cγ，bCγ>0和Nγ∈ 为所有人祈祷≥ Nγ和所有1≤ K≤ PγN 以下结论成立：A（N）γ（k）≤ -Cγ-NH-+bCγ≤ 0.（4.5）证明。

首先，我们表示α：=H-∈ （0，），γN:=γN我们选择nγ>1，这样，对于所有n≥ nγ，我们有γn>γ/2。现在，我们继续获得（4.4）中第一项的下限。从引理2.1我们有，为所有1≤ K≤ N- γN, 那个γNXi=1jγN+k（一）≥ C*(γN+ K- 1)αγNZx-αφγN+k（x）dx。12变量改变后的费尔南多·科德罗和拉维尼亚·佩雷斯·奥斯塔菲，表示I（x）：=Rxv-α(1 -v） αdv，我们得到了γNZx-αφγN+k（x）dx==(γN + k） 我γNγN+ K- (γN+ K- 1） 我γNγN+ K- 1.= N“γN+kN我γNγN+kN！-γN+kN-NIγNγN+kN-N！#=N F千牛N, （4.6）在哪里∈ （0，1），函数Fy:（0，y）→ R由Fy（h）：=（γN+y）I表示γNγN+y- （γN+y）- h） 我γNγN+y- H.注意f′y（h）=GγNγN+y- H, （4.7）式中G:（0,1）→ R是由G（z）：=I（z）定义的函数- (1 - z） αz1-α. 可以很容易地检查G在（0，1）中严格增加。因此，我们有≥ n和γ≤ 1.- γN，那γNγN+y- H≥ G（γN）>G（γ/2）>G（0+）=0。（4.8）堵塞（4.7）和（4.8）在（4.6）中，利用F kN（0）=0，我们得到γNZx-αφγN+k（x）dx=NF千牛N- F千牛（0）= NNZF′kN（h）dh>NNZG（γ/2）dh=G（γ/2）>0。回到我们最初的不平等性，我们得到了N≥ nγ和k≤ N-γN, 那个γNXi=1jγN+k（i）≥ C*(γN+ K- 1） αG（γ/2）≥ C*G（γ/2）γNα. （4.9）对于（4.4）中的第二个和，我们再次使用引理2.1中给出的估计，在适当改变变量后，我们推断γN+K-1Xi=γN+1jγN+k（i）≤ C*(γN+ k） αγN+K-1ZγN十、-αφγN+k（x）dx≤ C*(γN+ k） αγNαγN+K-1ZγNφγN+k（x）dx=c*(γN+ k） αγNα[kα+1- 1.- （k）- 1)α+1]α + 1≤ C*(γN+ k） αγNαkα。

（4.10）交易成本为13的分数二元市场，使用（4.9）、（4.10）和g的上界γN+在引理2.2中，我们得到，对于所有N≥ nγ和1≤ K≤ N- γN, thatANγ（k）≤ -C*γNαG（γ/2）+c*(γN+ k） αγNαkα+c*α + 1(γN+ k） α(γN+ K- 1)α≤ C*-γNαG（γ/2）+γ-αNkα+α+1γ-αN≤ C*-Nα（γ/2）αG（γ/2）- (γ/2)-α千牛α+α + 1(γ/2)-α.定义cγ：=c*（γ/2）-α/(α+1). 现在很明显，如果k≤ N-γN对于某些Cγ>0，我们有（γ/2）αG（γ/2）- (γ/2)-α千牛α≥CγC*.如果我们选择Cγ：=C*（γ/2）αG（γ/2）/2，前面的条件，可以写成ask≤（γ/2）2αG（γ/2）αN.因此，定义γ就足够了：=（1- γ) ∧（γ/2）2αG（γ/2）α和Nγ：=Nγ∨γC！α+ 1.,完成证据。以上结果告诉我们，从一开始，股价过程将下降多长时间γN, 考虑到这一点，到那时为止，价格只会大幅下跌。接下来，利用这一知识，我们构建了一系列的自融资系统，这些系统能够很好地降低关键交易成本。考虑每个λ∈ [0,1]和N≥ 1，以下λ-自融资策略ψN（λ）=（ψN，0（λ），ψN，1（λ））：γN 我们什么都不做，也就是说，为了任何我想要的东西∈ {1, ..., γN- 1} ψN，0i（λ）：=ψN，1i（λ）：=0.o当时γN 我们卖空一个单位的股票，在这种情况下ψN，0γN(λ) := (1 - λ） S（N）γN{~ξγN=-~γN},ψN，1γN(λ) := -1{~ξγN=-~γN}.o 从 γN+ 1.我们任由价格变化，直到γN+ PγN 当我们平仓时，这意味着购买一个单位的股票。在这种情况下ψN，0γN+PγN(λ) :=(1 - λ） S（N）γN- S（N）γN+PγN{~ξγN=-~γN},ψN，1γN+PγN(λ) := 0.o 从时间开始γN + PγN+ 1.我们不再做任何事，即。